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1、第第 2 章章 逻辑代数与硬件描述语言基础逻辑代数与硬件描述语言基础3.1 逻辑代数逻辑代数3.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法主要内容：主要内容：2.1 逻辑代数逻辑代数2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 加加加加 乘乘乘乘 非非非非结合律结合律结合律结合律交换律交换律交换律交换律基本定律基本定律基本定律基本定律 加加加加 乘乘乘乘分配律分配律分配律分配律反演律反演律反演律反演律（摩根定律）（摩根定律）（摩根定律）（摩根定律）吸收律吸收律吸收律吸收律其他常用恒等式其他常用恒等式其他常
2、用恒等式其他常用恒等式2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则1. 1. 代入规则代入规则代入规则代入规则 在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某变量某变量某变量某变量 ，都用一个函数代替，则等式依然成立，这，都用一个函数代替，则等式依然成立，这，都用一个函数代替，则等式依然成立，这，都用一个函数代替，则等式依然成立，这个规则称为个规则称为个规则称为个规则称为代入规则代入规则代入规则代入规则。 例例例例 在在在在 中，将所有出现中，将所有出现中，将所有出现
3、中，将所有出现 的地方都的地方都的地方都的地方都代代代代以函数以函数以函数以函数 ，则等式仍成立，即得，则等式仍成立，即得，则等式仍成立，即得，则等式仍成立，即得2. 2. 反演规则反演规则反演规则反演规则 求一个逻辑函数求一个逻辑函数求一个逻辑函数求一个逻辑函数 的非函数的非函数的非函数的非函数 时，可以将时，可以将时，可以将时，可以将 中中中中的与的与的与的与 换成或换成或换成或换成或 ，或，或，或，或 换成与换成与换成与换成与 ；再将原变量换；再将原变量换；再将原变量换；再将原变量换为非变量（如为非变量（如为非变量（如为非变量（如 换成换成换成换成 ），非变量换为原变量；并），非变量换为
4、原变量；并），非变量换为原变量；并），非变量换为原变量；并将将将将1 1换成换成换成换成0 0，0 0换成换成换成换成1 1；那么所得的逻辑函数式就是；那么所得的逻辑函数式就是；那么所得的逻辑函数式就是；那么所得的逻辑函数式就是 。这个规则称为这个规则称为这个规则称为这个规则称为反演规则反演规则反演规则反演规则。 例例例例 要求要求要求要求 的非函数的非函数的非函数的非函数 时，得时，得时，得时，得 例例例例 要求要求要求要求 的非函数的非函数的非函数的非函数 时，得时，得时，得时，得3. 3. 对偶规则对偶规则对偶规则对偶规则 是一个逻辑表达，如把是一个逻辑表达，如把是一个逻辑表达，如把是一
5、个逻辑表达，如把 中的与中的与中的与中的与 换成或换成或换成或换成或 ，或或或或 换成与换成与换成与换成与 ；1 1换成换成换成换成0 0，0 0换成换成换成换成1 1；那么就得到一个；那么就得到一个；那么就得到一个；那么就得到一个新的逻辑函数式，这就是新的逻辑函数式，这就是新的逻辑函数式，这就是新的逻辑函数式，这就是 的的的的对偶式对偶式对偶式对偶式，记作，记作，记作，记作 。 所谓所谓所谓所谓对偶规则对偶规则对偶规则对偶规则，是指当某个逻辑恒等式成立时，是指当某个逻辑恒等式成立时，是指当某个逻辑恒等式成立时，是指当某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立。则其对偶式也成立。则其对偶式也成立。
6、则其对偶式也成立。 例例例例 要求要求要求要求 的对偶式的对偶式的对偶式的对偶式 时，得时，得时，得时，得2.1.3 逻辑函数的代数变换与化简法逻辑函数的代数变换与化简法1. 1. 逻辑函数的变换逻辑函数的变换逻辑函数的变换逻辑函数的变换 例例例例 利用逻辑代数的基本定律对函数表达式利用逻辑代数的基本定律对函数表达式利用逻辑代数的基本定律对函数表达式利用逻辑代数的基本定律对函数表达式进行变换。进行变换。进行变换。进行变换。解：解：解：解： 这个函数称为这个函数称为这个函数称为这个函数称为同或同或同或同或函数，它表示当两个输入变量取值相函数，它表示当两个输入变量取值相函数，它表示当两个输入变量取
7、值相函数，它表示当两个输入变量取值相同（两个都为同（两个都为同（两个都为同（两个都为0 0，或两个都为，或两个都为，或两个都为，或两个都为1 1）时，输出函数值为）时，输出函数值为）时，输出函数值为）时，输出函数值为1 1。2. 2. 逻辑函数的化简逻辑函数的化简逻辑函数的化简逻辑函数的化简 对于同一个逻辑函数来说，尽管函数表达式的形式不对于同一个逻辑函数来说，尽管函数表达式的形式不对于同一个逻辑函数来说，尽管函数表达式的形式不对于同一个逻辑函数来说，尽管函数表达式的形式不同，但它们所描述的逻辑功能是相同的。逻辑函数表达式同，但它们所描述的逻辑功能是相同的。逻辑函数表达式同，但它们所描述的逻辑
