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1、格林(Green)公式第二节 第十四十四章 回顾：回顾：在一元积分学中，在一元积分学中，F (x) 在区间在区间a, b上的定积分可以用它的上的定积分可以用它的表明表明: :原函数原函数F(x)在区间在区间a, b端点端点（即线段的（即线段的边界边界点）点）处的值来表示处的值来表示 . 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式上述结论是否能推广到二重积分？上述结论是否能推广到二重积分？DL问题：问题：第二节 第十四十四章 格林(Green)公式二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件一、格林公式一、格林公式三、平面曲线积分基本定理三、平面曲线积分基本定理 一、一、格林公式格林
2、公式1. 区域连通性分类区域连通性分类设设D为平面区域为平面区域, 则称则称D为平面为平面单连通区域；单连通区域； 平面单连通区域平面单连通区域就是没有就是没有“洞洞”的区域的区域如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, 否则否则, 平面复连通区平面复连通区域就是有域就是有“洞洞”的区域的区域 如果如果D内存在闭内存在闭曲线曲线l，它所围成的部它所围成的部分不完全属于分不完全属于D,则称则称D为为复连通区域复连通区域.2. 边界曲线边界曲线L的正向的正向边界曲线边界曲线L的正向：的正向： 当观察者沿当观察者沿L的这的这个方向行走时个方向行走时, D内在内在他他
3、近处近处的部分总在他的的部分总在他的左边左边. 单连通区域单连通区域的的边界曲线边界曲线L的正向的正向:逆时针方向逆时针方向.设设复连通区域复连通区域 D 的边界曲线为的边界曲线为 = L + l1 + l2 + + ln (如图如图) 的正向：的正向：外外边界边界L 为为逆逆时针方向；时针方向；内内边界边界为为顺顺时针方向时针方向.复复合合闭闭路路光滑闭曲线围成光滑闭曲线围成, 函数函数定理定理10.3（Green公式）公式）设平面区域设平面区域 D 是由分段是由分段 格林公式格林公式将平面区域分为三种类型，证明分将平面区域分为三种类型，证明分三步：三步：3. 格林公式格林公式有连续一阶偏导
4、数有连续一阶偏导数, 则则在在 D上具上具1 若若 D 既是既是 X-型区域型区域, 又是又是 Y-型区域型区域.则则证证(1)+(2), 得得:由于由于 D 既是既是 Y-型区域型区域, 又是又是 X-型区域型区域,2 若若 D 为单连通区域为单连通区域, 但非类型但非类型1 (如图如图)D可通过添加辅助线将其分可通过添加辅助线将其分割割为有限个类型为有限个类型1的区域的区域.A CB DA CB L1L3L2DA CB L1L3L2作辅助线作辅助线 AB, CE , 则则由由2 知知,3 若积分域若积分域 D 为复连通区域为复连通区域 (如图如图),DC EA BD1D2其中其中D1, D
5、2均为单连通区域均为单连通区域.DC EA BD1D2FmG n注注+1 格林公式的实质格林公式的实质沟通了沿闭曲线的曲线积沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系分与二重积分之间的联系.2 格林公式的条件：格林公式的条件： L封闭，取封闭，取正正向向; P，Q在在L所围区域所围区域D上有一阶连续偏导数上有一阶连续偏导数.(负负)DD3 对对复连通区域复连通区域 D 应用应用格林公式格林公式，且边界的方向对且边界的方向对 D 来说都是正向来说都是正向.4 利用曲线积分求面积的一种新方法利用曲线积分求面积的一种新方法.推论推论 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积证证
6、由格林公式由格林公式格林公式格林公式例例1 L L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：将将曲线积分转化为二重积分曲线积分转化为二重积分证证例例2L解解xyO注注？ xyOL例例3 计算计算其中其中L为一无重为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线点且不过原点的分段光滑正向闭曲线. .解解记记 L 所围成的闭区域为所围成的闭区域为D由格林公式知由格林公式知LlxyOLlxyOD1(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)LlxyOD1例例4解解LyxO, 力所作的功力所作的功.LyxOLyxO小结：小结：利用格林公式计算第二类曲线积分时，利用格林公式计算第二类曲线积
