信号处理课件第12章1参数模型功率谱估计

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1、第12章 参数模型功率谱估计12.1 平稳随机信号的参数模型12.2 AR模型的正则方程与参数计算12.3 AR模型谱估计的性质与阶次选择12.4 AR模型的稳定性与信号建模12.5 关于线性预测12.6 AR模型系数的求解算法12.7 MA模型12.8 ARMA模型12.9 Pisarenko谐波分解与MUSIC 算法12.1 平稳随机信号的参数模型经典谱估计： 分辨率低（受窗函数长度的限制）; 方差性能不好； 方差和分辨率之间的矛盾。对平稳信号建模: 用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差； 也可用于信号的特征提取，预测，编码及 数据压缩 等。步骤步骤2 2由 的先验知识，如 ,估计 的参数

2、：步骤步骤1 1假定所研究的平稳过程 是由一白噪声序列 激励一线性系统所产生的输出；从功率谱估计的角度，对平稳信号建模的步骤：即是对 建立的数学模型。参数一旦上述系数被求出，则： 功率谱估计：随机信号通过LSI系统的输入输出关系步骤步骤3 3LSI系统的输入、输出关系：以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。差分方程卷积关系转移函数的两种表示形式，独立于信号。谱分解的Z域表示待辨识的参数。 AR（AutoRegressive，自回归）模型若：并假定：全极点模型则： MA（MovingAverage,移动平均）模型若：则

3、：全零点模型 ARMA（Auto-Regressive Moving- Average,自回归移动平均） 模型极零模型ARMA模型如果：不全为零则：AR模型: 全极模型， 线性，用的最多， 被研究的也最多，性能很好；MA模型：全零模型，看起来简单； 但是非线性；ARMA模型：极零模型，二者的综合。 具体选用那一个模型，一是取决于信号的特点，二是取决于信号处理任务的需要，需区别对待。1Kay S M, Marple S L. Spectrum Analysis : a modern Perspective. Proc. IEEE, 69(Nov):1380-1419,19812Makhoul J

4、. Linear Prediction: a tutorial review. Proc. IEEE, 62(April):561-580,19753Kay S M. Modern Spectrum Estimation: Theory and Application. 198844 Marple S L. Digital Spectrum Analysis with Application. 1987 推荐如下参考文献：12.2 AR模型的正则方程与参数计算目标：找到已知参数和未知参数的关系， 以便求解未知参数：已知参数：求解方法：由下面的差分方程入手：两边同乘 ，求均值未知参数： 和 的互

5、相关因果系统卷积关系结果1：结果2：结合起来正则方程（Normal Eq.）Toeplitz 自相关阵又称 Yule-Walker 方程利用Yule-Walker 方程，可求解出AR模型参数：于是模型可以构造，可以实现功率谱估计。提法：设 在 时刻之前的 个数据已知现在希望用它们预测为了深入了解AR模型的特点，现探讨另外一个问题，即线性预测问题：线性预测误差序列均方误差令：可以得到使 最小的 及 。不求导，使用正交原理：Wiener-Hopf Eq. ：最小预测误差功率线性预测的Wiener-Hopf Eq.注意到：对同一信号 ，都使用其得到了两组方程：来自AR模型：Yule-Walk 方程来

6、自LP：Wiener-Hopf 方程结论：对同一信号，二者是相同的，即一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：由于所以等效的概念 应等于AR模型激励白噪声的功率 。 由LP的含意，因此AR模型也可以看作是在 最小平方意义上对数的拟合；上面等效的含意是：由于LP包含了对数据的外推，因此，对应的 谱估计所用数据的范围比实际的应有扩展， 因此可以提高分辨率。线性预测器的误差序列等效于激励AR模型 的白噪声序列；AR模型白化滤波器线性预测器Yule-Walker 方程的快速计算 Levinson-Durbin快速算法： 反射系数要求解的参数：思路： 利用Toepl

7、itz 矩阵特点，由低阶 高阶零阶预测器的误差等于信号的功率递推公式递推过程中，要始终保持：P 阶AR模型（LP）有三组参数：可互相导出，请给出它们互相导出的公式。都是 p+1 个ARAR模型模型基于AR模型谱估计的实现： 由 估计步骤步骤1 1步骤步骤2 2解Yule-walker方程，得估计的模型参数步骤步骤3 3尚需离散化离散谱，用FFT计算实际计算：12.3 AR模型谱估计的性质1. AR谱的平滑特性AR模型是一有理分式，估计出的谱平滑，不需要像周期图那样再做平滑或平均，因此，不需要为此去牺牲分辨率。2. AR谱的分辨率经典谱估计：经典谱估计：假定：分辨率反比于 N ，即对间接法：分辨

8、率还要降低AR模型包含了对 的“预测”或“外推”。实际上，这包含着自相关函数的“外推”。令：AR谱AR谱对应的自相关函数可以证明：AR模型自相关函数匹配性质证明：由两边做DTFT反变换：左边右边有：上式等效于Yule-Walker 方程，对同样的模型系数 ，因此必有当 时，可以用下式外推：外推后的 对应AR谱，因此AR谱有较高的分辨率。而经典谱估计中无外推，即： 分辨率低注意到AR模型自相关函数的匹配：设想：如果阶次 , 则AR谱对应的自相关函数完全等于信号的自相关函数，AR谱等于真谱。（b) p=10; (c) p=20; (d) p=30最大熵谱估计: Burg 于 1975年博士论文。M

