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1、第八节第八节 高阶导数与高阶微高阶导数与高阶微分分一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例三、高阶微分三、高阶微分8/2/20241一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义记作记作8/2/20242三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,8/2/20243二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例例例1 1解解1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数
2、由高阶导数的定义逐步求高阶导数.8/2/20244例例2 2解解同理可得同理可得8/2/20245例例3 3解解同理可得同理可得8/2/20246例例4 4解解特别地特别地8/2/20247例例5 5解解注意注意 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合不要急于合并并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法证明证明)8/2/20248例例6 6解解8/2/202492.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式8/2/202410例例7 7解解8/2/2024113.3.间接法间接法常用高阶导数公式常用高阶导
3、数公式利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.8/2/202412例例8 8解解8/2/202413例例1 1解解 隐函数的高阶导数隐函数的高阶导数用复合函数求导法则用复合函数求导法则,直接对方程两边对直接对方程两边对x逐次逐次求导求导,(y是是x的函数的函数),最后解出最后解出y的高阶导数的高阶导数.8/2/2024148/2/202415例例2 2解解8/2/202416参数方程的高阶导数8/2/202417例例1 1解解8/2/2024188/2/202419例例3设设连续，连续，求求.不一定存在不一定
4、存在故用定义求故用定义求解解8/2/2024208/2/202421例例3 3例例4 48/2/202422例例5 58/2/202423一阶微分的定义一阶微分的定义三三 高阶微分高阶微分8/2/202424若若可微时，称它的微分可微时，称它的微分为为y的的二阶微分二阶微分，记为，记为.当当可微时，可微时，一般地，当一般地，当y的的n-1-1阶微分阶微分可微时，可微时，为为y的的三阶微分三阶微分，记为，记为称它的微分称它的微分二阶微分：二阶微分：n阶微分：阶微分：称称n-1阶微分的微分称为阶微分的微分称为n阶微分，记作阶微分，记作高阶微分：高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。二阶以
5、及二阶以上的微分统称为高阶微分。1高阶微分的定义高阶微分的定义8/2/2024252.高阶微分的求法高阶微分的求法 用同样的方法，得用同样的方法，得这里这里dx 的是的是x处的产生的增量处的产生的增量,与变量与变量x无关无关,视作常数视作常数 即即y的的 n阶微分等于它的阶微分等于它的n阶导数乘上自变量的微分阶导数乘上自变量的微分的的 n次方次方. 8/2/202426但对于复合函数我们就不能得出这一公式但对于复合函数我们就不能得出这一公式 这时才回能到前面导出的公式这时才回能到前面导出的公式这里这里当当u的是自变量的是自变量x时时, 这事实也说明高阶导数不具有形式不变性这事实也说明高阶导数不
6、具有形式不变性所以所以8/2/202427对于复合函数我们就不能得出对于复合函数我们就不能得出 注意这里记号注意这里记号 如如n=2时时,应有应有表示不同含义表示不同含义,不能混淆不能混淆. 8/2/202428例例1求求的二阶微分的二阶微分.解解:所以所以若把若把看成是由看成是由复合而成的函数，复合而成的函数，则则所以所以且且8/2/202429例例2设设分别依公式（分别依公式（1）、）、（2）求）求解解由由得得依公式（依公式（1）得）得类似地，依公式（类似地，依公式（2）得）得8/2/202430三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法：阶导数的求法：1.直接法直接法;2.间接法间接法.8/2/202431
