《线性代数：5-1向量的内积长度及正交性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数：5-1向量的内积长度及正交性（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性定定义：设有有 n 维向量向量令令则称称 x, y 为向量向量 x 和和 y 的的内内积向量的内积向量的内积x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内内积具有下列性具有下列性质（其中（其中 x, y, z 为 n 维向量，向量，l l 为实数）：数）：l对称性：称性： x, y = y, xx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内内积具有下列性具有下列性质（其中（其中 x, y, z 为 n 维向量，向量，l l 为实数）：数）：
2、l对称性：称性： x, y = y, xl线性性性性质： l l x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内内积具有下列性具有下列性质（其中（其中 x, y, z 为 n 维向量，向量，l l 为实数）：数）：l对称性：称性： x, y = y, xl线性性性性质： l l x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z l当当 x = 0（零向量）（零向量） 时， x, x = 0；当当 x 0（零向量）（零向量） 时， x, x 0x, x = x12
3、+ x22 + + xn2 0x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内内积具有下列性具有下列性质（其中（其中 x, y, z 为 n 维向量，向量，l l 为实数）：数）：l对称性：称性： x, y = y, xl线性性性性质： l l x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z l当当 x = 0（零向量）（零向量） 时， x, x = 0；当当 x 0（零向量）（零向量） 时， x, x 0l施瓦施瓦兹（Schwarz）不等式）不等式x, y2 x, x y, y回顾：线段的长度回顾：线段的长度x1x2x1x2x3P(x1
4、, x2)OPO若令若令 x = (x1, x2)T，则，则若令若令 x = (x1, x2, x3)T，则，则x, x = x12 + x22 + + xn2 0 向量的长度向量的长度定定义：令令称称 | x | 为 n 维向量向量 x 的的长度度（或（或范数范数）当当 | x | = 1时，称，称 x 为单位向量位向量向量的向量的长度具有下列性度具有下列性质：n非非负性：性：当当 x = 0（零向量）（零向量） 时， | x | = 0； 当当 x0（零向量）（零向量） 时， | x | 0n齐次性：次性： | l l x | = | l l | | x | 向量的长度向量的长度定定义：令
5、令称称 | x | 为 n 维向量向量 x 的的长度度（或（或范数范数）当当 | x | = 1时，称，称 x 为单位向量位向量向量的向量的长度具有下列性度具有下列性质：n非非负性：性：当当 x = 0（零向量）（零向量） 时， | x | = 0； 当当 x 0（零向量）（零向量） 时， | x | 0n齐次性：次性： | l l x | = | l l | | x |n三角不等式：三角不等式： | x + y | | x | + | y |xyx + yy向量的正交性向量的正交性施瓦施瓦兹（Schwarz）不等式）不等式x, y2 x, x y, y = | x | | y |当当 x 0
6、 且且 y 0 时，定定义：当当 x 0 且且 y 0 时，把，把称称为 n 维向量向量 x 和和 y 的的夹角角当当 x, y = 0，称向量，称向量 x 和和 y 正交正交结论：若若 x = 0，则 x 与任何向量都正交与任何向量都正交xy定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定理：定理：若若 n 维向量维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1, a2, , ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，
7、那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2从而从而 k1 = 0同理可证，同理可证，k2 = k3 = = kr =0综上所述，综上所述， a1, a2, , ar 线性无关线性无关例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2 解：解：设设a3 = (x1, x2, x3)
8、T ，若，若a1a3 ， a2a3 ，则，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令 定义：定义： n 维向量维向量e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）；e1, e2, , er 两两正交；两两正交；e1, e2, , er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正
9、交基规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基设设 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意一中任意一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x = l l1e1 + l l2e2 + + l lrer于是于是特别地，若特别地，若 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问题： 向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1, a2, , ar 向量空间向量空间 V
10、中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1, e2, , er求规范正交基的方法求规范正交基的方法第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化）正交化过程程设 a1, a2, , ar 是向量空是向量空间 V 中的一个基，那么令中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基规范正交基规范正交基第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化）正交化过程程设 a1, a2, , ar 是向量空是向量空间 V 中的一个基，那么令中的一个基，那么令于是于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与两两正交，并且与a1, a
11、2, , ar 等价，即等价，即 b1, b2, , br 是向量空是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基特特别地，地，b1, , bk 与与a1, , ak 等价（等价（1 k r）第二步：单位化第二步：单位化设设 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令因为因为从而从而 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基例：例：设设 ，试用施密特正，试用施密特正交化交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取例：例：设设 ，试用施密特正，试用施
12、密特正交化交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第二步单位化，令第二步单位化，令例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交. .解：解：若若a1a2 ， a1a3 ，则，则 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0即即a2, a3 应满足方程应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求（以保证（以保证 a2a3 成立）成立）定义：定义：如果如果
13、 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA = E，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 即即 A1 = AT，于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向
14、量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .因为因为ATA = E 与与AAT = E 等价，所以等价，所以定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充
15、分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .例：例：正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A| = 1 或或1若若 A 和和B是正交阵，则是正交阵，则 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y = Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这就是正交变换的优良特性
