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1、第第2 2讲导数的简单应用讲导数的简单应用高考导航高考导航热点突破热点突破备选例题备选例题阅卷评析阅卷评析真题体验真题体验1.(1.(20182018全国全国卷卷, ,文文6 6) )设函数设函数f(x)=xf(x)=x3 3+(a-1)x+(a-1)x2 2+ax.+ax.若若f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,则曲线则曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方程为处的切线方程为( ( ) )(A)y=-2x(A)y=-2x(B)y=-x(B)y=-x(C)y=2x(C)y=2x(D)y=x(D)y=xD D高考导航高考导航 演真题演真题明备考明备考解析解析: :法
2、一法一因为因为f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),由此可得由此可得a=1,a=1,故故f(x)=xf(x)=x3 3+x,f(x)=3x+x,f(x)=3x2 2+1,f(0)=1,+1,f(0)=1,所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方程为处的切线方程为y=x.y=x.故选故选D.D.法二法二因为因为f(x)=xf(x)=x3 3+(a-1)x+(a-1)x2 2+ax+ax为奇函数为奇函数, ,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2+2(a-1)x+a+2(a-1)x+a为偶函数为偶函数
3、, ,所以所以a=1,a=1,即即f(x)=3xf(x)=3x2 2+1,+1,所以所以f(0)=1,f(0)=1,所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方程为处的切线方程为y=x.y=x.故选故选D.D.2.(2.(20162016全国全国卷卷, ,文文9 9) )函数函数y=2xy=2x2 2-e-e|x|x|在在-2,2-2,2的图象大致为的图象大致为( ( ) )D D解析解析: :因为因为f(x)=2xf(x)=2x2 2-e-e|x|x|,x-2,2,x-2,2是偶函数是偶函数, ,又又f(2)=8-ef(2)=8-e2 2(0,1),(0,1
4、),故排除故排除A,B.A,B.设设g(x)=2xg(x)=2x2 2-e-ex x, ,则则g(x)=4x-eg(x)=4x-ex x. .又又g(0)0,g(0)0,所以所以g(x)g(x)在在(0,2)(0,2)内至少存在一个极值点内至少存在一个极值点, ,所以所以g(x)=2xg(x)=2x2 2-e-e|x|x|在在(0,2)(0,2)内至少存在一个极值点内至少存在一个极值点, ,排除排除C.C.故选故选D.D.3.(3.(20182018全国全国卷卷, ,文文1 13)3)曲线曲线y=2ln xy=2ln x在点在点(1,0)(1,0)处的切线方程为处的切线方程为. .答案答案:
5、:y=2x-2y=2x-2答案答案: :x-y+1=0x-y+1=05.(5.(20152015全国全国卷卷, ,文文1616) )已知曲线已知曲线y=x+lnxy=x+lnx在点在点(1,1)(1,1)处的切线与曲线处的切线与曲线y=axy=ax2 2+ +(a+2)x+1(a+2)x+1相切相切, ,则则a=a=. .答案答案: :8 86.(6.(20172017全国全国卷卷, ,文文2121) )已知函数已知函数f(x)=ln x+axf(x)=ln x+ax2 2+(2a+1)x.+(2a+1)x.(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性; ;7.(7.(20152015
6、全国全国卷卷, ,文文2121) )已知函数已知函数f(x)=ln x+a(1-x).f(x)=ln x+a(1-x).(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性; ;(2)(2)当当f(x)f(x)有最大值有最大值, ,且最大值大于且最大值大于2a-22a-2时时, ,求求a a的取值范围的取值范围. .考情分析考情分析1.1.考查角度考查角度(1)(1)考查导数的几何意义的应用考查导数的几何意义的应用, ,包括求曲线的切线方程、根据切线方程求参数包括求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等值等;(2);(2)考查导数在研究函数性质中的应用考查导数在研究函数性质中的应用, ,包括利