8、功能是相同的。逻辑函数表达式同，但它们所描述的逻辑功能是相同的。逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单，因此，为越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单，因此，为越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单，因此，为越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单，因此，为了了了了降低系统成本，减小复杂性，提高可靠性降低系统成本，减小复杂性，提高可靠性降低系统成本，减小复杂性，提高可靠性降低系统成本，减小复杂性，提高可靠性，必须对逻辑，必须对逻辑，必须对逻辑，必须对逻辑函数进行化简。函数进行化简。函数进行化简。函数进行化简。 逻辑函数化简方法：逻辑函数化简方法：逻辑函数化简方法：逻辑函数化
9、简方法：代数化简法代数化简法代数化简法代数化简法 卡诺图化简法卡诺图化简法卡诺图化简法卡诺图化简法 列表化简法列表化简法列表化简法列表化简法 最简与或表达式有以下两个特点：最简与或表达式有以下两个特点：最简与或表达式有以下两个特点：最简与或表达式有以下两个特点： 1 1、与项（即乘积项）的个数最少。、与项（即乘积项）的个数最少。、与项（即乘积项）的个数最少。、与项（即乘积项）的个数最少。 2 2、每个乘积项中变量的个数最少。、每个乘积项中变量的个数最少。、每个乘积项中变量的个数最少。、每个乘积项中变量的个数最少。 代数法化简逻辑函数是运用逻辑代数的基本定律和恒等式代数法化简逻辑函数是运用逻辑代
10、数的基本定律和恒等式代数法化简逻辑函数是运用逻辑代数的基本定律和恒等式代数法化简逻辑函数是运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简，常用下列方法：进行化简，常用下列方法：进行化简，常用下列方法：进行化简，常用下列方法： 1 1、并项法、并项法、并项法、并项法 2 2、吸收法、吸收法、吸收法、吸收法 3 3、消去法、消去法、消去法、消去法 4 4、配项法、配项法、配项法、配项法2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法2.2.1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质1.最小项的定义最小项的定义最小项的定义最小项的定义 个变量个变量个变量个变量 的最小项是的最小项是的最小项是的最小项是
11、 个因子的乘积，每个个因子的乘积，每个个因子的乘积，每个个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。现一次。现一次。现一次。2. 2. 最小项的性质最小项的性质最小项的性质最小项的性质 (1)(1)对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1 1，而在
12、变量取其他各组值时，这个最小项的值都是，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0 0。 (2)(2)不同的最小项，使它的值为不同的最小项，使它的值为不同的最小项，使它的值为不同的最小项，使它的值为1 1的那一组变量取值也不同。的那一组变量取值也不同。的那一组变量取值也不同。的那一组变量取值也不同。 (3)(3)对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0 0。 (4)(4
13、)对于变量的任一组取值，全体最小项之和为对于变量的任一组取值，全体最小项之和为对于变量的任一组取值，全体最小项之和为对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1 1。 (5) (5) 个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有 个相邻最小项。个相邻最小项。个相邻最小项。个相邻最小项。相邻最小项是指除一个变量为相反外，其余部分均相同的最相邻最小项是指除一个变量为相反外，其余部分均相同的最相邻最小项是指除一个变量为相反外，其余部分均相同的最相邻最小项是指除一个变量为相反外，其余部分均相同的最小项。小项。小项。小项。 (6) (6) 具有相邻性的两个最小项之和可以合
14、并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个因子。去一个因子。去一个因子。去一个因子。若两个最小项仅有一个因子不同，则称这个最小项具有相邻若两个最小项仅有一个因子不同，则称这个最小项具有相邻若两个最小项仅有一个因子不同，则称这个最小项具有相邻若两个最小项仅有一个因子不同，则称这个最小项具有相邻性。性。性。性。3. 3. 最小项的编号最小项的编号最小项的编号最小项的编号 最小项最小项最小项最小项变量取值变量取值变量取值变量取值表示符号表示符号表示符号表示符号 0 0 0 0 0 0
