《复变函数论三钟玉泉解析函数的洛朗展式与孤立奇点学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数论三钟玉泉解析函数的洛朗展式与孤立奇点学习教案（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、会计学1复变函数复变函数(hnsh)论三钟玉泉解析函数论三钟玉泉解析函数(hnsh)的洛朗展式与孤立奇点的洛朗展式与孤立奇点第一页，共34页。22024/8/21. 1. 双边双边双边双边(shungbin)(shungbin)幂级数幂级数幂级数幂级数定义(dngy) 称级数（1）为双边(shungbin)幂级数（1）的系数。双边 (shungbin)幂级数为双边幂级数，其中复常数负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分注: 主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛第1页/共33页第二页，共34页。32024/8/2若收敛(shulin)域为的收敛(shulin)半径为R,收敛(shulin)域为
2、时收敛,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:这时,级数(1)在圆环H:r|z-a|R 收敛于和函数f(z)=f1(z)+ f2(z)第2页/共33页第三页，共34页。42024/8/2定理5.1 设双边幂级数(1)的收敛(shulin)圆环为 H: r|z-a|R (r0, R+)则(1) 级数在H内绝对收敛(shulin)且内闭一致收敛(shulin)于: f(z)=f1(z)+f2(z).(2) f(z) 在H内解析(ji x).在H内可逐项求导p次(p=1,2,).(4) 函数(hnsh)f(z)可沿H内曲线C逐项积分.第3页/共33页第四页，共34页。52024/8/2 定理(d
3、ngl)5.2 (洛朗定理(dngl) 在圆环H:r|z-a|R,(r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数其中(qzhng)(2)2. 2. 解析解析解析解析(ji x)(ji x)函数的洛朗函数的洛朗函数的洛朗函数的洛朗(Laurent)(Laurent)展式展式展式展式(3)第4页/共33页第五页，共34页。62024/8/2(2)2. 2. 解析解析解析解析(ji x)(ji x)函数的洛朗函数的洛朗函数的洛朗函数的洛朗(Laurent)(Laurent)展式展式展式展式定义5.1 (2)式称为(chn wi)f(z)在点a处的罗朗展式，(3)称为(chn wi)其罗朗系数，
4、而(2)右边的级数则称为(chn wi)罗朗级数。(3)注: 泰勒级数是罗朗级数的特殊(tsh)情形。3. 洛朗级数与泰勒级数的关系第5页/共33页第六页，共34页。72024/8/2例1 求函数 分别(fnbi)在圆环 及 的洛朗级数。 (1)在圆环 内 于是(ysh)有洛朗级数解第6页/共33页第七页，共34页。82024/8/2(2)在圆环 上, ,于是(ysh)有洛朗级数解例1 求函数 分别(fnbi) 在圆环 及 的洛朗级数。 第7页/共33页第八页，共34页。92024/8/2例2 求函数 在 内的洛朗级数。例3 求函数 在 内的洛朗级数。例4 求函数 在 内的洛朗级数。第8页/共
5、33页第九页，共34页。102024/8/24. 4. 4. 4. 解析函数解析函数解析函数解析函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)在孤立奇点邻域内的在孤立奇点邻域内的在孤立奇点邻域内的在孤立奇点邻域内的洛朗展式洛朗展式洛朗展式洛朗展式 定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域K-a： 0|z-a|R 内解析，点a是f(z)的奇点，则称为(chn wi)f(z)的孤立奇点. 如果(rgu)a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在点a的某一去心邻域K-a：0|z-a|R内能展成洛朗级数。第9页/共33页第十页，共34页。112024/8/24. 4. 4. 4. 解析函数解析
6、函数解析函数解析函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)在孤立奇点邻域内的洛在孤立奇点邻域内的洛在孤立奇点邻域内的洛在孤立奇点邻域内的洛朗展式朗展式朗展式朗展式将函数展成洛朗级数的常用(chn yn)方法。1. 直接(zhji)展开法:利用定理公式计算系数然后写出2. 间接展开法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .第10页/共33页第十一页，共34页。122024/8/2例1展开(zhn ki)成洛朗级数.5. 典型(dinxng)例题例2 求函数 在 内的洛朗级数。例3 试问(shwn)函数 能否在 内展成洛朗级数？第11页/共33
7、页第十二页，共34页。132024/8/2第二节第二节第二节第二节解析函数解析函数解析函数解析函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)的有限孤立的有限孤立的有限孤立的有限孤立奇点奇点奇点奇点2. 孤立(gl)奇点的性质3. Picard定理(dngl)4 . Schwarz引理1. 孤立奇点的分类第12页/共33页第十三页，共34页。142024/8/21. 1. 1. 1. 孤立孤立孤立孤立(gl)(gl)(gl)(gl)奇点的分类奇点的分类奇点的分类奇点的分类 如a为f(z)的孤立(gl)奇点,则f(z)在a的某去心邻域K-a内可以展成罗朗级数则称为f(z)在点a的正则(zhn
8、 z)部分,而称为f(z)在点a的主要部分。第13页/共33页第十四页，共34页。152024/8/21. 1. 1. 1. 孤立孤立孤立孤立(gl)(gl)(gl)(gl)奇点的分类奇点的分类奇点的分类奇点的分类定义5.3 设a为f(z)的孤立(gl) 奇点. (1)如果f(z)在点a的主要部分为零 ,则称a为f(z)的可去奇点;(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项 ,设为则称a为f(z)的m阶极点，一阶极点也称为简单(jindn)极点； (3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.第14页/共33页第十五页，共34页。162024/8/2定理5.3 若