7、用导数研究函数性质判断包括利用导数研究函数性质判断函数图象、利用导数求函数的极值和最值、利用导数研究不等式与方程等函数图象、利用导数求函数的极值和最值、利用导数研究不等式与方程等. .2.2.题型及难易度题型及难易度选择题、填空题、解答题均有选择题、填空题、解答题均有, ,其中导数几何意义的应用为中等难度偏下其中导数几何意义的应用为中等难度偏下, ,其他其他问题均属于较难的试题问题均属于较难的试题. .热点突破热点突破 剖典例剖典例促迁移促迁移热点一热点一导数的几何意义导数的几何意义答案答案: :(1)C(1)C(2)(2)(20182018河南南阳一中三模河南南阳一中三模) )经过原点经过原
8、点(0,0)(0,0)作函数作函数f(x)=xf(x)=x3 3+3x+3x2 2图象的切线图象的切线, ,则切线方程为则切线方程为; ;答案答案: :(2)y=0(2)y=0或或9x+4y=09x+4y=0(3)(3)(20182018黑龙江省哈尔滨九中二模黑龙江省哈尔滨九中二模) )设函数设函数f(x)=(x-a)f(x)=(x-a)2 2+(ln x+(ln x2 2-2a)-2a)2 2. .其中其中x0,ax0,aR R, ,存在存在x x0 0使得使得f(xf(x0 0) ) 成立成立, ,则实数则实数a a的值为的值为. .方法技巧方法技巧热点训练热点训练1:1:(1)(1)(2
9、0182018辽宁省辽南协作校一模辽宁省辽南协作校一模) )已知函数已知函数f(x)f(x)在在R R上满足上满足f(x)=f(x)=2f(2-x)-x2f(2-x)-x2 2+8x-8,+8x-8,则曲线则曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程是处的切线方程是( () )(A)y=-2x+3(A)y=-2x+3 (B)y=x (B)y=x(C)y=3x-2(C)y=3x-2 (D)y=2x-1 (D)y=2x-1解析解析: :(1)(1)由由f(x)=2f(2-x)-xf(x)=2f(2-x)-x2 2+8x-8,+8x-8,可得可得f(2-x)=2f(
10、x)-(2-x)f(2-x)=2f(x)-(2-x)2 2+8-8x,+8-8x,即即f(2-x)=2f(x)-xf(2-x)=2f(x)-x2 2-4x+4,-4x+4,将其代入将其代入f(x)=2f(2-x)-xf(x)=2f(2-x)-x2 2+8x-8,+8x-8,可得可得f(x)=4f(x)+8-8x-2xf(x)=4f(x)+8-8x-2x2 2-x-x2 2+8x-8,+8x-8,即即f(x)=xf(x)=x2 2, ,故故f(x)=2x,f(x)=2x,因为因为f(1)=1,f(1)=1,所以切线方程为所以切线方程为y-1=2(x-1),y-1=2(x-1),即即y=2x-1.
11、y=2x-1.故选故选D.D.答案答案: :(1)D(1)D答案答案: :(2)D(2)D解析解析: :(3)(3)根据题意根据题意, ,设曲线设曲线y=aey=aex+2x+2与与2x-y+6=02x-y+6=0的切点的坐标为的切点的坐标为(m,ae(m,aem+2m+2),),其导数其导数y=aey=aex+2x+2, ,则切线的斜率则切线的斜率k=aek=aem+2m+2, ,又由切线方程为又由切线方程为2x-y+6=0,2x-y+6=0,即即y=2x+6,y=2x+6,则则k=aek=aem+2m+2=2,=2,则切线的方程为则切线的方程为y-aey-aem+2m+2=ae=aem+2
12、m+2(x-m),(x-m),又由又由aeaem+2m+2=2,=2,则切线方程为则切线方程为y-2=2(x-m),y-2=2(x-m),即即y=2x-2m+2,y=2x-2m+2,则有则有-2m+2=6,-2m+2=6,可解得可解得m=-2,m=-2,则切点的坐标为则切点的坐标为(-2,2),(-2,2),则有则有2=ae2=ae(-2)+2(-2)+2, ,所以所以a=2.a=2.答案答案: :(3)2(3)2(3)(3)(20182018天津部分区质量调查二天津部分区质量调查二) )曲线曲线y=aey=aex+2x+2的切线方程为的切线方程为2x-y+6=0,2x-y+6=0,则实数则实
13、数a a的值为的值为. .热点二热点二 导数研究函数的单调性导数研究函数的单调性考向考向1 1确定函数的单调性确定函数的单调性(2)(2)讨论函数讨论函数f(x)f(x)的单调性的单调性. .解解: :(2)(2)由于由于f(x)=xef(x)=xex x-tx=x(e-tx=x(ex x-t),-t),当当t0t0时时,e,ex x-t0,-t0,当当x0x0时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增, ,当当x0x0时时,f(x)0,f(x),f(x)0t0时时, ,由由f(x)=0f(x)=0得得x=0x=0或或x=ln t,x=ln t,当当0t10t1时时,ln
