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1、数学建模选修课四Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望一、数学模型一、数学模型 如图建立坐标系，取导弹基地为原点O(0,0)，x轴指向正东方，y轴指向正北方。 当t=0时，导弹位于点O，敌舰位于点A(0,H)，其中H=120km。设导弹在t时刻位置为P(x(t),y(t)，由题意 (1)其中v1=450km/h。 在t时刻，敌舰位于M(v2t,H)处，其中v2 =90km/h。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌舰，即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向，故有 或 (2)
2、方程(1), (2)连同初值条件 (3)构成了一个关于时间变量t的一阶常微分方程组的初值问题。 为了获得x与y的关系，要设法消去变量t，由(2)式得两边对t求导得即 将上式与(1)合并，再加上初值条件，则得如下初值问题 这就是导弹轨迹的数学模型。二、模型的求解二、模型的求解1. 解析方法解析方法 模型中的二阶方程可以降阶。令 ，则方程可降为一阶可分离变量方程即 易得由初值条件 ，得 ，从而注意到上式可改写为于是有 这样我们又得到一个可分离变量方程积分得 利用 ，得 ，从而导弹轨迹方程为 设导弹击中敌舰于B(L,H)，以y=H代入上式，得击中敌舰的时刻为 代入具体数据得 。 2. 数值方法数值方
3、法 可以用数值分析中介绍的Euler公式、改进的Euler公式和四阶Runge-Kutta公式来求解上述初值问题。 下面介绍两种解常微分方程的Euler方法和改进的Euler方法方法。(1) Euler方法方法 将 在 上积分， ，得用数值方法求上述积分。 ，得 ，称之为Euler公式。 ，得 称之为后退的Euler公式。 ，得称之为梯形公式。 (2) 改进的改进的Euler方法方法 Euler公式计算简便，但精度差，梯形公式为隐式，计算较复杂，但精度较高，可将两者结合。称为改进的Euler公式，上式也可写为 例例 用Euler公式和改进的Euler公式求解初值问题此问题的准确解为 。Eule
4、r公式：改进的Euler公式：Euler方法计算结果改进的Euler方法计算结果 下面用Euler公式和改进的Euler公式求解本问题。 由(1)(2)两式得， 取时间步长 ， 时导弹轨迹上点的坐标为 ，则Euler格式为 当计算到 时停止，故或 ， 。 改进的Euler格式为(3) 仿真方法（模型的检验）仿真方法（模型的检验） 如果建立微分方程很困难，或者微分方程很复杂而难以作出数值处理，常常可以用仿真方法，即模仿真实事件行为和过程的方法。在本问题中，就是在计算机上通过相应的程序和软件来一步步地模拟导弹追踪敌舰的实际过程。 设导弹和敌舰在初始时刻分别位于 和 ，此时, 导弹指向 。在 时，导
5、弹位置为 ，其中 ，敌舰位置为 。这时导弹沿 方向飞行， 的倾角为在 时，导弹的位置为 ，其中此时敌舰位置为 ，导弹沿 方向飞行。 一般地， 时，导弹位置为 ,敌舰位置为 ，导弹沿 方向飞行， 的倾角为从而 时，导弹位置为 ,敌舰位置为 ，其中 当 时，仿真停止，取 。 如果发射导弹时，敌舰立即由仪器觉察。假定敌舰为一高速快艇，它即刻以 135 km/h 的速度与导弹方向成一夹角逃逸，问导弹何时何地击中敌舰？根据计算结果，你能否指出敌舰与导弹方向成何夹角逃逸才好？提示：可假设导弹与敌舰相距足够近时敌舰即被击中。 设逃逸方向与导弹速度方向夹角为,如图建立坐标系。考虑到舰艇的体积，我们认为当导弹坐
6、标点与舰艇坐标点距离小于一米时击中舰艇。 导弹的坐标为 ，舰艇的坐标为 。 在 时， 在 时， 。导弹的位置为 ，其中此时敌舰位置为 ，导弹沿 飞行。 一般地， 时，导弹位置为敌舰位置为 ，导弹沿 方向飞行， 的倾角为从而 时，导弹位置为 ,敌舰位置为 ，其中 其中当 时，仿真停止，取油罐标尺刻度的设计油罐标尺刻度的设计 在石油的生产地和加工厂，为了储存原油，经常使用大量的储油罐。油罐的外形为一个圆柱体和两个圆锥体的组合，上端有一注油孔。由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。显然，将剩油取出讲师是不现实的。因此，希望能设计一个精细的标尺：工人只需
7、将标尺垂直插入使尺端到油罐的最底部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。这是一个来自油田的实际问题。 设圆柱的底面半径为R，长度为L，圆锥的底面半径也为R，高为A。若标尺被油浸湿的高度为H，而此时罐内的油量为V，则问题归结为求函数其中即要求油量函数的反函数。 由于对称性，只需研究 的情形即可。 1. 求油量函数的解析方法求油量函数的解析方法 记 其中Vc(H)和Vb(H)分别为相应圆柱和圆锥(一侧部分)中的储油量。 先求 Vc(H) 。设圆柱体截面中储油部分对应的弓形区域面积为S(H)，弓形对应的圆心角的一半为 ，则利用 的三角函数表达式，有从而 再求Vb(H)。设与圆锥体底面平行且距底面x处的截面上表示储油部分的弓形区域面积为Q，那么和前面S不同的是: Q不仅与H有关，而且与x 有关。设该弓形的半径为r，高为h，则由几何关系不难看出：从而 ， 。 类似于S的求法，有作变换 即得 综上，
