小学数学解题研究

《小学数学解题研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学解题研究（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、小学数学解题研究1小学数学解题研究n解题研究及理论简介n归纳问题n周期问题n整除及同余问题n物不知数n砝码称重n勾股定理n鸡兔同笼2苏格拉底助产术n关于问题解决的最早记录之一出现在柏拉图的苏格拉底谈话关于问题解决的最早记录之一出现在柏拉图的苏格拉底谈话录门诺中，在书中，苏格拉底和门诺的仆人进行了一次录门诺中，在书中，苏格拉底和门诺的仆人进行了一次典型的典型的“苏格拉底谈话苏格拉底谈话”向仆人提出一系列诱导式的问向仆人提出一系列诱导式的问题，对他的回答进行细微的纠正，最终使仆人证明了一个数题，对他的回答进行细微的纠正，最终使仆人证明了一个数学关系式。学关系式。n 苏格拉底提醒门诺，他并没有告诉仆

2、人任何东西，而仆人则苏格拉底提醒门诺，他并没有告诉仆人任何东西，而仆人则完全依靠自己回答了所有的问题。仆人利用完全依靠自己回答了所有的问题。仆人利用“记忆记忆”中的重中的重要结果对这些问题作出了正确的回答。但是并没有人曾教给要结果对这些问题作出了正确的回答。但是并没有人曾教给仆人这些结果，这说明仆人原本就知道它们。也就是说，知仆人这些结果，这说明仆人原本就知道它们。也就是说，知识存在于他们永恒的灵魂之中而非存在于身体之中。正因为识存在于他们永恒的灵魂之中而非存在于身体之中。正因为灵魂是所有知识的居住地，所以他能够想起这些知识。总之，灵魂是所有知识的居住地，所以他能够想起这些知识。总之，知识是永

3、恒的，如同柏拉图式的，它也是完美的。知识既不知识是永恒的，如同柏拉图式的，它也是完美的。知识既不可能被生产，也不可能被发现，而只能被回忆。可能被生产，也不可能被发现，而只能被回忆。 3笛卡儿的伟大设想n十七世纪。笛卡儿开始他的十七世纪。笛卡儿开始他的“创造性思维创造性思维”的研究，的研究，他构造了一个伟大设想，在这个设想中：首先通过他构造了一个伟大设想，在这个设想中：首先通过数学化把任何问题转化为数学问题；然后把任何数数学化把任何问题转化为数学问题；然后把任何数学问题转化为代数问题；再把代数问题转化为解单学问题转化为代数问题；再把代数问题转化为解单个的方程。个的方程。 n 笛卡儿希望在他的有生

4、之年完成他的伟大事业，他笛卡儿希望在他的有生之年完成他的伟大事业，他的一些成功的努力被记录在后人的纪念性文章思的一些成功的努力被记录在后人的纪念性文章思考的规则（考的规则（1952）里。其中，说明了普通人怎样）里。其中，说明了普通人怎样才能象笛卡儿那样思考，利用他的方法，象他那样才能象笛卡儿那样思考，利用他的方法，象他那样解决问题。解决问题。 4官能心理学和训练理论 在在19世纪的大部分时间里，在学校课程中起统治地位的是官世纪的大部分时间里，在学校课程中起统治地位的是官能心理学和训练理论。按照官能心理学的观点，每个人的大脑是能心理学和训练理论。按照官能心理学的观点，每个人的大脑是由各种官能（或

5、者说心理功能）所组成的，这些官能包括感觉、由各种官能（或者说心理功能）所组成的，这些官能包括感觉、记忆、想象、理解、直觉、推理等，不同的官能位于大脑的不同记忆、想象、理解、直觉、推理等，不同的官能位于大脑的不同部位，而且可以通过针对性的训练来发展或者强化某个特殊的官部位，而且可以通过针对性的训练来发展或者强化某个特殊的官能。在这种理论的支配下，学校的任务就是发展学生的各种基本能。在这种理论的支配下，学校的任务就是发展学生的各种基本技能，而其中，数学，特别是高水平的数学，则是发展学生推理技能，而其中，数学，特别是高水平的数学，则是发展学生推理技能的主要手段。技能的主要手段。 在这一阶段，数学课程