15、0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 12.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为表达式是一组最小项之和，称为表达式是一组最小
16、项之和，称为表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式最小项表达式最小项表达式最小项表达式。 将任意一个逻辑函数表达式转换成标准表达将任意一个逻辑函数表达式转换成标准表达将任意一个逻辑函数表达式转换成标准表达将任意一个逻辑函数表达式转换成标准表达式的方法式的方法式的方法式的方法代数转换法代数转换法代数转换法代数转换法。 求一个逻辑函数表达式的标准求一个逻辑函数表达式的标准求一个逻辑函数表达式的标准求一个逻辑函数表达式的标准“ “与与与与或或或或” ”表达表达表达表达式式式式的方法：的方法：的方法：的方法： 第一步，将函数表达式变换成一般的第一步，将函数表达式变换成一般的第一步，将函数表达式变换成
17、一般的第一步，将函数表达式变换成一般的“ “与与与与或或或或” ”表达式。表达式。表达式。表达式。 第二步，反复使用第二步，反复使用第二步，反复使用第二步，反复使用 将表达式中所有将表达式中所有将表达式中所有将表达式中所有非最小项的非最小项的非最小项的非最小项的“ “与项与项与项与项” ”扩展成最小项。扩展成最小项。扩展成最小项。扩展成最小项。1. 1. 卡诺图的引出卡诺图的引出卡诺图的引出卡诺图的引出 将将将将 变量的全部最小项各用一个小方块表示，变量的全部最小项各用一个小方块表示，变量的全部最小项各用一个小方块表示，变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上
18、也逻辑并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也逻辑并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也逻辑并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也逻辑相邻。相邻。相邻。相邻。 一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入特定的方格图内，表达式中的各最小项相应地填入特定的方格图内，表达式中的各最小项相应地填入特定的方格图内，表达式中的各最小项相应地填入特定的方格图内，此方格图称为此方格图称为此方格图称为此方格图称为卡诺图卡诺图卡诺图卡诺图。2.2.3 用卡诺图表示逻
19、辑函数用卡诺图表示逻辑函数2. 2. 卡诺图的特点卡诺图的特点卡诺图的特点卡诺图的特点 为了保证几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有为了保证几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有为了保证几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有为了保证几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有相邻性，这些数码不能按自然二进制顺序排列，必须相邻性，这些数码不能按自然二进制顺序排列，必须相邻性，这些数码不能按自然二进制顺序排列，必须相邻性，这些数码不能按自然二进制顺序排列，必须排成循环码。从几何位置上，应当把卡诺图看成是上排成循环码。从几何位置上，应当把卡诺图看成是上排成循环码。从几何位置上，应当把卡诺图看成是上排成循环码。从几何位置
20、上，应当把卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。下、左右闭合的图形。下、左右闭合的图形。下、左右闭合的图形。 卡诺图在构造上具有以下两个特点：卡诺图在构造上具有以下两个特点：卡诺图在构造上具有以下两个特点：卡诺图在构造上具有以下两个特点：(1)(1) 个变量的卡诺图由个变量的卡诺图由个变量的卡诺图由个变量的卡诺图由 个小方格组成，每个小方个小方格组成，每个小方个小方格组成，每个小方个小方格组成，每个小方格格格格代表一个最小项；代表一个最小项；代表一个最小项；代表一个最小项；(2)(2)卡诺图上处在相邻、相对位置的小方格所代表的最卡诺图上处在相邻、相对位置的小方格所代表的最卡诺图上处在相邻、相对位置
