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1、 第四节第四节 极限的运算极限的运算 一、无穷小量的运算一、无穷小量的运算 二、极限运算法则二、极限运算法则 三、两个重要极限三、两个重要极限 一、无穷小量的运算一、无穷小量的运算 （一）无穷小（一）无穷小 定义定义1-10 在自变量的某中变化过程中，若函数在自变量的某中变化过程中，若函数 y=f (x)的极限为零，则称函数的极限为零，则称函数 f (x)为该变化过程中的为该变化过程中的无情小量，简称为无穷小无情小量，简称为无穷小(infinitesimal)。 定义定义1-11 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 （不论它多么（不论它多么小），总存在正数小），总存在正数 （或正数（
2、或正数 X ），使得对于适合不），使得对于适合不等式等式 0 x-x0 X ）的一切）的一切 x ，对应的函，对应的函数值数值 f (x)都满足不等式都满足不等式 f (x) 则称函数则称函数 f (x) 是当是当 xx0（或（或 x）时的无穷小，）时的无穷小，记为记为 （或（或 ）也可记为也可记为 f (x) 0（ xx0）（或）（或 f (x)0（x） 例如例如 当当 n时，时， 是无穷小；是无穷小； 当当 x0 时，函数时，函数 f (x)= x 为无穷小；为无穷小； 当当x时，函数时，函数 为无穷小。为无穷小。 注意：注意：不要把无穷小与很小的数（例如百万分子不要把无穷小与很小的数（例
3、如百万分子一）混为一谈。因为无穷小量是在自变量的某个变化一）混为一谈。因为无穷小量是在自变量的某个变化过程中函数值趋近于过程中函数值趋近于 0 的函数，一般说来，它是一个的函数，一般说来，它是一个变量。数变量。数 0 是可以作为无穷小的唯一的常数，因为它是可以作为无穷小的唯一的常数，因为它的极限就是它本身。的极限就是它本身。 定理定理1-1 的充要条件是的充要条件是 f (x)=A+ ，其，其中中A为常数为常数, 是当是当 xx0 时的无穷小。时的无穷小。 证明证明 充分性：充分性：因为因为 ，故对于任意给定，故对于任意给定的正数的正数 ，存在正数，存在正数 ，当，当0 x-x0 时，恒有时，
4、恒有 f (x) - A 令令 = f (x) - A ，则，则 ，即，即 是当是当 xx0 时的无穷时的无穷小，且小，且 f (x)=A+ 必要性：必要性：由于由于f (x)=A+ ，其中，其中A是常数，是常数， 是是xx0时的无穷小，于是时的无穷小，于是 f (x) - A = 此时此时 是是 xx0 时的无穷小，则对于任意给定的正数时的无穷小，则对于任意给定的正数 ，存在正数，存在正数 ，当，当 0 x-x0 时，恒有时，恒有 成立，成立，即即 f (x) - A 从而从而 （二）无穷大（二）无穷大 如果当如果当 xx0（或（或x）时，对应的函数值时，对应的函数值 f (x)的的绝对值绝
5、对值 f (x) 无限增大，即可以大于事先给定的无无限增大，即可以大于事先给定的无论论多么大的正数多么大的正数 M ，就说函数当，就说函数当 xx0（或（或x）时为时为无穷大量，简称为无穷大。无穷大量，简称为无穷大。 定义定义1-12 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 M（不论它多么（不论它多么大），总存在大），总存在 正数正数 （或正数（或正数 X ），），使得对于适合不使得对于适合不等式等式 0 x-x0 X ）的一切）的一切 x ，对应的函，对应的函数值数值 f (x) 总满足不等式总满足不等式 f (x) M则称函数则称函数 f (x) 当当 xx0（或（或x）时为无穷大时
