《材料力学：第五章 梁弯曲时的位移（2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学：第五章 梁弯曲时的位移（2）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、15-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加叠加原理原理( (principle
2、 of superposition) )。2 悬臂梁和简支梁在简单荷载悬臂梁和简支梁在简单荷载( (集中荷载，集中力偶，分集中荷载，集中力偶，分布荷载布荷载) )作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录录中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。的挠度和转角。3 试按叠加原理求图试按叠
3、加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度所示简支梁的跨中截面的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A 及及 B。已知。已知EI为常量。为常量。例题例题 4为了能利用简单荷载作用下梁为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，将图的挠度和转角公式，将图a所所示荷载视为与跨中截面示荷载视为与跨中截面C正对正对称和反对称荷载的叠加称和反对称荷载的叠加(图图b)。例题例题 解解:5 在集度为在集度为q/2的正对称均布荷的正对称均布荷载作用下，查有关梁的挠度和转载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得角的公式，得C A1 B1wC例题例题 6注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该注意
4、到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁梁 AC 和右半跨梁和右半跨梁 CB分别视为受集度为分别视为受集度为 q/2 的均布荷载的均布荷载作用而跨长为作用而跨长为 l/2 的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得式得 在集度为在集度为q/2的反对称均布荷载的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有反对称的，故有C A2 B2例题例题 7按叠加原理得按叠加原理得例题例题 MPABL1CL2等等价价PABL1
5、CL2PBCL2等等 价价例：求例：求AB梁的转角和挠度梁的转角和挠度.=+逐段刚化法叠加：逐段刚化法叠加：全梁分段，全梁分段，逐段逐段考虑变形，再考虑变形，再叠加。叠加。注意刚体位移！注意刚体位移！AC段段刚体位移刚体位移为零为零BC段段刚体位移刚体位移为为斜直线斜直线刚化刚化AC段段PABL1CL2刚化刚化AC段段PABL1CL2w1ww29求求 B B 点点 的的 转转 角角 和和 挠挠 度度. .解解：结结构构变变换换后后，查查表表求求简简单单载载荷荷变变形形。PABL1CL2PBCL2MPABL1CL2=+105.4 梁梁的的刚刚度度校校核核一、一、梁的刚度条件梁的刚度条件其中其中
6、称为许用转角；称为许用转角；y/L称为许用挠跨比。称为许用挠跨比。通常通常依此条件进行如下三种刚度计算：依此条件进行如下三种刚度计算：、设计截面尺寸；、设计截面尺寸；、设计载荷。、设计载荷。对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。( (特殊构件例外）特殊构件例外）、校核刚度：、校核刚度：11例例 下图为一空心圆杆，内外径分别为：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mmd=40mm、D=80mmD=80mm，杆的，杆的E=210GPaE=210GPa，工程规定，工程规定C C点的点的f/L= ,Bf/L= ,B点的点的 =0
7、.001 =0.001弧度弧度, ,试试校核此杆的刚度校核此杆的刚度. .ABL=400 mma = 0.1mCP1=1KND200mmP2=2KN=+P1=1KNABCDABCDP2=2KN+=MP2ABLa CDP2Ba CABCDP212ABLa CP1D200mmP2=P1=1KNABCD+MP2ABLa CDP2Ba C+图图1 1图图2 2图图3 3解解：结结构构变变换换，查查表表求求简简单单载载荷荷变变形形。叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形13校核刚度校核刚度145-5 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 在本教材的在本教材的3- -6中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变中曾
8、讲述了等直圆杆扭转时的应变能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压( (拉拉) )时时弹簧高度变化量的计算公式。弹簧高度变化量的计算公式。 本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve e，并利用功，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。15 等直梁在线弹性范围内纯弯曲时等直梁在线弹性范围内纯弯曲时( (图图a) )，其曲率，其曲率 为常量为常量 ，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在
9、梁弯，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为曲后对应的圆心角为16 图图b示出了示出了Me与与 的上列线性关系。图的上列线性关系。图b中斜直线下的三中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中，过程中，外力偶所作的功：外力偶所作的功：它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：变能：将将 代入上式代入上式可得可得17 梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如
10、同在5- -2开始时所述，开始时所述，工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为的微段内的弯曲应变能为18从而全梁内的弯曲应变能为从而全梁内的弯曲应变能为式中，式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。此式在求梁系此式在求梁系( (例如两根交叉在一起的梁例如两根交叉在一起的梁) )的位移等问题时的位移等问题时是有用的。是有用的。顺便指出，由于直梁横力弯曲时，顺便指出，由于直梁横力弯曲时， ，因因此上式也可写作此上式也可写作