21、的小方格所代表的最卡诺图上处在相邻、相对位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。小项为相邻最小项。小项为相邻最小项。小项为相邻最小项。3. 3. 已知逻辑函数画卡诺图已知逻辑函数画卡诺图已知逻辑函数画卡诺图已知逻辑函数画卡诺图具体的做法具体的做法具体的做法具体的做法：首先把逻辑函数化成最小项之和的：首先把逻辑函数化成最小项之和的：首先把逻辑函数化成最小项之和的：首先把逻辑函数化成最小项之和的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入上填入上填入上填入1 1 ，在其
22、余位置上填入，在其余位置上填入，在其余位置上填入，在其余位置上填入0 0 ，这样就得到了，这样就得到了，这样就得到了，这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。表示该逻辑函数的卡诺图。表示该逻辑函数的卡诺图。表示该逻辑函数的卡诺图。 也就是说，任何一个逻辑函数都等于它的卡也就是说，任何一个逻辑函数都等于它的卡也就是说，任何一个逻辑函数都等于它的卡也就是说，任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入诺图中填入诺图中填入诺图中填入1 1的那些最小项之和。的那些最小项之和。的那些最小项之和。的那些最小项之和。2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数1. 1. 化简化简化简化简依据依据依据依据即合并
23、最小项的规则：即合并最小项的规则：即合并最小项的规则：即合并最小项的规则：若两个最小项相邻若两个最小项相邻若两个最小项相邻若两个最小项相邻，则可合并为一项，并消去一个因子。合，则可合并为一项，并消去一个因子。合，则可合并为一项，并消去一个因子。合，则可合并为一项，并消去一个因子。合并后的结果中只剩下公共因子。并后的结果中只剩下公共因子。并后的结果中只剩下公共因子。并后的结果中只剩下公共因子。若若若若四个最小项相邻并且排列成一个矩形组四个最小项相邻并且排列成一个矩形组四个最小项相邻并且排列成一个矩形组四个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可合并成一项，则可合并成一项，则可合并成一项，则可合并成一
24、项，并消去两个因子。合并后的结果中只包含公共因子。并消去两个因子。合并后的结果中只包含公共因子。并消去两个因子。合并后的结果中只包含公共因子。并消去两个因子。合并后的结果中只包含公共因子。若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可合并成一项，则可合并成一项，则可合并成一项，则可合并成一项，并消去三个因子。合并后的结果中只包含公共因子。并消去三个因子。合并后的结果中只包含公共因子。并消去三个因子。合并后的结果中只包含公共因子。并消去三个因子。合并后的结果中只包含公共因子。2. 2. 化简的
25、步骤化简的步骤化简的步骤化简的步骤 (1)(1)将逻辑函数写成最小项之和的形式。将逻辑函数写成最小项之和的形式。将逻辑函数写成最小项之和的形式。将逻辑函数写成最小项之和的形式。 (2)(2)画出表示该逻辑函数的卡诺图。画出表示该逻辑函数的卡诺图。画出表示该逻辑函数的卡诺图。画出表示该逻辑函数的卡诺图。 (3)(3)找出可以合并的最小项矩形组。找出可以合并的最小项矩形组。找出可以合并的最小项矩形组。找出可以合并的最小项矩形组。 (4)(4)选择化简后的乘积项。选择的原则是：选择化简后的乘积项。选择的原则是：选择化简后的乘积项。选择的原则是：选择化简后的乘积项。选择的原则是：这些乘积项应包含函数的
26、所有最小项；这些乘积项应包含函数的所有最小项；这些乘积项应包含函数的所有最小项；这些乘积项应包含函数的所有最小项；所用的乘积项数目最少，亦即所取的矩形组数目应最少；所用的乘积项数目最少，亦即所取的矩形组数目应最少；所用的乘积项数目最少，亦即所取的矩形组数目应最少；所用的乘积项数目最少，亦即所取的矩形组数目应最少；每个乘积项所含的因子最少，亦即每个矩形组中应包含每个乘积项所含的因子最少，亦即每个矩形组中应包含每个乘积项所含的因子最少，亦即每个矩形组中应包含每个乘积项所含的因子最少，亦即每个矩形组中应包含 尽量多的最小项。尽量多的最小项。尽量多的最小项。尽量多的最小项。 圈圈圈圈1 1法（圈完所有的法（圈完所有的法（圈完所有的法（圈完所有的1 1）顺序：）顺序：）顺序：）顺序： (1) (1) 圈矩形组，圈组顺序从大到小，各圈互为独立，圈矩形组，圈组顺序从大到小，各圈互为独立，圈矩形组，圈组顺序从大到小，各圈互为独立，圈矩形组，圈组顺序从大到小，各圈互为独立， 圈越大、越少越好圈越大、越少越好圈越大、越少越好圈越大、越少越好。 (2)(2)写乘积项（公共项出现在项中）。写乘积项（公共项出现在项中）。写乘积项（公共项出现在项中）。写乘积项（公共项出现在项中）。 (3)(3)乘积项之和乘积项之和乘积项之和乘积项之和最简与或式。最简与或式。最简与或式。最简与或式。