9、aximum Entropy Spectral Estimation，MESE）关于熵： 设信源由 这 M 个 事件组成： 产生 的概率是 的信息量：对数以e为底对数以2为底奈特（nat)比特（bit）单位离散型随机变量连续型随机变量熵Burg最大熵谱估计的思路是：已知某随机信号自相关函数 的 个值 ，现希望以这 个值对 的自相关函数予以外推。外推的方法很多，Burg的准则是：外推后的自相关函数对应的时间序列具有最大的熵，即是最随机的。最大熵功率谱保证： 的递推方法很多。所以很多说明了自相互函数的外推特点原则： 是所有各种可能外推所对应的时间序列中最随机的，即含有最大信息量（熵）。再假定 是高

10、斯的。在这三个条件制约下，有：3. AR模型谱的匹配性质P 阶线性预测从LSI系统输入、输出关系若用AR谱去匹配信号的谱，则误差系列的谱应由常数谱来匹配，体现 的白化性质。从AR模型和LP等效关系 p 阶AR模型给定平稳信号 的功率谱，希望用一模型的谱来匹配它，匹配的原则是使二者比值的积分最小。令 相对 中的参数 最小可得到最佳 Yule-Walker Eq的又一解释：当有： 的真实功率谱 AR谱AR模型自相关函数匹配性质所以，理论上：我们可用一个全极点模型来近似已知谱 ，达到任意精度。由：增加 ，等效地扩大了 相等的部分在 内紧随（1）全局跟随性质（global)因为均值为1，所以 在 上下

11、波动（2）局部跟随性质（local)总效果： 紧随 的峰值从对整个积分的贡献来考虑情况多情况少紧跟 谱的峰值4. AR谱的统计性质AR谱估计的方差反比于 的长度N和SNRAR谱变为ARMA谱，既有极点，又有零点，分辨率会有下降。5. AR谱估计的不足若 的SNR不高，那么 可看作 区别AR 模型阶次p的选择Levinson递推给出：（1）最终预测误差准则（2）信息论准则递减、恒正p12.4 AR模型的稳定性为什么有稳定性问题？式中自相关函数是估计出的，由解出：始终是稳定的能否保证取决于 R 的性质第10章已证明： 若 正定，则求出的 保证 的根都在单位圆内，且唯一。AR模型的最小相位性质结论结

12、论1 1 由线性方程组的克莱姆法则， 必然是唯一的。关键是证明其最小相位性质。 对 阶模型，预测误差功率 应为最小。若 有一零点在单位圆外，将其反射到单位圆内，如果 进一步减小。这就说明原来的 不是最佳的。也即，只有最小相位的 才能构成最优的 阶线性预测器。证明：令：代入：式中：所以整个积分不为零。由此， 不是最佳 的 阶预测器。将：则：令：但是： 若 由 个复正弦组成，即则：矩阵奇异我们证明过 是非负定的，但结论1要求 是正定的。 何时 ，何时结论结论2 2纯线谱证明：标量情况向量情况假定：有非零解：则：又：必有第一点得证由线性方程组理论，必有：必不全为零，有非零解请自己证明即：第二点： 若

13、 由 个正弦组成， 又称纯谐波过程，则 是完全可预测的，即可以做到：结论 2 和 3 对信号建模有着重要的指导作用。对 个复正弦，其自相关矩阵的秩为 ，因此模型的阶次最大只能为 ，否则，将出现矩阵奇异的现象，当然，所求出的模型是不稳定的。对纯正弦建模时，一般要人为的加入一些噪声，防止自相关阵奇异。结论结论3 3关于信号建模本质的讨论用白噪声 激励一个线性系统，真的能产生我们所研究的随机信号或者：并没讨论过时域信号的匹配性质，即：我们介绍过AR模型的：（1）自相关函数的匹配性质：（2）功率谱的匹配性质实际上，我们无法要求：因此，我们讨论过的信号建模是在二阶统计意义上的建模，要求的是自相关函数和功

14、率谱这些二阶统计量的匹配。而只能做到：定义：若平稳过程 存在 阶模型，使得模型的输出 和 在 阶统计意义上一致，则称 可在 阶统计意义上准确建模。 是 在 阶统计意义上准确模型； 即是自相关和功率谱匹配；做谱分解，可得 ，但由于 失去相位信息，所以模型无穷多若 已知，由 实际上，我们可以在其它阶次的统计量上建模。阶次大于 2 的谱称为“多谱（Polyspectrum)。 三阶谱定义为:三阶谱又称“双谱（Bispectrum)”,对应的相关函数又称三阶相关：阶次大于2的统计分析，称为“高阶谱分析（High-Order Spectral Analysis)”, MATLAB中有专门的工具箱。Wold分解定理：任一平稳过程 均可作如下分解：1. 是一规则过程（平稳，连续谱）, 是一纯正弦过程，二者不相关;2. 可以表为一个无穷阶的MA过程:并有且 和 也不相关 这一分解的含义是：任一宽平稳过程的功率谱都可表为一连续谱和一线谱的和：Wold 分解定理是平稳过程的一个基本定理。可用于不同模型之间的等效。如 可由一 p 阶AR模型来产生，所以，一个 p 阶AR模型可由一无穷阶的MA模型来等效，反之亦然。这为建模及模型求解提供了方便。