7、分时，要要注意定理使用的两个前提条件注意定理使用的两个前提条件.1. 当当L是闭曲线时是闭曲线时,+“+” ： L 取正向；取正向； “” ： L 取负取负向向.(2) 若若P, Q在在L所围区域所围区域 D上有上有奇点，奇点，则则“挖洞挖洞”.可可添加辅助线：添加辅助线：L1, L2, , Ln ，使使添加辅助线添加辅助线的的原则：原则：2. 当当L不封闭时不封闭时,L+L1+ L2+ + Ln封闭，且构成所围区域的正向或负向边界封闭，且构成所围区域的正向或负向边界. (1) P, Q 在在L+L1+ L2+ + Ln 所围区域所围区域D上有一阶上有一阶 连续的偏导数；连续的偏导数；其中其中
8、D 是以是以O(0,0), A(1,1), B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 分析分析例例5 计算计算将将二重积分转化为曲线积分二重积分转化为曲线积分利用格林公式，利用格林公式，解解利用格林公式利用格林公式 , , 有有令令解解例例6 求椭圆求椭圆定理定理10.4 设设G是单连通域是单连通域,则以下则以下四个命题四个命题等价等价:二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件证证为为G 内闭曲线内闭曲线.曲线积分曲线积分在在G内与内与路径无关路径无关当积分与路径无关时当积分与路径无关时, , 曲线积分可记为曲线积分可记为 为为G内给定的点，内给定的点，为
9、为G内任意的点，内任意的点，因因曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关, ,故故GxyO A(x0, y0) B(x, y) C(x+ x, y)GxyO A(x0, y0) B(x, y) C(x+ x, y)即即积分中值定理积分中值定理同理可证同理可证因为因为P, Q 在在 G 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数, ,因此在因此在 G内每一点都有内每一点都有设设L为为G中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线. .故故L所围区域所围区域故由故由格林公式格林公式得得由此可知定理中四个条件的等价性由此可知定理中四个条件的等价性.因为因为G为单连通域，为单连通域，注注 1 定理中关于区域的定理中
10、关于区域的单连通性单连通性和函数和函数P、Q 的的一阶偏导数的连续性一阶偏导数的连续性两个两个条件条件缺一不可缺一不可.缺少一个，定理结论缺少一个，定理结论不一定不一定成立成立. .2 当当时，时，计算曲线积分时计算曲线积分时, 可可选择方便的积分路径选择方便的积分路径 (但要完全位于但要完全位于G内内),通常选择平行于坐标通常选择平行于坐标轴的折线为积分路径轴的折线为积分路径.由定理知由定理知:解解例例7 计算计算其中其中L原积分与路径无关原积分与路径无关xyO B(1,1)1为由点为由点故故xyO B(1,1)1解解例例8 设曲线积分设曲线积分与与路径无关，路径无关，计算计算积分与路径无关
11、积分与路径无关方法方法1.oxy11方法方法2.oxy11例例9 解解PQ1L1方法方法1.选折线路径选折线路径 ACB.L方法方法2.选路径选路径 AmB: xy = k1Lm例例10解解方法方法1.方法方法2.与与路径无关路径无关三、平面曲线积分基本定理三、平面曲线积分基本定理一阶连续的偏导数一阶连续的偏导数,则则称称 u(x, y) 是是 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 在在G内的一个内的一个原函数原函数.如：如：定理定理10.5则则第二类曲线积分第二类曲线积分 推广的牛顿推广的牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式注注如如: 对于对于例例7， 计算计算其中其中L为由点为由点解法解法
12、2方法方法1 (分项组合法分项组合法)方法方法2 (折线法折线法)oxyxy方法方法3(偏积分法偏积分法)待定待定在右半平面在右半平面( x 0 )内存在内存在原函数原函数 , , 并求出一个这样的函数并求出一个这样的函数. . 证证 令令则则在右半在右半平面上取点平面上取点(1,0)(1,0)例例11 验证验证u(x,y)唯一吗唯一吗?解解原方程是全微分方程原方程是全微分方程原方程的通解为原方程的通解为例例12内容小结内容小结(1) 边界曲线边界曲线L的正向的正向.(2) 格林公式格林公式(3) 平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件(4) 平面曲线积分基本定理平面曲线积分基本定理与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题解解例例1-11-1 计算抛物线计算抛物线与与x x轴所围轴所围成的成的面积。面积。O其中其中L 为为从从O (0, 0)到到A (4, 0).解解 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L 所围区域为所围区域为D , 则则原式原式上半圆周上半圆周例例10 计算计算
