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1、第第1 1章三角形的初步知识章三角形的初步知识1.31.3证明证明( (第第2 2课时课时) )三角形的内角和定理证明三角形的内角和定理证明例1课本中给出了三角形内角和定理的一种证明方法，你还有其他的证明方法吗？已知：如图，A、B、C是ABC的三个内角求证：ABC180分析：受课本证明的启发分析：受课本证明的启发，我们不妨把三角形我们不妨把三角形的三个内角转化到任意一点为顶点的一个平角的三个内角转化到任意一点为顶点的一个平角上即可解决问题上即可解决问题，也可以尝试将三角形的三个也可以尝试将三角形的三个内角转化为两个内角转化为两个( (或四个或四个) )角的和等于角的和等于180180的方的方法
2、证明法证明解：解：( (方法一方法一) )如图如图1 1，延长延长BCBC到点到点E E，过点过点C C作作CFCFABAB，则则A AACFACF，BBFCE.FCE.A AB BC CACFACFFCEFCEACBACB180180. .( (方法二方法二) )如图如图2 2，在在BCBC边上任取一点边上任取一点D D，过点过点D D作作DEDEABAB交交ACAC于点于点E E，DFDFACAC交交ABAB于点于点F.F.DEABDEAB1 1B B，224.4.DFACDFAC3 3C C，AA4 4 2 2A A又又2 23 31 1180180A AB BC C180180. .(
3、 (方法三方法三) )如图如图3 3，过点过点A A作作ADADBC.BC.ADBC 1ADBC 1C CDABDABB B180180BACBACC CB BDABDABB B180180. .( (方法四方法四) )如图如图4 4，过点过点A A任作一条射线任作一条射线ADAD，再作再作BEBEADAD，CFCFAD.AD.BEADCFBEADCF1 13 3，224 4，EBCEBCBCFBCF180180BACBACABCABCACBACBEBCEBCBCFBCF180180. .注意点：对于同一个题目注意点：对于同一个题目，往往有多种证明方往往有多种证明方法法，可以从一种方法中得出基
4、本思路可以从一种方法中得出基本思路，运用发运用发散思维散思维，探索多种途径探索多种途径，从而得到多种方法从而得到多种方法三角形的外角及外角的性质三角形的外角及外角的性质例例2 2如图所示如图所示，D D是是ABCABC的边的边BCBC上一点，上一点，BBBADBAD，ADCADC8080，BACBAC7070(1)(1)求求B B的度数；的度数；(2)(2)求求C C的度数的度数分析：利用三角形外角的性质可求出分析：利用三角形外角的性质可求出B B的度数，的度数，再利用三角形内角和求出再利用三角形内角和求出C C的度数的度数解：解：(1)(1)ADCADC是是ABDABD的外角的外角ADCAD
5、CB BBADBAD8080又又B BBADBADB B8080 4040. .(2)(2)B BBACBACC C180180C C180180B BBACBAC180180404070707070. .注意点：本题也可以根据三角形外角性质得注意点：本题也可以根据三角形外角性质得ADBADBC CCADCAD，且可得且可得CADCAD3030，ADBADB100100，所以所以C CADBADBCADCAD10010030307070. .变式：如图所示变式：如图所示，点点D D为为ABCABC内一点，内一点，ABDABD2020，ACDACD2525，AA3535，求求BDCBDC的度的度
6、数数解：延长解：延长BDBD交交ACAC于点于点E.E.BDCBDC是是CDECDE的外角，的外角，BDCBDCDECDECACDACD又又DECDEC是是AEBAEB的外角，的外角，DECDECAAABDABDBDCBDCAAABDABDACDACD3535202025258080证明几何命题的步骤证明几何命题的步骤例3证明命题“一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等”是真命题分析：根据平行得同位角相等，再利用第三个角的桥梁作用，即可证明两个角相等已知：如图，ABAB，BCBC.求证：BB.证明：证明：ABABABABBBBCBCBCBCBBBBBB注意点：证明几何
7、命题要注意步骤的完整，要注意点：证明几何命题要注意步骤的完整，要先画图，后写已知求证，然后才是证明过程先画图，后写已知求证，然后才是证明过程并且证明过程中的每一步推理都要有依据并且证明过程中的每一步推理都要有依据利用证明解决实际问题利用证明解决实际问题例4 一个零件的形状如图，按规定BAC应为90，B，C应分别为31和26，工人师傅在检测时测得BDC152，请判断这个零件是否符合规定，为什么？分析：方法一：如图1，连结AD并延长到点E，把CDB分割成两个角CDE，BDE，则这两个角分别是ACD，ABD的外角，然后进行计算检验方法二：如图2，延长CD交AB于点F，则BFD是ACF的外角，CDB是
8、BDF的外角，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和来解决解：方法一：该零件不符合规定理由：连结解：方法一：该零件不符合规定理由：连结ADAD并延长到点并延长到点E E，如图，如图1 1CDECDEC CCADCAD，BDEBDEB BBADBAD，CDECDEBDEBDEB BC CCADCADBADBAD，即即CDBCDBB BC CBAC.BAC.又又152152313126269090，该零件不符合规定该零件不符合规定方法二：该零件不符合规定方法二：该零件不符合规定理由：如图理由：如图2 2，延长延长CDCD交交ABAB于点于点F.F.BFDBFDA AC C，CDBCDBB
9、FDBFDB B，CDBCDBA AB BC.C.又又152152313126269090，这个零件不符合规定这个零件不符合规定注意点：为了证明的需要注意点：为了证明的需要，经常在原图形的基经常在原图形的基础上适当添加辅助线础上适当添加辅助线，这种辅助线往往能起到这种辅助线往往能起到联系未知与已知的联系未知与已知的“桥梁桥梁”作用作用例如图，在ABC中，1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到点D，连结DE，求证：1D.错答：如图，1是钝角，D是锐角，所以1D正答：1是ABC的一个外角1ACBACB是CDE的一个外角ACBD1D错因：忽略了证明过程中推理的依据，说明角度的大小关系要通过定理推理得到，不能直接从图形中得出一些结论