14、 t0,ln t0x0时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增, ,当当ln tx0ln tx0时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递减单调递减, ,当当x0,f(x)x0,f(x)单调递增单调递增; ;当当t=1t=1时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增; ;当当t1t1时时,ln t0,ln t0,当当xln txln t时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增, ,当当0xln t0xln t时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递减单调递减, ,当当x0x0,f(x),f(x)0,
15、f(x)单调递增单调递增. .综上综上, ,当当t0t0时时,f(x),f(x)在在(-,0)(-,0)上是减函数上是减函数, ,在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数; ;当当0t10t1t1时时,f(x),f(x)在在(-,0),(ln t,+)(-,0),(ln t,+)上是增函数上是增函数, ,在在(0,ln t)(0,ln t)上是减函数上是减函数. .方法技巧方法技巧确确定定函函数数单单调调性性就就是是确确定定函函数数导导数数为为正正值值、为为负负值值的的区区间间, ,基基本本类类型型有有如如下下几几种种:(1):(1)导导数数的的零零点点是是确确定定的的数数值值, ,只只要
16、要根根据据导导数数的的零零点点划划分分定定义义域域区区间间, ,确确定定在在各各个个区区间间上上的的符符号号即即可可得得出出其其单单调调区区间间;(2);(2)导导数数零零点点能能够够求求出出, ,但但含含有有字字母母参参数数时时, ,则则需需要要根根据据参参数数的的不不同同取取值值划划分分定定义义域域区区间间, ,再再确确定定导导数数在在各各个个区区间间上上的的符符号号;(3);(3)导导数数存存在在零零点点, ,但但该该零零点点无无法法具具体体求求出出, ,此此时时一一般般是是根根据据导导数数的的性性质质、函函数数零零点点的的存存在在定定理理确确定定导导数数零零点点的的大大致致位位置置,
17、,再再据此零点划分定义域区间据此零点划分定义域区间, ,确定导数在各个区间上的符号确定导数在各个区间上的符号. .考向考向2 2根据单调性求参数范围根据单调性求参数范围【例例3 3】 (1)( (1)(20182018吉林大学附中四模吉林大学附中四模) )已知已知a0,a0,函数函数f(x)=(xf(x)=(x2 2-2ax)e-2ax)ex x, ,若若f(x)f(x)在在-1,1-1,1上是单调减函数上是单调减函数, ,则则a a的取值范围是的取值范围是( () )亦即亦即aeaex x(x(x3 3-2x)-2x)在区间在区间(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,令令h(x)=eh(
18、x)=ex x(x(x3 3-2x),-2x),所以所以h(x)=eh(x)=ex x(x(x3 3-2x)+e-2x)+ex x(3x(3x2 2-2)=e-2)=ex x(x(x3 3-2x+3x-2x+3x2 2-2)=e-2)=ex x(x-1)(x(x-1)(x2 2+4x+2),+4x+2),因为因为x(0,+),x(0,+),所以所以x x2 2+4x+20.+4x+20.因为因为e ex x0.0.所以令所以令h(x)0,h(x)0,可得可得x1.x1.所以函数所以函数h(x)h(x)在区间在区间(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增, ,在区间在区间(0,1)(0,1)上单
19、调递减上单调递减. .所以所以h(x)h(x)minmin=h(1)=e=h(1)=e1 1(1-2)=-e.(1-2)=-e.所以所以a-e,a-e,则则a a的最大值为的最大值为-e.-e.故选故选A.A.方法技巧方法技巧函函数数f(x)f(x)在在区区间间D D上上单单调调递递增增( (减减),),等等价价于于在在区区间间D D上上f(x)0(0)f(x)0(0)恒恒成成立立; ;函数函数f(x)f(x)在区间在区间D D上不单调上不单调, ,等价于在区间等价于在区间D D上上f(x)f(x)存在变号零点存在变号零点. .考向考向3 3函数单调性的简单应用函数单调性的简单应用【例例4 4