6、为无穷大(infinity)。 当当 xx0（或（或 x）时为无穷大的函数时为无穷大的函数 f (x) ，按极，按极限的定义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，限的定义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，也借用极限符号，记为也借用极限符号，记为 （或（或 ） 例如：例如：当当 时，正切函数时，正切函数 tanx 的绝对值的绝对值 tanx 无限增大。记为无限增大。记为 如果如果 ，则称直线，则称直线 x=x0 为曲线为曲线 y = f (x)的一条的一条铅直渐近线。铅直渐近线。 注意：注意：无穷大不是数，不可与很大的数（如一千无穷大不是数，不可与很大的数（如一千万，一亿万）混为一谈。万，一
7、亿万）混为一谈。 如果在无穷大定义中，对于如果在无穷大定义中，对于 x0 附近的附近的 x（或（或 x 相相当大的当大的 x ），对应的函数值），对应的函数值 f (x) 都是正的（或都是负都是正的（或都是负的），则称它为的），则称它为正无穷大（或负无穷大），正无穷大（或负无穷大），记为记为 （或（或 ）或者或者 （或（或 ） 定理定理1-2 在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为为无穷大，那么无穷大，那么 为无穷小；反之，如果为无穷小；反之，如果 f (x) 为无为无穷小，且穷小，且 f (x) 0，那么，那么 为无穷大。为无穷大。 例例1-13 讨论当
8、讨论当 x1 时，函数时，函数 的变化趋的变化趋势。势。 解：解： 表表1-3可见，可见， 也就是说当也就是说当 x1 时时 x-1 是无穷是无穷小，所以当小，所以当 x1 时，时， 是无穷大。是无穷大。 直线直线 x=1 是双曲线是双曲线 的铅直渐近线。的铅直渐近线。 注意注意（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆；）无穷大是变量，不能与很大的数混淆； （2）切勿将）切勿将 认为极限存在；认为极限存在； （3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大。界变量未必是无穷大。 例如例如 当当 x0 时，时， 是一个无界变量，因为是一个无界变量，因为
9、当当 ，k 时时 y 。但是当但是当 ， k 时时 y 0。故故 不是无穷大。不是无穷大。 定理定理1-3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 证明证明 设设 与与 是同一变化过程中的两个无穷小，而是同一变化过程中的两个无穷小，而 = + 。 因为因为 与与 是无穷小，对于任意给定的正数是无穷小，对于任意给定的正数 ，存，存在正数在正数 ，当，当 0 x-x0 时，不等式时，不等式 /2 、 /2同时成立，于是同时成立，于是 =+ + /2 + /2= 因此因此 也是无穷小。也是无穷小。 有限个的情形也可以同样证明。有限个的情形也可以同样证明。 定理定理1-4 有
10、界函数与无穷小的乘积是无穷小。有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论推论1-1 常数与无穷小的乘积是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论推论1-2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。有限个无穷小的乘积也是无穷小。 例例1-14 求求 解解 当当 x0 时，时， , 的值在的值在 -1与与 +1 之间来之间来回变动，所以回变动，所以 当当 x0 时的极限不存在。时的极限不存在。 但但 ，所以，所以 是有界函数。是有界函数。 因为因为 ，即当，即当 x0 时，时， 是有界函数是有界函数与无穷小与无穷小 x 的乘积，由定理的乘积，由定理1-4可知，可知， （三）无穷小的比较（三）无穷小的比较 表表
11、1-4 当当 x 充分接近于充分接近于 0 时，时，x2 要比要比 x “更更”接近于接近于0，而，而 2x 则与则与 x 接近于接近于 0 的程度的程度“相仿相仿”，或者说，在，或者说，在 x0的的过程中过程中 x2 0，比，比 x0 “快些快些”， 2x0 与与 x0 “快快慢慢相仿相仿”，并且当，并且当 x0 时，时， 定义定义1-13 设设 与与 是当是当 xx0（或（或 x ）时的两）时的两个无穷小。个无穷小。 （1）如果）如果 ，则称，则称 是比是比 高阶的无穷高阶的无穷小，记为小，记为 =o（ ）；）； （2）如果）如果 ，其中，其中C 0，1 为常数，则为常数，则称称 与与 是
