《高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.1椭圆课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.1椭圆课件.ppt（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十五章圆锥曲线与方程15.1椭圆高考数学高考数学1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|),轨迹是椭圆.当|PF1|+|PF2|=2a(2a=|F1F2|)时,轨迹是线段F1F2;当|PF1|+|PF2|=2a(2ab0)与+=k(ab0,k0)有相同的离心率.求椭圆标准方程的方法1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为+=1(ab0);(2)如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为+=1(ab0);(3)如果椭圆中心
2、在原点,但不确定焦点是在x轴上还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).方法技巧方法12.利用定义及性质求椭圆的标准方程(1)根据动点满足的等式的几何意义,写出标准方程;(2)建立关于a,b,c,e的方程或方程组;(3)解方程或方程组,得到椭圆的标准方程.例1(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的标准方程.(2)(2016江苏如东高级中学期中,17)已知圆C:x2+y2+2x=15,M是圆C上的动点,N(1,0),MN的垂直平分线交CM于点P,求点P的轨迹方程.解析(1)设椭圆方程为+=1(m0,n0,mn),由题意
3、知或解得或椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.(2)由题意知|NP|+|PC|=|MP|+|PC|=4|NC|,故点P的轨迹是以C、N为焦点,长轴长为4的椭圆.所以点P的轨迹方程为+=1. 求椭圆的离心率或离心率的取值范围求椭圆的离心率或离心率的取值范围考的知识点通常有两类:一是求椭圆的离心率;二是求椭圆离心率的取值范围.(1)若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点位置确定a2,b2,求出a,c的值,利用公式e=直接求解.(2)若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立a,b,c,e满足的关系式,化为关于a,c的齐次方程,求出a,c的关系或化为e的方程求解.例2(2016江苏常州一中、江阴南菁高中联
4、考,7)已知F是椭圆+=1(ab0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PFx轴.若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是.方法2解析由题意得,A(a,0),F(-c,0).PFx轴,|PF|=.因为|PF|=|AF|,所以=(a+c),即(3a-4c)(a+c)=0,a,c0,3a-4c=0,e=.答案例3(2015福建文改编,11,5分)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于两点A,B,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是.解析直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|
5、AF|+|BF|=2a=4,所以a=2,不妨令M(0,b),则由点M到直线l的距离不小于得,即b1,所以e2=,又0e1,所以0e,即椭圆E的离心率的取值范围是0e.答案0e 椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题解决椭圆中的最值问题主要运用数形结合、函数与方程两大数学思想,具体方法有以下几种:(1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质求最值或取值范围.(2)利用函数,尤其是二次函数求最值或取值范围.(3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.(4)利用判别式求最值或取值范围.例4(2017镇江高三上学期期末,18)已知椭圆C:+=1的离心率为,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;
6、方法3(2)若直线l交椭圆C于P,Q两点,线段PQ的中点为H,O为坐标原点,且OH=1,求POQ面积的最大值.解析(1)由已知得=,+=1,易得a2=4,b2=1,故椭圆C的标准方程是+y2=1.(2)当PQx轴时,H位于x轴上,且HOPQ,由OH=1可得PQ=,此时SPOQ=OHPQ=.当PQ不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,所以从而H,由已知OH=1可得t2=(*).因为PQ2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)=(1+k2),设坐标原点O到直线l的距离为d,则d2=,从而
7、=(1+k2),将(*)式代入得,=,令1+16k2=p,则=1,当且仅当p=3时,取“=”,此时POQ的面积最大,且最大值为1.0,n0,y10,m0.SOBC=,当且仅当3m=,即m=时取等号,此时n=,所求直线l的方程为x=y+,即y=x+. 圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中定点问题的两种解法:(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.例6(2017江苏丹阳高三上学期期初考试,17,15分)如图,在平面直角坐标系xO
8、y中,A,B分别是椭圆G:+y2=1的左,右顶点,P(2,t)(tR,且t0)为直线x=2上的一个动点,过点P任意作一条直线l与椭圆G交于C,D,直线PO分别与直线AC,AD交于E,F.(1)当直线l恰好经过椭圆G的右焦点和上顶点时,求t的值;方法5(2)记直线AC,AD的斜率分别为k1,k2.若t=-1,求证:+为定值;求证:四边形AFBE为平行四边形.解析(1)由题意得,椭圆的上顶点坐标为(0,1),右焦点坐标为(,0),易得直线l的方程为y=-x+1,令x=2,得t=1-.(2)证明:由题意可设直线AC的方程为y=k1(x+2),由得C,同理,D,由C,D,P三点共线得kCP=kDP,即=,化简得4k1k2=t(k1+k2),t=-1时,+=-4(定值).要证四边形AFBE为平行四边形,即只需证EF的中点为点O,由得xE=,同理xF=,将t=分别代入得,xE=,xF=,所以xE+xF=0,则yE+yF=(xE+xF)=0,所以EF的中点为O,故四边形AFBE为平行四边形.
