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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索人教版人教版 必修必修2 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系第二章第二章这是我国著名的大学，设计风格新颖设计师独特创意的背后却是缜密的几何思维，类似许许多多的建筑设计包含了线、面的位置关系的应用，相交、平行、垂直关系随处可见现实生活中类似这样的位置关系是比较常见的，如何准确判断这些位置关系？这就是本章将要研究的点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系是高中数学立体几何中的基础内容，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用2.1空间点、直线、平面之间的位置关系空间
2、点、直线、平面之间的位置关系第二章第二章2.1.1平面平面 高高 效效 课课 堂堂2课后强化作业课后强化作业4优优 效效 预预 习习1当当 堂堂 检检 测测3优优 效效 预预 习习1在初中几何中学习的线可以看作是_运动形成的轨迹2在平面几何中，通过实验、观察得到了点和线的基本性质是什么？连结两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线知识衔接知识衔接点3在平面几何中，两条直线的位置关系有哪几种？在平面几何中，两直线的位置关系有：相交和平行两种4几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的画出的点，我们不考虑它们的大小，画出的直线也不考虑它们的粗细基于这种抽象的思考，我们才能总结
3、出上述点与直线的性质大家学完初中几何以后，已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用1平面自主预习自主预习描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限_的画法通常把水平的平面画成一个_，并且其锐角画成45，且横边长等于其邻边长的_倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用_画出来，如图2所示延展平行四边形2虚线记法(1)用一个_，等来表示，如上图1中的平面记为平面(2)用两个大写的_(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中
4、的平面记为平面ABC或平面_等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形_)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD希腊字母英文字母BCD顶点归纳总结习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面2点、线、面的位置关系的表示A是点，l，m是直线，是平面.AlAlAAll lmAlAl名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与
5、集合的关系，故用“”或“”表示3公理1文字语言如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内图形语言符号语言Al，Bl，且A，B_作用判断点在平面内判断直线在平面内用直线检验平面两点l名师点拨公理1的内容反映了直线与平面的位置关系“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内4公理2不在 不共线名师点拨(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个
6、平面”(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现5公理3文字语言如果两个不重合的平面有一个_，那么它们有且只有一条过该点的公共_图形语言符号语言Pl且_作用(1)判定平面相交(2)证明点共线(3)证明线共点公共点直线Pl名师点拨公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一
7、”公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面1下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D4答案A预习自测预习自测解析序号正误理由(1)因为平面是无限延展的，故(1)错(2)平面是无厚度的，故(2)错(3)平面是无限延展的，不可度量，故(3)错(4)平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确答案(1)(2)AB(3)(4)3已知直线m平面
8、，Pm，Qm，则()AP，Q BP，QCP，Q DQ答案D解析Qm，m，Q.Pm，有可能P，也可能有P.4三点可确定平面的个数是()A0 B1C2 D1或无数个答案D解析当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面5如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A没有其他公共点 B仅有这一个公共点C仅有两个公共点 D有无数个公共点答案D高高 效效 课课 堂堂用符号语言表示下列语句，并画出图形(1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC；(2)平面ABD与平面BCD交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC 文字、图形、符号三种语言
9、的转化 互动探究互动探究探究1解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“”“”“”“”“”的意义2解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即“文字语言、图形语言、符号语言”，能实现这三种语言的相互转换文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注解析(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC图形表示：如图1所示(2)符号语言表示：平面ABD平面BCDBD，平面ABC平面ADCAC图形表示：如图2所示规律总结：学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“”或“
10、”，直线与平面间的位置关系只能用“”或“”由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别(3)根据下列条件画出图形：平面平面MN，ABC的三个顶点满足条件AMN，B，BMN，C，CMN.答案(1)Ma，a，M(2)AC(3)如图所示求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面探究1平面确定的条件？2两平面重合的条件？解析已知：abc，laA，lbB，lcC求证：直线a，b，c和l共面证明：如图所示，因为 ab，由公理 2 可知直线a与b确定一个平面，设为.证明多线共面问题因为laA，lbB，所以Aa，Bb，则A，B.又因为Al，Bl，所以由公理1可知l.因为
11、bc，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面，同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l，且lbB，而由公理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其推论(2)证明点线共面的常用方法纳入平面法：先由公理2或其推论确定一个平面，再由公理1证明有关点线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合过直线l外一点P，引两条直线PA，PB和直线l分别交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面证明如右图所示，PAPBP，过PA，PB确定一个平