12、同阶的无穷小；是同阶的无穷小； （3）如果）如果 ，则称，则称 与与 是等价无穷小，是等价无穷小，记为记为 。 例如例如 因为因为 ，所以当，所以当 x0 时，时， x2 是比是比 x高阶的无穷小，记为高阶的无穷小，记为 x2=o（ x）。）。 因为因为 ，所以当，所以当 x0 时，时， x与与 2x 是同阶是同阶无穷小。无穷小。 因为因为 ，所以当，所以当 x0 时，时，sin x 与与 x 等价等价无穷小，记为无穷小，记为 sin x x 。 例例1-15 证明当证明当 x0 时，时， 证明证明所以所以 等价无穷小的性质：等价无穷小的性质： 若若 1 2， 1 2 ，且，且 存在，则存在，
13、则 证明证明 求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都分别可求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都分别可用其等价无穷小来代替。用其等价无穷小来代替。 例例1-16 求求 解解 当当 x0 时，时，tan 2x 2x , sin 5x 5x，所以，所以 例例1-17 求求 解解 当当 x0 时，时，sin x x，无穷小，无穷小 x3+3x 与它本身显与它本身显然是等价的，所以然是等价的，所以 二、极限运算法则二、极限运算法则 定理定理1-5 （极限四则运算法则）（极限四则运算法则） 如果如果 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,即函数即函数 f (x) 与与 g (x) 的极限
14、都存在，则的极限都存在，则 （1）lim f (x) g (x)存在，且存在，且lim f (x) g (x)= lim f (x) lim g (x)= A B； （2）limf (x) g (x)存在，且存在，且 limf (x) g (x)= lim f (x) lim g (x)= A B； （3）当）当B0 时，时， 存在，且存在，且 。 证明证明 （只证（只证 xx0 的情形）因为的情形）因为 lim f (x)=A , lim g (x)=B，考察，考察“有极限的函数与无穷小的关系定有极限的函数与无穷小的关系定理理”，有，有 f (x)=A + ， g (x)=B+ ，其中其中
15、与与 是无是无穷穷小，于是小，于是 （1） f (x) g (x)=（ A + ） （ B+ ） =（ A B ）+（ ）由定理由定理1-3 及推论及推论1-1， 仍是无穷小，仍是无穷小，所以所以 lim f (x) g (x)=A B= lim f (x) lim g (x) （2）f (x) g (x) AB=（A + ）（）（B+ ） AB = A + B + 由定理由定理1-3及推论及推论1-1和推论和推论1-2，A + B + 仍是无穷小，仍是无穷小，所以所以 limf (x) g (x)= A B= lim f (x) lim g (x) （3）B - A 0，又因为，又因为 0，
16、B0 ，于是存在某个，于是存在某个时时刻，从该时刻起刻，从该时刻起 B / 2 , 故故 （有界），（有界），从而由定理从而由定理1-4，所以所以 推论推论1-3 如果如果 lim f (x)= A ，C 为常数，则为常数，则 lim C f (x)= C A 推论推论1-4 如果如果 lim f (x)= A ，n 为正整数，则为正整数，则 lim f (x)n = An 例例1-18 求求 解解 例例1-19 求求 解解 所以所以 例例 1-20 求求 （ 型型 ） 解解 当当 x3 时，分子与分母的极限都是零，故不能直接用商的时，分子与分母的极限都是零，故不能直接用商的极限法则。极限法则