6、中的问题解决主要以常规问题为主，在这一阶段，数学课程中的问题解决主要以常规问题为主，不考虑对数学结构的理解，而一味地推行训练与练习。教材中的不考虑对数学结构的理解，而一味地推行训练与练习。教材中的习题部分的普遍形式是：先给出一道例题及一条相应的解题法则，习题部分的普遍形式是：先给出一道例题及一条相应的解题法则，然后提供一系列的类似问题进行练习。然后提供一系列的类似问题进行练习。520世纪中期 对于问题解决来说，对于问题解决来说，1945年是标志性的一年。在年是标志性的一年。在这一年里，关于问题解决的经典著作创造性思维这一年里，关于问题解决的经典著作创造性思维（Max. Wertheimer）和

7、数学领域的发明心理）和数学领域的发明心理学学(Jacques Hadmard)的英文版首次发行。而最的英文版首次发行。而最重要的是，波利亚的怎样解题也问世于这一年。重要的是，波利亚的怎样解题也问世于这一年。这本书的出版，无论对波利亚还是对问题解决都是这本书的出版，无论对波利亚还是对问题解决都是一个转折点：对作者本人来说，这本书成了他的关一个转折点：对作者本人来说，这本书成了他的关于数学思维本质的一系列重要著作的第一本，而数于数学思维本质的一系列重要著作的第一本，而数学思维则成了他此后工作的核心，并相继出版了学思维则成了他此后工作的核心，并相继出版了数学与猜想（数学与猜想（1954），数学的发现

8、（第一），数学的发现（第一卷，卷，1962；第二卷，；第二卷，1965）；而对于问题解决来）；而对于问题解决来说，这本书的影响也是巨大的。说，这本书的影响也是巨大的。 6波利亚的两个例子波利亚的两个例子n前n个自然数的平方和nn个平面最多可以将空间分成几个部分？7波利亚的解题四步骤波利亚的解题四步骤n弄清题意n制订计划n实现计划n回顾820世纪80年代的研究热潮 1977年年 ， 美美 国国 全全 国国 数数 学学 督督 导导 委委 员员 会会（NCSM，1977）宣宣布布：“学学习习数数学学的的根根本本目目的的是是学学会会问问题题解解决决”。1980年年，全全国国数数学学教教师师协协会会在在

9、行行动动的的议议程程中中提提出出：“问问题题解解决决应应该该成成为为80年年代代学学校校数数学学教教育育的的核核心心”。这这一一口口号号很很快快得得到到了了世世界界各各国国数数学学教教育育界界的的普普遍遍响响应应，并并由由此此掀掀起起了了一一股股问问题题解解决决研研究究的的热热潮潮。这这股股热热潮潮一一直直延延续续到到九九十十年年代代，在在美美国国关关于于数数学学教教育育的的一一些些主主要要刊刊物物1991年年所所发发表表的的论论文文中中，问问题题解解决决占占据据了了首首要要的的位位置置，约约占占全全部部论论文的五分之一。文的五分之一。9问题解决的四维超立方体模型（切片）解题教学解题教学问题问

10、题解题解题理论理论/应用应用封闭封闭/开放开放常规常规/非常规非常规知知识识与与经经验验表表征征与与探探索索控控制制与与调调节节情情感感与与信信念念题组训练题组训练变式教学变式教学专家模式专家模式学徒式教学学徒式教学小组合作小组合作研究性学习研究性学习10关于数学问题的研究关于数学问题的研究题题数学问题研究数学问题研究数学习题研究数学习题研究数学家的工作数学家的工作奥加涅相的题系统奥加涅相的题系统戴再平的习题理论戴再平的习题理论11关于数学解题的研究关于数学解题的研究解题方法解题方法解题过程解题过程解题能力解题能力解题策略解题策略解题思想方法解题思想方法解题技巧解题技巧逻辑过程逻辑过程心理过程

11、心理过程能力类型能力类型波利亚波利亚方法论方法论证题术证题术施施恩恩菲菲尔尔德德奥加涅相奥加涅相心理学心理学中国中国克鲁切茨基克鲁切茨基能力因素能力因素解解题题12关于解题者的研究关于解题者的研究解解题题者者差差异异分分析析个体的解题背景个体的解题背景实际的解题过程实际的解题过程针对性解题教学针对性解题教学知识经验知识经验认知因素认知因素元认知因素元认知因素情感因素情感因素优生优生中等生中等生差生差生常规常规/非常规题非常规题封闭封闭/开放题开放题理论理论/应用题应用题题型教学题型教学策略专项训练策略专项训练小组合作学习小组合作学习（专家）模型专家）模型课题活动课题活动案例分析案例分析教学实验

