《高等数学课件：11.4 隐函数微分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：11.4 隐函数微分法（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.4 11.4 隐函数微分法隐函数微分法一一. 一个方程的情形一个方程的情形利用微分形式不变性利用微分形式不变性利用微分形式不变性利用微分形式不变性例例设设 , 求求解解z 是是 x , y 的函数的函数 将方程两边对将方程两边对 x 求偏导数求偏导数 , 有有将方程两边对将方程两边对 y 求偏导数求偏导数 , 有有解二解二将方程两边取全微分将方程两边取全微分 , 有有解解例例试证试证: 由由确定的函数确定的函数 u = u(x , y , z) 满足满足将方程两边取全微分将方程两边取全微分 , 有有 dF = 0 , 即即二二. 方程组的情方程组的情形形若记若记( 称为称为 F , G
2、关于关于 y , z 的的 雅可比行列式雅可比行列式 )则有则有同理同理 对于方程组对于方程组可确定函数可确定函数: 将上方程组两边分别对将上方程组两边分别对 x , y , z 求偏导数求偏导数 , 有有解以上线性方程组就可解以上线性方程组就可 u , v 关于各变量的偏导数关于各变量的偏导数解解例例设设 求求 三个方程三个方程 , 五个未知量五个未知量 , 根据隐函数存在定理根据隐函数存在定理可确定其中三个变量是另外两个变量的函数可确定其中三个变量是另外两个变量的函数由题意知由题意知 z = z(x , y) , = (x , y) , = (x , y) 方法一方法一: 将上方程组两边对
3、将上方程组两边对 x 求偏导数求偏导数 , 有有解得解得再将上方程组两边对再将上方程组两边对 y 求偏导数求偏导数 , 有有解得解得方法二方法二: 将上方程组两边取全微分将上方程组两边取全微分 , 有有解得解得 解这类问题的要点解这类问题的要点:(1) 首先搞清变量与变量之间的关系首先搞清变量与变量之间的关系 , 即谁即谁 是谁是谁 的函数的函数(2) 将方程组两边对自变量求偏导将方程组两边对自变量求偏导 , 得到偏得到偏导数满足的线性方程组导数满足的线性方程组(3) 解线性方程组得到所求的偏导数解线性方程组得到所求的偏导数解解例例设设 , 求求 两个方程两个方程 , 五个未知量五个未知量 , 确定其中两个变量确定其中两个变量是剩余三个变量的函数是剩余三个变量的函数 . 由题意知由题意知: u = u (x , y , z) , v = v (x , y , z) 将上方程组两边取全微分将上方程组两边取全微分 , 有有解得解得