12、面.A，B.Al，Bl，l.PA，PB，l共面已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图求证：P、Q、R三点共线探究1P、Q、R三点分别在哪几个平面上？2在两个相交平面上的点，有什么特点？ 证明多点共线问题证明方法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上P、Q、R三点共线方法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B面APR，C面APR，BC面APR.又Q面APR，Q，QPR.P、Q、R三点共线规律总结：证明点线共面的常用方法：(1)归
13、一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理1.(2)重合法：应用公理1，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理2证明这几个平面重合如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1，O，M三点共线分析要证若干点共线，只需证这些点同在两个相交平面内即可证明由AA1CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1CA1C平面A1C，而OA1C，O平面A1C又A1C平面BC1DO，O平面BC1DO点在平面BC1D与平面A1C的交线上又ACBDM，M平面BC1D且M平面A1C又C1平面BC1D且C
14、1平面A1C，平面A1C平面BC1DC1M，OC1M，即C1，O，M三点共线点评本题先证明C1M是平面A1C与平面BC1D的交线，通过公理3知OC1M，从而证明了C1，O，M共线已知：如图，空间四边形ABCD中，E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DFFCDGGA12，求证：直线EF，BD，HG交于一点探究先证EF，HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上证明三线共点问题探索延拓探索延拓设EFGHO，则OGH，OEF.GH平面ABD，EF平面BCD，O平面ABD，O平面BCD平面ABD平面BCDBD，OBD，即直线EF，BD，HG交于一点规律总结：本题主要考查线线共点的
15、问题在解决这类问题时，首先证明两条直线相交于一点，再证这一点在另一条直线上要证这一点在另一条直线上，可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上三个平面、两两相交，交于三条直线，即c，a，b，已知直线a和b不平行求证：a、b、c三条直线必过同一点分析证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，P是这两个平面的公共点，据公理3得出P在第三条直线上证明b，a，a，b，a、b不平行，a、b必相交，设abP，Pa，a，P，同理P，而c，Pc.a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点空间中四点，如果任意三点都不共线，那么由这四个点可以确定多少个平面？错解因为不共
16、线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面错因分析忽略了四个点在同一个平面上的可能易错点对于条件所给的点的位置关系考虑不全面误区警示误区警示思路分析空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面 正解一个或者是四个已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？错解因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D
17、所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面 错因分析错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B，C，D三点还可能共线正解(1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E在平面内，所以点A，E都在平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面(2)如果B，C，D三点共线于l，若A，E都在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面规律总结：在立
18、体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件 当当 堂堂 检检 测测1.如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A平面MNB平面NQPC平面D平面MNPQ答案A解析MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.2用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l答案B3下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，表示平面)：(1)A，B，AB；(2)A，A，A；(3)A，a，Aa；(4)Aa，a，A
19、.其中命题和叙述方法都正确的个数是()A0 B1C2 D3答案B解析(3)正确(1)错，其中的AB应为AB.(2)错，其中，应该交于一条过A点的直线(4)错，因为点A可能是直线a与平面的交点4看图填空：(1)ACBD_.(2)平面AB1平面A1C1_.(3)平面A1C1CA平面AC_.(4)平面A1C1CA平面D1B1BD_.(5)平面A1C1平面AB1平面B1C_.(6)A1B1B1BB1C1_.答案(1)O(2)A1B1(3)AC(4)OO1(5)B1(6)B15判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)一点和一条直线确定一个平面；(2)经过一点的两条直线确定一个平面；(3)两两相交的三条直
20、线确定一个平面；(4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内解析(1)不正确如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面(2)正确经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2，有唯一一个平面(3)不正确三条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如图1(1)、(2)所示前者，由公理2得知，可以确定1个或3个平面；后者，由公理2及公理1知，能确定唯一一个平面(4)不正确四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，如图2.因此，这四条线段不一定在同一平面内规律总结：公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件；立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空间想象能力对于问题中的点、线，要注意它们可能存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果