12、教学实验13问题解决的心理历程 （一）认知课题 认知课题是解决问题的起始环节和基础 （二）表征课题 通过对课题的认知和理解，在对课题进行编码的基础上，在头脑中形成课题的条件与问题的初步印象，即为课题表征。课题表征既是个体对面临的任务、环境信息以另一种形式在心理活动中的表现和记载，也是个体进行问题解决时所加工的对象。它可以反映在解题过程和策略的选择上。课题表征的水平对问题解决有重要影响 14问题解决的心理历程 （三）联想与匹配（模式识别）（三）联想与匹配（模式识别） 解决问题依赖于过去的知识经验。在获得某种表征信息后，解决问题依赖于过去的知识经验。在获得某种表征信息后，就以该表征作为一种提取线索

13、，通过联想，激活头脑中的已有经就以该表征作为一种提取线索，通过联想，激活头脑中的已有经验，获取有关的信息，并将内外信息进行比较、匹配。若匹配成验，获取有关的信息，并将内外信息进行比较、匹配。若匹配成功，课题即被视作已有经验系统的一个实例或同例，产生与原经功，课题即被视作已有经验系统的一个实例或同例，产生与原经验系统中的问题解决一致的或相平行的解法。在匹配过程中，若验系统中的问题解决一致的或相平行的解法。在匹配过程中，若已有经验不能提供现成的实例或同例，则需通过联想激活有关经已有经验不能提供现成的实例或同例，则需通过联想激活有关经验生成一个可与之匹配的新的实例或同例。若匹配失败，则将重验生成一个

14、可与之匹配的新的实例或同例。若匹配失败，则将重新回溯到起始阶段，逐一进行检查，检查感觉信息中选用的信息新回溯到起始阶段，逐一进行检查，检查感觉信息中选用的信息是否可靠（即审题是否正确），对课题的初步理解（课题表征）是否可靠（即审题是否正确），对课题的初步理解（课题表征）是否有误，与长时记忆中信息建立的联系是否适宜（即联想是否是否有误，与长时记忆中信息建立的联系是否适宜（即联想是否恰当），然后再一次进行匹配。如此反复进行，逐步缩小检查的恰当），然后再一次进行匹配。如此反复进行，逐步缩小检查的范围直到匹配成功，问题才得到解决。范围直到匹配成功，问题才得到解决。 15问题解决的心理历程 （四）反思结

15、果（四）反思结果 反思结果包含两层意思。一是对获得结果的整个思反思结果包含两层意思。一是对获得结果的整个思维过程进行检查。二是反思从该课题可得出的经验和维过程进行检查。二是反思从该课题可得出的经验和教训。反思的有效方法一般有：（教训。反思的有效方法一般有：（1）找出问题解决过）找出问题解决过程中的主要困难及关键，搞清楚自己是怎样寻找思路程中的主要困难及关键，搞清楚自己是怎样寻找思路的。（的。（2）对解题方法重新评价，找到最优解决方法。）对解题方法重新评价，找到最优解决方法。（3）思考解决该课题的过程中，是否有某种技巧值得）思考解决该课题的过程中，是否有某种技巧值得吸取，是否有某种技巧尔后在类似

16、的场合中用得上。吸取，是否有某种技巧尔后在类似的场合中用得上。（4）弄清楚当前的课题中可以得到哪些结论或吸取什）弄清楚当前的课题中可以得到哪些结论或吸取什么教训。（么教训。（5）概括出课题的一般结构、特点，总结出）概括出课题的一般结构、特点，总结出运用该课题解法的条件范围，以便把该课题的解法推运用该课题解法的条件范围，以便把该课题的解法推广到同一类型的所有题广到同一类型的所有题 16美国2000年课标中的问题问题问题：一个矩形长和宽的比是4：3，它的面积是300平方英寸，它的长和宽是多少？解法一： 长 宽 面积 4 3 12 8 6 48 12 9 108 16 12 192 20 15 30

17、017解法二：30012=25，所以每个正方形的面积为25，边长为5。18弗赖登塔尔介绍的教学问题n问题：一件T恤与三瓶饮料总价30元， 两件T恤与两瓶饮料总价44元，求T恤、饮料的单价。（1）T U U U 30 （2）T T U U 44法一：T U U U T U U U =60U U U U =16U=4法二：T U=22 U U =8U=4法三：从（2）到（1）少14元，再到 U U U U又少14元，即16元。 19一个常见的数学教学问题n求和20归纳问题（1）n如下图所示的长方形由6个相同的小方格组成，现在将其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻的小方格