20、】 (1)( (1)(20182018东北三省三校二模东北三省三校二模) )已知定义域为已知定义域为R R的函数的函数f(x)f(x)的导函数为的导函数为f(x),f(x),且满足且满足f(x)f(x)+1,f(x)f(x)+1,则下列正确的是则下列正确的是( () )(A)f(2 018)-ef(2 017)e-1(A)f(2 018)-ef(2 017)e-1(B)f(2 018)-ef(2 017)e-1(B)f(2 018)-ef(2 017)e+1(C)f(2 018)-ef(2 017)e+1(D)f(2 018)-ef(2 017)e+1(D)f(2 018)-ef(2 017)
21、f(x)+1,f(x)f(x)+1,而而f(2 018)-ef(2 017)=(ef(2 018)-ef(2 017)=(e2 0182 018-2)-e(e-2)-e(e2 0172 017-2)=2e-2,-2)=2e-2,结合结合2e-2e-12e-2e-1可知可知f(2 018)-ef(2 017)e-1,f(2 018)-ef(2 017)e-1,排除排除B B选项选项, ,结合结合2e-2e+12e-2e+1可知可知f(2 018)-ef(2 017)e+1,f(2 018)-ef(2 017)f(x)+1,f(x)f(x)+1,而而f(2 018)-ef(2 017)=(ef(2
22、 018)-ef(2 017)=(e2 0182 018-100)-e(e-100)-e(e2 0172 017-100)=100e-100,-100)=100e-100,结合结合100e-100e+1100e-100e+1可知可知f(2 018)-ef(2 017)e+1,f(2 018)-ef(2 017)e+1,排除排除D D选项选项, ,故选故选A.A.(3)(3)(20182018湖湖南南永永州州市市一一模模) )已已知知定定义义在在R R上上的的可可导导函函数数f(x)f(x)的的导导函函数数为为f(x),f(x),若若对对于于任任意意实实数数x x有有f(x)+f(x)0,f(x
23、)+f(x)0,且且f(0)=1,f(0)=1,则则不不等等式式e ex xf(x)1f(x)1的的解解集集为为( () )(A)(-,0)(A)(-,0) (B)(0,+) (B)(0,+)(C)(-,e)(C)(-,e) (D)(e,+) (D)(e,+)解析解析: :(3)(3)令令g(x)=eg(x)=ex xf(x),f(x),故故g(x)=eg(x)=ex xf(x)+f(x),f(x)+f(x),由由f(x)+f(x)0f(x)+f(x)0可得可得,g(x)0,g(x)0,所以函数所以函数g(x)g(x)在在R R上单调递增上单调递增, ,又又f(0)=1,f(0)=1,所以所以
24、g(0)=1,g(0)=1,所以不等式所以不等式e ex xf(x)1f(x)1的解集为的解集为(0,+).(0,+).故选故选B.B.方法技巧方法技巧(2)(2)(20182018河北石家庄二模河北石家庄二模) )定义在定义在(0,+)(0,+)上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足xf(x)ln x+xf(x)ln x+f(x)0(f(x)0(其中其中f(x)f(x)为为f(x)f(x)的导函数的导函数),),若若a1b0,a1b0,则下列各式成立的是则下列各式成立的是( () )(A)a(A)af(a)f(a)bbf(b)f(b)11(B)a(B)af(a)f(a)bbf(b)f(b)
25、11(C)a(C)af(a)f(a)1b11b1bf(b)f(b)(3)(3)(20182018黑龙江哈师大附中三模黑龙江哈师大附中三模) )若函数若函数f(x)=2x+sin xf(x)=2x+sin xcos x+acos xcos x+acos x在在(-(-,+)+)上单调递增上单调递增, ,则则a a的取值范围是的取值范围是( () )(A)-1,1(A)-1,1(B)-1,3(B)-1,3(C)-3,3(C)-3,3(D)-3,-1(D)-3,-1热点三热点三导数研究函数的极值、最值导数研究函数的极值、最值考向考向1 1导数研究函数极值导数研究函数极值【例例5 5】 (1)( (1
26、)(20182018河南中原名校质检二河南中原名校质检二) )已知函数已知函数f(x)=2f(1)ln x-x,f(x)=2f(1)ln x-x,则则f(x)f(x)的极大值为的极大值为( () )(A)2(A)2 (B)2ln 2-2 (B)2ln 2-2 (C)e (C)e (D)2-e (D)2-e方法技巧方法技巧(1)(1)可可导导函函数数的的极极值值点点是是其其导导数数的的变变号号零零点点, ,在在零零点点处处“左左负负右右正正”的的为为极极小小值值点点、“左左正正右右负负”的的为为极极大大值值点点;(2);(2)根根据据极极值值点点的的个个数数确确定定参参数数范范围围的问题可以转化
