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1、第一节一、问题的提出一、问题的提出二、二、 定积分的定义定积分的定义五、五、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念 三、三、 定积分的几何意义定积分的几何意义四、四、 可积的充分条件可积的充分条件 第五五章 一、问题的提出一、问题的提出1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积由曲线由曲线及直线及直线围成围成 ,求其面积求其面积 A .面积：面积：ab xyO解决的步骤解决的步骤 1)大化小大化小 ： a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点:用直线用直线 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;，将曲边梯形分成，将曲边梯形分成3) 近似和：近似和：4) 取极限：取极限：令令2) 常代变：常代变：
2、任取任取第第i个窄曲边梯形面积个窄曲边梯形面积底底高高2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程经过的路程经过的路程 s.1)大化小大化小 ：速度速度n 小段小段解决的步骤解决的步骤将将 分分成成v变化，变化，公式失效公式失效初等公式初等公式3) 近似和：近似和：4) 取极限：取极限：方法步骤相同方法步骤相同 :“大化小大化小 , 常代变常代变 , 近似和近似和 , 取极限取极限 ”极限结构式相同极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限两问题的共性两问题的共性2) 常代变：常代变：二、定积分定义二、定积分定义 任取任取总趋于数总趋于数 I , 则称则称 I 为为在在上的上的定积分
3、定积分,即即记作记作任意任意划分划分1.定义定义5.1积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数积积分分变变量量积积分分和和符号说明符号说明被被积积表表达达式式2. 几点说明几点说明(1)不行！不行！(2) 两个任意性：两个任意性：划分的稠密性：划分的稠密性：称称 f (x) 在在区间区间a, b上上可积可积.定积分定积分 与与 有有关关与与积分变量用什么字母表示积分变量用什么字母表示无关：无关： 被积函数被积函数积分区间积分区间(4) 确定定积分的两个要素确定定积分的两个要素ab xyOab tyO“面积相同面积相同”三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义（曲边梯形面积）（曲边梯形面
4、积）（曲边梯形面积的负值）（曲边梯形面积的负值）（各小面积的代数和）（各小面积的代数和）四、可积的条件四、可积的条件可积的必要条件：可积的必要条件： 在在a, b上有界上有界1. 必要条件必要条件反例反例:狄利克雷函数狄利克雷函数在任何区间在任何区间a, b上上有界有界，但却，但却不可积分不可积分.2. 充分条件充分条件定理定理1 定理定理2 且只有且只有有限个有限个第一类间断点第一类间断点， 注注有界函数有界函数 f (x)的定积分是否存在以及定积的定积分是否存在以及定积分的值为多少与分的值为多少与 f (x)在积分区间上在积分区间上有限个有限个点处的值无关点处的值无关.注注利用定义计算定积
5、分利用定义计算定积分解解将将 0,1 n 等分等分, 分点为分点为取取例例1例例2解解A1( (存在存在) )xyO五、定积分的性质五、定积分的性质(设定积分均存在设定积分均存在)( k 为常数为常数)规定规定性质性质1（线性性质）（线性性质）例例3求求 f (x).解解分析分析是一个是一个确定的数确定的数.xyO1y = x（可加性）（可加性）性质性质2性质性质3 （度量性）（度量性）（区间长度）（区间长度）性质性质4则则（保序性）（保序性）推论推论例例4比较积分大小：比较积分大小：解解则则（估值定理）（估值定理）性质性质5设设证证得得例例5估计估计的值的值.解解例例6解解性质性质6 ( (
6、定积分中值定理）定积分中值定理）则至少存在一点则至少存在一点使使证证由由性质性质5 ，由由介值定理介值定理, ,使使性质性质7 ( (定积分第二中值定理）定积分第二中值定理）则至少存在一点则至少存在一点使使例例7解解由积分中值定理知由积分中值定理知, 有有使使例例8分析分析证证例例9求时间段求时间段0，T内自由落体的平均速度内自由落体的平均速度. 解解 已知自由落体速度为已知自由落体速度为故所求平均速度故所求平均速度内容小结内容小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精
7、确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限思考与练习思考与练习1. 用定积分表示下述极限用定积分表示下述极限 :解解或或2.如何用定积分表示下述极限如何用定积分表示下述极限 提示提示:极限为 0 !解解12,- -nqqqL代表小区间为代表小区间为利用定义计算定积分利用定义计算定积分其长度其长度)1(11- -= =- -= =D D- - -qqqqxiiii备用题备用题例例1-1分点为分点为 设函数设函数在区间在区间 1 1, ,0 0 上连续，且取正值上连续，且取正值证证利用对数的性质得利用对数的性质得例例2-1极限运算与极限运算与对数运算换序对数运算换序故故将将 1, 0n等分，等分， 分点为分点为)(lnxf在在 1, 0上连续，故上连续，故)(lnxf在在1 , 0区间区间上的积分和上的积分和：为例例2-2 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:解解利用利用得得两端分别相加两端分别相加, 得得即即注注 1(小区间小区间右端点右端点)2此时，将此时，将 a, b n等分，等分，则则有有可利用定积可利用定积分求一些分求一些“和式数列和式数列”的极限的极限.取取
