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1、一元函数的微分运算，即由给定函数求出一元函数的微分运算，即由给定函数求出它的导数或微分。它的导数或微分。 解决和微分运算相反的问题，即已知函数解决和微分运算相反的问题，即已知函数的导函数而要求出的导函数而要求出此函数此函数(原函数原函数)， 微分法微分法:积分法积分法:互逆运算互逆运算第四章第四章不定积分 重点重点:概念及计算方法概念及计算方法 不定积分的概念与 性质例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念需要考虑的问题是需要考虑的问题是: : (A)(A)原函数的存在性；原函数的存在性；( (B) )原函数的个数原函数的个数, ,是否唯一若不唯一，关系是什么？是否
2、唯一若不唯一，关系是什么？(C)(C)原函数的求法；原函数的求法；（D D）以上都要研究吧。）以上都要研究吧。原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（ 为任意常数）为任意常数）表达式表达式 就表示就表示f (x)的任意一个原函的任意一个原函数数.即全体原函数组成的集合即全体原函数组成的集合-不定积分不定积分 关于原函数的个数：关于原函数的个数：任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积
3、积分分变变量量理解：逆运算的结果不唯一。如：理解：逆运算的结果不唯一。如：例例1 1 求求例例2 2 求求例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任一点处的切线），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. .解解 设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1 1，2 2）所求曲线方程为所求曲线方程为不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的曲线族的曲线族.的的积分曲线积分曲线 . #40002sjgs求
4、不定积分的方法称为积分法。想法：抓住关键求不定积分的方法称为积分法。想法：抓住关键逆运算逆运算启发：导数公式启发：导数公式积分公式积分公式,P193二、二、 基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表是常数是常数);例例1. 求解解: 原式原式=例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论： 在不计常数的情况下，微分运算与求不定在不计常数的情况下，微分运算与求不定积分的运算是积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.三、三、 不定积分的性质不定积分的性质#40003sjgs#40006sjgs证证（此性质可推广到有限多个函数之和的情况
5、）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合不定积分具有线性运算性质不定积分具有线性运算性质.证明证明例例5 5 求求简单积分法：简单积分法：利用利用恒等变形恒等变形,积分性质积分性质及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 例例6 6 求求例例7 7 求求（同类）（同类）例例9例例10例例9 9 求积分求积分解解例例8. 求求解解: 原式原式 =6. 求不定积分求不定积分解：解：7. 已知已知求求 A , B .解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得 换元积分法问题：问题：解决：利用复合函数求
6、导法，求原函数。解决：利用复合函数求导法，求原函数。思考：方法能否一般化？思考：方法能否一般化？设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理一、第一类换元法一、第一类换元法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）例例2 2 求求分析分析一般地一般地解解熟练后写法熟练后写法例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）uu疑问？疑问？说明说明求不定积分时一定要加上积分常数，求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函 数，若不数，若不加积分常数则表示只求出
7、了一个原函数加积分常数则表示只求出了一个原函数积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数差一个常数例例3 3 求求解解例例4 4 求求解解例例5 5 求求解解例例7 7 求求解一解一解二解二例例8 8 求求解解例例9 9 求求原式原式例例1010 求求解解例例1111 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1212 求求解解例例1313 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出例例1515
8、求求解解求求 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。分析。 要掌握好这种方法，需要要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式熟记一些函数的微分公式，并善，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。出合适的微分因子。补充公式补充公式P206.并会证明及使用。并会证明及使用。 求求解解故故分段函数的不定积分分段函数的不定积分复习提高：复习提高：
9、因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续于是有于是有二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）如果将第一类换元法的公式由左到右使用有如果将第一类换元法的公式由左到右使用有 但需要一定的条件等式右边的不定积分要存在，但需要一定的条件等式右边的不定积分要存在， 在在 t 的某一个区间（这区间和所考虑的的某一个区间（这区间和所考虑的x 的积的积分区间相对应）上是单调的，可导的分区间相对应）上是单调的，可导的. 例例1616 求求解解 令令（三角换元法）（三角换元法） 求不定积分时，应讨论函数定义域，代换要说明范围，
10、但由此例（P211），一般的，代换时被积函数的定义域可只考虑一部分，结果仍正确。为简便，可以不写代换的变化范围，且直接引用例例1818 求求解解 令令补充公式补充公式P211.（三角换元法）（三角换元法）例例1717 求求解解 令令说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用其它代换其它代换. 例例2222 求求解解令令倒代换
11、倒代换倒代换倒代换例例2121 求求令令解解 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换或倒代换）并不是绝对的，需根据换（或双曲代换或倒代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定被积函数的情况来定.还可以直接去根号还可以直接去根号。说明说明例例1919 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解例例2323 求求解解令令例例2020 求求解解 令令P212基基本本积积分分表表三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2) 分部
12、积分法分部积分公式分部积分公式一、基本内容一、基本内容例例1 1 求积分求积分解（一）解（一） 令令显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解（二）解（二） 令令例例2 2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数或幂弦函数或幂函数和指数函数的乘积函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 , 使其使其降幂一次降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)例例3 3 求积分求积分解解例例4 4 求积分求积分解解总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和
13、对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .例例5 5 求积分求积分解解小结小结 在使用分部积分法时，经常出现所求积分在使用分部积分法时，经常出现所求积分再现的情况，一旦出现往往产生三种结果：再现的情况，一旦出现往往产生三种结果：一。一。是通过移项即可求得积分结果；是通过移项即可求得积分结果；二。二。是建立递推公式；是建立递推公式；三。三。是又回到原积分，且系数及符号完全相同，是又回到原积分，且系数及符号完全相同，这时说明该积分不能用分部积分法求出这时说明该积分不能用分部积分法求出例例8 8 求积分求积分解解由上递推公式及由上递推公式及I1，即可求得所有的即可求得所有的In 解解#40013sjgs练习练习