18、都至少有一个被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法 种。(所有小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜色不同，就被认为是不同的涂色方法)1 2 3 45 621归纳问题（2）n如下图所示的长方形由9个相同的小方格组成，现在将其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻的小方格都至少有一个被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法 种。(所有小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜色不同，就被认为是不同的涂色方法)1 2 3 45 6 7 8 922归纳问题（3）n如图，一只小蜜蜂从1号蜂房到8号蜂房，以途经哪几个蜂房区分，共有多少种不同的路径。（蜜蜂需总体保持向

19、右的方向，即每次只能向右、右上或右下行进一格）1234567823归纳问题（4）n青蛙公子在练习跳台阶。台阶共有8级，青蛙公子每一步只能往上跳一级或二级台阶。若以每一步跳后的落脚点为哪几个台阶来区分，青蛙公子从最下面跳到第8级台阶的顶上共有 种不同的跳法。24完全数n毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572-497）完完全全数数：正因数之和等于该数本身（因数包括1但不包括该数自身），6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336（1538年），8589869056（一个梅森素数对应一个完全数，至2005年共发现42个完全数）25亲和数n亲亲和和数数：两个

20、数中任意一个数除了它自身以外的所有正因数的和恰好等于另一个数。n最小的一对是220和284。 220=22511，284=2271 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 1+2+4+71+142=22026哥德巴赫猜想n哥德巴赫猜想（1742年）：每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和，每一个不小于9的奇数都是三个奇素数的和。n德国数学家哥德巴赫（Goldbach，1690-1764） n1966年陈景润证明了“1+2”：每一个不小于6的偶数都可以表示成一个奇素数与不超过两个奇素数乘积的和。27斐波那契数列n1228年算经修订版中载有如下的“兔子问题”：某人在一处

21、有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子（假定养的时候是小兔）开始，一年内能繁殖成多少对兔子？ 其结果是著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21， 28归纳问题（5）n悟空和八戒在玩变戏法。原有一只1层布做的袋子和袋子里装着的一些桃子。戏法规则是：袋子里装的桃子等于或超过1000个时，1次变化就使3个桃子和袋子的1层布消失；袋子里装的桃子少于1000个时，1次变化就增加5个桃子和袋子的1层布。若袋子的每层布均消失，则袋子也不存在了，桃子堆放在草地上。现在，有一只1层布的袋子内装着84个桃子，那么经过若干次变化，袋子变没后，堆放

22、在草地上的共有 只桃子。 29周期问题（1）n今天是星期四，从明天起的第1天是星期五，第二天是星期六，第 天是星期几？30费马小定理nP为素数，a与p互质，则 ap-11(mod p)nP为素数，a为任意整数，则 app(mod p)31周期问题（2）n整数32008除以11的余数是 。32周期问题（3）n下面这串数字从第5个数开始，每个数都等于它前面的3个数之和： 2，0，0，8，8，16，32，56，104， 这串数中第2008个数除以6的余数是 。33一个基本结论n递归数列：an=f(a1,a2,an-1)n值域是有限数集的递归数列必为周期数列。34周期问题（4）n某段铁路共铺设2008

23、根枕木，维修工人从一端开始向另一端依次按15进行编号，后来又从另一端开始依次按16进行编号。两次编号之和恰好等于6的枕木共有 根。 35整除和同余问题n被3，9整除的整数特点。n被4，25整除的整数特点。n被8，125整除的整数特点。n被11整除的整数特点。n被7，13整除的整数特点。36整除和同余问题（1）n有一个六位数，各个数位上的数字互不相同且都不是0，如果这个六位数能被11整除，那么将这个六位数的六个数字重新排列，至少还能排出 个能被11整除的六位数。 37整除和同余问题（2）n老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同

24、学说：“这个数是4的倍数。”第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的自然数最小是 。 38整除和同余问题（3）n整数A=3786542241059362 31678451 的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D。那么D= 。 39整除和同余问题（4）n整数A=44444444的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D。那么D= 。40整除和同余问题（5）n有9个小朋友围成一圈，按顺时针方向依次编为19号。现在按如下的方法给他们发糖：先给1号小朋友发一块糖，然后顺时针方向隔过一

25、人后给3号小朋友发一块糖，再顺时针方向隔过两人后给6号小朋友发一块糖，如此依次间隔1人、2人、3人、4人发糖。那么拿到第100块糖的是 号小朋友。 41孙子算经中的物不知数孙子算经中的物不知数n今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。n702+213+152-2105=23。42孙子歌n明代数学家程大位的算法统宗中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”43中国剩余定理n物不知数问题的解法后被秦九韶（宋）推广到一般情形，称为“孙子定理”。n秦九韶的算法非常严密，但他并