17、。 先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子 x-3 后再求极限。后再求极限。 例例1-21 求求 解解 因为分母的极限因为分母的极限 ，不能用商的极限法，不能用商的极限法则，而分子的极限则，而分子的极限 ，可考虑，可考虑根据无穷小与无穷大的关系定理，根据无穷小与无穷大的关系定理， 例例1-22 求求 ( 型）型） 解解 因为当因为当 x 时，分子与分母都没有极限，因此时，分子与分母都没有极限，因此不能直接应用商的极限法则。先分子、分母同时除以不能直接应用商的极限法则。先分子、分母同时除以 x3，然后再用商的极限法则：，然后再用商的极限法则： 例例1-23 求求 解解 先用去除分子与分
18、母，再求极限先用去除分子与分母，再求极限 例例1-24 求求 解解 注意到本例中的分式是例注意到本例中的分式是例1-23中分式的倒数，于中分式的倒数，于是应用例是应用例1-23的结果及无穷小与无穷大的关系，可得的结果及无穷小与无穷大的关系，可得 例例1-25 下列各题的计算过程是否正确？为什么？下列各题的计算过程是否正确？为什么？（1） 解解 （1）的计算过程是错误的。）的计算过程是错误的。 因为当因为当 x2 时，时， 及及 的极限都不存在，因此不能用极限四则运算法则。的极限都不存在，因此不能用极限四则运算法则。 此外，此外，“”是表示绝对值可以无限增大的趋向性的是表示绝对值可以无限增大的趋
19、向性的一个记号，它不是一个数，一个记号，它不是一个数， 是没有意义的，不是没有意义的，不能说能说 等于等于0 。 正确做法如下：正确做法如下： （2） 解解 （2）的计算过程也是错误的。）的计算过程也是错误的。 因为无穷小的代数和的极限运算法则只能运用于有因为无穷小的代数和的极限运算法则只能运用于有限个的情形。而（限个的情形。而（2）题中当）题中当 n时，项数也随之无时，项数也随之无限增多，因此不能分项计算极限。限增多，因此不能分项计算极限。 正确做法如下：正确做法如下： 三、两个重要极限三、两个重要极限 准则准则1-1“夹逼定理夹逼定理” 如果对于点如果对于点 x0 的某一邻域内的的某一邻域
20、内的一切一切 x（点（点 x0可以除外），有可以除外），有（1） g(x) f (x) h(x)（2）那么那么 存在，且等于存在，且等于A。 准则准则1-2 单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。（一）第一个重要极限：（一）第一个重要极限： 表表1-5 可见当可见当 x0 时，时， 无限趋近于无限趋近于1，即，即 函数函数 对于一切对于一切 x0 都有定义。都有定义。 设单位圆中，圆心角设单位圆中，圆心角AOB=x ( 0x xn ( n =1, 2, 3, )，故，故xn是一个单调增加且有界的数是一个单调增加且有界的数列。由准则列。由准则2，其极限一定存在，用来，其极限一定存在，用来
21、e 表示它，即表示它，即 可以证明，当取实数而趋向可以证明，当取实数而趋向+或或时，函数时，函数的极限都存在且等于的极限都存在且等于e 。因此。因此 利用代换利用代换 ，当，当 x 时，时，z0 , 于是于是 例例1-29 求求 解解 令令 u =x/2 ，则，则 x=2u ，且当，且当 x时时, u 所以所以 同理可得，同理可得， 例例1-30 求求 解解 同理可得，同理可得， 例例1-31 求求 解解 内容小结：内容小结：1. 极限运算法则极限运算法则（1）无穷小运算法则）无穷小运算法则（2）极限四则运算法则）极限四则运算法则2. 无穷小的比较无穷小的比较常用等价无穷小常用等价无穷小 :3
22、. 两个重要极限两个重要极限思考与练习思考与练习一、填空题一、填空题解：解：不一定不一定例例解：解：二. 若极限若极限存在存在, 是否一定有是否一定有？ 三、三、下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。（1）如果）如果 存在，但存在，但 不存在，那么不存在，那么 不存在。不存在。 解：解：对。因为，若对。因为，若 存在，则存在，则 也存在，与已知条件矛盾。也存在，与已知条件矛盾。（2）如果）如果 和和 都不存在，那么都不存在，那么 不存在。不存在。 解：解：错。例如错。例如（3）如果）如果 存在，但存在，但 不存在，那么不存在，那么 不存在。不存在。 解：解：错。例如错。例如