9、a为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何(rnh)一条都是可去奇点的特征。 (2)(1) f(z)在点a的主要(zhyo)部分为零; (3) f(z)在点a的某去心邻域(ln y)内有界。2.可去奇点的性质第15页/共33页第十六页，共34页。172024/8/2证 (1) (2). 由(1)有因此(ync)第16页/共33页第十七页，共34页。182024/8/2证(2) (3). 因(3) (1). 因主要(zhyo)部分的系数其中(qzhng) , 可任意小，故第17页/共33页第十八页，共34页。192024/8/2Schwarz引理 如果函数f(z)在单位(dn
10、wi)圆|z|1内解析,并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|1(|z|1)，则在单位(dnwi)圆|z|1内恒有|f(z)|z|,且有 .3. 3. 施瓦茨施瓦茨施瓦茨施瓦茨(Schwarz)(Schwarz)(Schwarz)(Schwarz)引理引理引理引理如果上式等号成立 ,或在圆|z|z|r0内解析,则称点为f(z)的一个孤立奇点.设点为f(z)的孤立奇点,利用(lyng)变换 ,于是在去心邻域:(5.12)内解析，则第23页/共33页第二十四页，共34页。252024/8/2(1)对于扩充z平面(pngmin)上无穷远点的去心邻域N-,有扩充z/平面(pngmin)上的原点的去心
11、邻域; (2)在对应点z与z/上,函数(hnsh)(3)或两个(lin )极限都不存在.注：第24页/共33页第二十五页，共34页。262024/8/2定义(dngy)5.5 若z/=0为的可去奇点(解析(ji x)点)、m级极点或本性奇点,则相应(xingyng)地称z=为f(z)的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.设在去心邻域 内将展成罗朗级数:第25页/共33页第二十六页，共34页。272024/8/2定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立 (chngl): (1)f(z)在 的主要部分为零 ; (2) (3)f(z)
12、在 的某去心邻域N-内有界.第26页/共33页第二十七页，共34页。282024/8/2定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z =为m级极点(jdin)的充要条件是下列三条中的任何一条成立: (1) f(z)在 z=的主要(zhyo)部分为(2) f(z)在z =的某去心邻域(ln y)N-内能表成(3) g(z)=1/ f(z)以z =为m级零点(只要令g()=0).其中 在z =的邻域N内解析,且第27页/共33页第二十八页，共34页。292024/8/2定理(dngl)5.5(对应于定理(dngl)5.5) f(z)的孤立奇点为极点的充要条件是定理5.6(对应于定理5.6)
13、 f(z)的孤立奇点为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立(chngl):(1)f(z)在z=的主要部分有无穷多项正幂不等于零广义(gungy) 不存在(即当z趋向于时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).(2)第28页/共33页第二十九页，共34页。302024/8/2第四节第四节第四节第四节 整函数整函数整函数整函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)与亚纯函数与亚纯函数与亚纯函数与亚纯函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)1. 整函数(hnsh)2. 亚纯函数(hnsh)第29页/共33页第三十页，共34页。312024/8/2在整个z平面上解析(ji x
14、)的函数f(z)称为整函数.(5.14) 设f(z)为一整函数(hnsh), 则f(z)只以z=为孤立奇点,且可设1. 1. 整函数整函数整函数整函数(hnsh)(hnsh)第30页/共33页第三十一页，共34页。322024/8/2定理5.10 若f(z)为一整函数,则(1)z=为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c. (2)z=为f(z)的m级极点(jdin)的充要条件:f(z)是一个m次多项式(3)z=为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这样(zhyng)的f(z)为超越整函数).第31页/共33页第三十二页，共34页。332024/8
15、/2定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数(hnsh)称为亚纯函数(hnsh).2. 亚纯函数(hnsh)定理5.11 一函数f(z)为有理函数的充要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点(jdin)外没有其它类型的奇点. 定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数第32页/共33页第三十三页，共34页。内容(nirng)总结会计学。第1页/共33页。第2页/共33页。则(1) 级数在H内绝对收敛且内闭一致收敛于:。在H内可逐项求导p次(p=1,2,。用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .。则称a为f(z)的m阶极点，一阶极点也称为简单极点。如果上式等号成立,或在圆|z|1内一点z00。N-,有扩充z/平面上的原点的去心邻域。定义5.6 在z平面上除极点外无其他(qt)类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数.。2. 亚纯函数第三十四页，共34页。