26、没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。 44物不知数问题（1）n一个整数除以5余1，除以6余3，除以7余6，这个整数最小是 。 45物不知数问题（2）n阿龙喜欢把电话号码作为数学练习。一个电话号码是八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除。阿龙只记得前六个数字是 257633

27、但是算了一下，他便知道了后两个数字。这最后两个数字是 。 46砝码称重问题（1）n有若干个重量均为整数克的砝码。用天平称物体的重量时，砝码可以放在物体另一侧的称盘上，也可以放在物体同一侧的称盘上。为了能够用最少的砝码称出1，2，3，4，5，121中任一整数克物体的重量，那么，至少需要 个砝码。47砝码称重问题（2）n有若干种重量均为整数克的砝码，每一种都有两个重量相同的砝码，不同种类的砝码重量不同。用天平称物体的重量时，砝码可以放在物体另一侧的称盘上，也可以放在物体同一侧的称盘上。为了能够用最少种类的砝码称出1，2，3，4，5，62中任一整数克物体的重量，那么，至少需要 种不同的砝码。 48欧

28、拉n欧拉（Euler，17071783）瑞士数学家、物理学家。n13岁进入巴塞尔大学学习数学，16岁获硕士学位。n1727-1741、1766-1783：工作于彼得堡科学院；1741-1766：工作于柏林科学院。n28岁右眼失明，60岁前后双目失明。49欧拉直线n三角形的垂心、重心、外心三点共线，且重心分垂心与外心的连线段成2：1。 50勾股定理n周髀算经中商高回答周公的问话时答道：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。” n周髀算经中陈子与荣方的一段对话则阐述了勾股定理的一般形式。 陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为故，勾、股各自

29、乘，并而开方除之，得邪至日，” 51弦图n三国时期的赵爽（公元3世纪）为周髀算经作注时，给出了“弦图”，运用面积的出入相补原理证明了勾股定理。52勾股问题（1）n直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长。53费尔马大定理n x2+y2=z 2的通解（x，y互质时） X=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2（m，n互质且一奇一偶）n以下方程无正整数解54费尔马大定理的证明n1993年在英国剑桥大学牛顿数学研究所的一个讨论班上，美国普林斯顿大学教授维尔斯（Wiles）宣布证明了费尔马大定理。1994年修补了证明中的一些漏洞后于1995年在数学年刊上正式发表。为此维尔斯获得了沃尔夫奖 。55

30、曾获菲尔兹、沃尔夫数学奖的华人科学家n菲尔兹：丘成桐丘成桐（1982年）；陶哲陶哲轩轩（2006年，31岁）n沃尔夫：陈省身陈省身56孙子算经中的鸡兔同笼n今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。n术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。 57鸡兔同笼问题（1）n商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元。张老师用120元买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多。问每种球各买几个？ 58鸡兔同笼问题（2）n一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天一天只能完成晴天的4/5的工作量。现在知

31、道在施工期间雨天比晴天多3天。问这项工程要多少天才能完成？59鸡兔同笼问题（3）n甲、乙两地相距100千米。张先骑摩托 车从甲地出发，1小时后李驾驶汽车也从甲地出发。两人同时到达乙地。摩托车开始速度是每小时50千米，后来减速为每小时40千米。汽车速度是每小时80千米，但汽车在途中停了10分钟。问摩托车是在出发后多少时间开始减速的？ 60角谷猜想n二次大战前后美国一个叫叙拉古的小镇流行一种数字游戏，无论你从什么自然数开始，按照一个简单的运算模式（如果是偶数则除以2，如果是奇数则乘3加1），最终必然跌进421的怪圈。1960年前后日本数学家角谷静夫将其带回日本，发展成角谷猜想（3X+1现象）。 61角谷猜想举例n序列有长有短： 168421共4步； 7221134175226134020105168421共16步； 27要经过111步的计算才到达1。 62分油问题n有一个10升的油筒装满了油，另有一个7升的空油筒和一个3升的空油筒，请利用这三个油筒（不能借助于任何其它的器皿或称量工具）将这10升油平分后分别装在两个油筒内。 63过河问题n三名商人各带一名仆人搬运若干财宝过河，河中只有一条没有艄公的小舟，小舟最多只能同时乘载两个人。商人们知悉了仆人们的如下阴谋：一旦在河的此岸或彼岸出现了仆人人数超过商人人数的现象，则立即干掉商人，劫走财宝。请为商人们设计一个安全的渡河方案。64