27、为其导数零点个数的问题讨论的问题可以转化为其导数零点个数的问题讨论. .考向考向2 2导数研究函数最值导数研究函数最值方法技巧方法技巧(1)(1)闭闭区区间间a,ba,b上上图图象象连连续续的的函函数数其其最最值值在在极极值值和和端端点点值值的的比比较较中中找找到到;(2);(2)在在区区间间D D上上如如果果f(x)f(x)有有唯唯一一的的极极大大( (小小) )值值点点, ,该该点点也也是是函函数数的的最最大大( (小小) )值点值点. .备选例题备选例题 挖内涵挖内涵寻思路寻思路【例【例2 2】 (1)( (1)(20182018江西重点中学协作体二联江西重点中学协作体二联) )已知定义
28、在已知定义在e,+)e,+)上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(x)+xln xf(x)0f(x)+xln xf(x)0f(x)0的解集为的解集为( () )(A)e,2 018)(A)e,2 018)(B)2 018,+)(B)2 018,+)(C)(e,+)(C)(e,+) (D)e,e+1) (D)e,e+1)解析解析: :(3)(3)令令g(x)=eg(x)=ex xf(x)-ef(x)-ex x, ,则则g(x)=eg(x)=ex xf(x)+f(x)-ef(x)+f(x)-ex x=e=ex xf(x)+f(x)-10.f(x)+f(x)-10.即即g(x)g(x)在在R
29、R上为增函数上为增函数. .所以所以g(3)g(2),g(3)g(2),即即e e3 3f(3)-ef(3)-e3 3ee2 2f(2)-ef(2)-e2 2, ,整理得整理得ef(3)-1f(2)-1,ef(3)-1f(2)-1,即即ab.a1,f(x)+f(x)1,设设a=f(2)-1,b=ef(3)-1,a=f(2)-1,b=ef(3)-1,则则a,ba,b的大小关系为的大小关系为( () )(A)ab(A)ab(B)ab(C)a=b(C)a=b(D)(D)无法确定无法确定em(x-1)eem(x-1)ex x-ex-ex2 2, ,令令h(x)=(x-1)eh(x)=(x-1)ex x
30、-ex-ex2 2, ,h(x)=eh(x)=ex x+(x-1)e+(x-1)ex x-2ex=xe-2ex=xex x-2ex=x(e-2ex=x(ex x-2e)=0-2e)=0e ex x=2e=2ex=ln 2e.x=ln 2e.当当x(0,ln 2e)x(0,ln 2e)时时,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)为增函数为增函数. .h(x)h(x)的最小值为的最小值为h(ln 2e)=(ln 2e-1)h(ln 2e)=(ln 2e-1)e eln 2eln 2e-eln-eln2 22e=2eln 2-e(ln 2+1)2e=2eln 2-e(ln
31、2+1)2 2= =-eln-eln2 22-e.2-e.所以所以em-elnem-eln2 22-e2-em-1-lnm-1-ln2 22,2,所以所以m m的取值范围是的取值范围是(-,-1-ln(-,-1-ln2 22.2.阅卷评析阅卷评析 抓关键抓关键练规范练规范(2)(2)证明证明: :当当a1a1时时,f(x)+e0.,f(x)+e0.(2)(2)证明证明: :当当a1a1时时,f(x)+e(x,f(x)+e(x2 2+x-1+e+x-1+ex+1x+1)e)e-x-x. . 6 6分分令令g(x)=xg(x)=x2 2+x-1+e+x-1+ex+1x+1, , 7 7分分则则g(
32、x)=2x+1+eg(x)=2x+1+ex+1x+1. . 9 9分分当当x-1x-1时时,g(x)0,g(x),g(x)-1x-1时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)单调递增单调递增. . 1111分分所以所以g(x)g(-1)=0.g(x)g(-1)=0.因此因此f(x)+e0.f(x)+e0. 1212分分【答题启示答题启示】 (1)(1)导数解答题的基础是正确求出函数的导数导数解答题的基础是正确求出函数的导数, ,这是解题的起始这是解题的起始, ,一定要细心一定要细心处理处理, ,不要不要“输在起跑线上输在起跑线上”. .(2)(2)导数证明不等式基本技巧是构造函数、利用函数的单调性、最值得出所导数证明不等式基本技巧是构造函数、利用函数的单调性、最值得出所证不等式证不等式. .
