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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第三章 一元函数一元函数的导数、微分及其应用的导数、微分及其应用第一节 导数的概念第二节 导数的运算第三节 微分的概念与应用 第四节 微分中值定理第五节 导数的应用8/2/2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 一、罗必达法则 二、函数的单调性的判定 第五节 导数的应用三、函数的极值四、曲线的凹凸性 五、函数图形描绘2数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗
2、尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论费马引理3数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 函数之商的极限导数之商的极限 转化( 或 型)本节研究本节研究:罗必达法则罗必达法则一、罗必达法则一、罗必达法则 4数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 1、存在 (或为 )定理定理 1.型未定式型未定式(罗必达法则) 5数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group ( 在
3、 x , a 之间)证证: 无妨假设在指出的邻域内任取则在以 x, a 为端点的区间上满足柯故定理条件定理条件: 西定理条件,存在 (或为 )6数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 注注. 1. 定理 1 中换为之一,2.若理1条件, 则条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.罗必达法则7数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例1. 求解解: 原式注意注意: 不是未定式不能用罗必达法则 !8数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Gro
4、up 例例2. 求解解: 原式 9数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例3. 3. 求求解解. . =10数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2、型未定式型未定式存在 (或为)定理定理 2.(罗必达法则)11数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 注注: 定理中换为之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.12数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例4. 求解解:原式
5、例例5. 求求解解:原式13数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例3. 例4.说明说明:1) 例3 , 例4 表明时,后者比前者趋于更快 .例如,而用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 14数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3) 若例如例如,极限不存在15数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3、其他未定式、其他未定式:解决方法解决方法:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例6. 求
6、解解: 原式16数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 解解: 原式例例7. 求通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化17数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例8. 求解解: 通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化18数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 内容小结内容小结罗必达法则罗必达法则19数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 特点:*泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用以直
7、代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?x 的一次多项式20数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒定理泰勒定理 :阶的导数 ,时, 有其中则当21数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为注意到22数学与生物信息学教研室Mathemat
8、ics & Bioinformatics Group 特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差23数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式公式 .则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式24数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group *几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式其中25数学与生物信息学教研室Mathematic
9、s & Bioinformatics Group 其中26数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 类似可得其中27数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 其中28数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 已知其中类似可得29数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group *泰勒公式的应用泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题
10、的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.30数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 已知例例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过解解:令 x = 1 , 得由于欲使由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此的麦克劳林公式为31数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 说明说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
11、 各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .32数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例2. 用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解解: 近似公式的误差令解得即当时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .33数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3. 求解解:由于用洛必塔法则不方便 !用泰勒公式将分子展
12、到项,34数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4. 证明证证:35数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .36数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用
13、多项式逼近函数37数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 42246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近38数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 42246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近39数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 二、函数的单调性的判定二、函数的单调性的判定若定理定理 3. 设函数则 在 I 内单调递增(递减) .证证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕4
14、0数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例9. 确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为41数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例10. 讨论函数 的单调性解解. . 函数在内连续， 时， 当当时，不存在. 在内，函数单调减少；内，函数单调增加. 在42数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例11. 证明时, 成立不等式证证. . 令令，则时，所以上单调递增，又因为 所以 即时，.43数学与生物
15、信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 1、函数的极值及其求法、函数的极值及其求法定义定义1:在其中当时,(1) 则称 为 的极大点极大点 ,称 为函数的极大值极大值 ;(2) 则称 为 的极小点极小点 ,称 为函数的极小值极小值 .极大点与极小点统称为极值点极值点 .三、函数的极值三、函数的极值 44数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 注意注意:为极大点为极小点不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.例如例如为极大点 , 是极大值
16、 是极小值 为极小点 , 45数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理 4 (极值的必要条件 )设在点处具有导数，且在处取得极值，那么(证明略)46数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理 5 (极值的第一充分条件 )且在空心邻域内有导数,(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” ,(证明略)点击图中任意处动画播放暂停47数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例12. 求函数求函数的极值 .解解:1)
17、 求导数2) 求极值可疑点令得令得3) 列表判别是极大点， 其极大值为是极小点， 其极小值为48数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理6 (极值的第二充分条件极值的第二充分条件 )二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .(证明略)49数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例13. 求函数的极值 . 解解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.50数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinfor
18、matics Group 2、函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点(2) 最大值最小值51数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调单调时, 最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)52数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinform
19、atics Group 例例14. 求函数在闭区间上的最大值和最小值 .解解: 显然且故函数在取最小值 0 ;在及取最大值 5.53数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group ( k 为某一常数 )例例15. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂CAC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为问 D 点应如何选取? 20解解: 设则令得 又所以 为唯一的极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费使货物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,距 A 处20 Km ,工厂修公
20、路, 54数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例16. 设有一块边长为10m的正方形铁皮，从解解: 设小块边长为 m，则方盒的底边长为( )m令四个角截去同样大小的正方形小方块，做成一个无盖的方盒子，小方块的边长为多少才能使盒子容积最大？方盒容积 ， 得函数 有内的唯一驻点，又所以是函数在内的唯一极大值点， 故当剪去的小方块的边长为时，盒子的容积最大. 55数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定义定义2 . 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形是凹凹的;(2) 若恒有
21、则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .图形是凸凸的 .四、曲线的凹凸性四、曲线的凹凸性56数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理7.(凹凸判定法)(1) 在 I 内则 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内则 在 I 内图形是凸的 .设函数在区间I 上有二阶导数(证明略)57数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例17. 判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
22、若曲线或不存在,但在 两侧异号异号, 则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,58数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例18. 求曲线的拐点. 解解:不存在因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸59数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例19. 求曲线的凹凸区间及拐点.解解:1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸60数学与生物信息学教研室Mathematic
23、s & Bioinformatics Group 若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例例20. 求曲线的渐近线 .解解:为水平渐近线;为垂直渐近线.五、函数图形描绘五、函数图形描绘1 1、 曲线的渐近线曲线的渐近线61数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 斜渐近线若62数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例21. 求曲线的渐近线 .解解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线 .63数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2、
24、函数图形的描绘、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数的定义域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周64数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例22. 描绘的图形.解解: 1) 定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)65数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例23. 描绘方程的图形.解解: 1)定义域为2) 求关键点
25、66数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3) 判别曲线形态(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线为铅直渐近线无无定定义义67数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 又因即5) 求特殊点为斜渐近线68数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无无定定义义69数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例24. 描绘函数的图形. 解解:
26、1) 定义域为图形对称于 y 轴.2) 求关键点3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)70数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group (极大极大)(拐点拐点)为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线71数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2. 函数图形的描绘72数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 思考与练习思考与练习 1. 曲线(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:73数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 拐点为 ,凸区间是 ,2. 曲线的凹区间是 ,提示提示:及渐近线 .74
