小波分析全章节讲解

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1、 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要 经验的建立了反演公式，当时未能得 到数学家的认可。 小波分析的应用是与小波分析的 理论研究紧密地结合在一起地。 一、小波的发展一、小波的发展 小波分析的应用领域十分广泛，它包括小波分析的应用领域十分广泛，它包括： 数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故

2、障诊断等方面；例如： 在数学方面数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。 在图象处理方面图象处理方面的图象压缩、分类、 识别与诊断，去污等。 在医学成像方面医学成像方面的减少B超、CT、 核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 傅里叶（傅里叶（Fourier)Fourier)分析分析是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号分析从时间域变换到了频率域。泛函分析泛函分析是20世纪初开始发展起 来的一个重要的数学分支，它是 以集合论为基础的现代分析手段， 它用更加抽象的概念来描述熟知 的

3、对象。小波理论小波理论是建立在傅里叶分析和泛函分析基础之上的视频分析工具之一。小波变换小波变换是对傅里叶变换与短时傅里叶变换的发展，为信号分析、图像处理、量子物理及其他非线性科学的研究域带来革命的影响。1、傅里叶变换（1）傅里叶（FT）定义 其中，式（1.2）称为傅里叶反变换（IFT) （1.1） （1.2） 二、傅里叶分析二、傅里叶分析( (连续连续) )(2)FT的性质 1.对偶性 利用对偶性可以方便地得到一些函数的傅里叶变换或反变换公式，即 2.位移 时域位移将导致信号频谱增加一个附加相位，但是幅频特性不变，即3.卷积 卷积特性分为时域卷积和频域卷积，即4.Parseval定理（内积定理

4、） 它表明两个信号在时域和频域中的内积之间的关系，即 特别当 时，有 上式实际上给出了信号的能量关系。在时域和频域的总能量是相等的，故也称为能量守恒定理。 信号在一个域内的伸缩会导致在信号在一个域内的伸缩会导致在另一个域的相反方向上的伸缩另一个域的相反方向上的伸缩。5.尺度伸缩 在小波分析中，有着大量涉及信号在时域和频域的伸缩和变尺度分析。傅里叶变换傅里叶变换( (离散离散) )时域离散信号也可以根据是否为周期性，分为离散时间序列傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。1.DTFT 2.DFT三、泛函分析1.函数空间 （1）线性空间 例：平方可积函数空间 （2）赋范线性空间 例： （

5、3）巴拿赫（Banach)空间（4）希尔伯特（Hilbert）空间 例1：对于线性空间 ， 定义内积为例2：在n维欧氏空间 中， ，定义内积为 2.基底及展开（1）由函数序列张成的空间 设 为函数序列，令集合 为即 为函数序列 的所有可能的线性组合构成的集合，则称 为序列 张成的线性空间，简记为（2）基底 若序列 线性无关，则 ，式中的系数 的取值是惟一的。此时，就称 为空间 的一组基底。（3）正交（直交） 设x,y为内积空间中的两个元素， 若内积 ，则称x,y 相 互正交，简记为 。（4）规范正交基 若内积空间 中的基底 满足 则称 为 中的规范正交基（标准正交基）。 故 都可以展开成为 并

6、且有Parseval等式，即（5）双正交基 对于不满足规范正交条件的基底 来说，如果存在另一组对偶基底 使得 对应的傅里叶展开式为 规范正交性存在于原基底与对偶基底之间， 展开式也相应的由原基底和对偶基底构成， 这种基称为双正交基，与互为对偶基底。（6）框架 设H为Hilbert空间， 为H中的一个函数序列，若 ，都存在实数A,B使得 则称为框架，其中A,B分别称为框架的上、下界。 当A=B时，此框架称为紧框架； 尤其当A=B=1时，此紧框架就变 为规范正交基。3.从泛函角度描述傅里叶变换 （1）用内积表示傅里叶变换 内积空间中的函数，其傅里叶变换可用内积表示为 （2）用基底表示函数的展开三、

7、窗口傅里叶变换（傅里叶三、窗口傅里叶变换（傅里叶小波）小波） 由于传统傅里叶分析只适用于平稳信号，在进行非平稳信号的分析时通常采用时频处理方法，它将一维时域信号分解为二维时域频域联合分布表示。传统傅里叶分析不适用于时变信号的分析，但是可以在时域和频域内进行加窗处理，窗内的信号认为是准平稳的，对它们可以采用平稳信号的分析方法，如频谱分析和功率谱分析。这就是窗口傅里叶变换。 为了弥补Fourier变换不能时空定位的不足，工程技术领域长期以来一直采用D.Gabor开发的窗口Fourier变换（短时Fourier变换），来对时空信号进行分段或分块的时空-频谱分析（时频分析）。窗口Fourier变换：其

8、中，g为窗口函数（参见图10-3）。虽然窗口Fourier变换能部分解决Fourier变换时空定位问题，但由于窗口的大小是固定的，对频率波动不大的平稳信号还可以，但对音频、图像等突变定信号就成问题了。本来对高频信号应该用较小窗口，以提高分析精度；而对低频信号应该用较大窗口，以避免丢失低频信息；而窗口Fourier变换则不论频率的高低，都统一用同样宽度的窗口来进行变换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好的时频分析方法。窗口傅里叶变换的方法窗口傅里叶变换的方法时频分析时频分析时域时域- -频域联合分频域联合分加窗时频分析加窗时频分析（1)传统傅里叶分析的局限性 传统的傅里叶分析在平

9、稳信号的分析和处理中具有重要作用。它将时间域内复杂信号的分析转换为频率域内的具有简单参数的频谱密度的分析，或者分解为频域内的具有简单形状的信号之和。这种从一个分析域转换到另一个分析域的方法是信号分析中的常用方法。 但是现实世界中的很多信号，例如，脑电波信号、地震信号、语音信号等，都是非平稳的。这些信号的频率是时变的。 对于这种信号的准确描述，必须使用具有局部 性能的时域和频域的二维 联合表示， 或者说必须提取特定时间段和频率段内的信号 特性。这时，传统的傅里叶分析就显得无能为力了。 傅里叶变换所描述的是整个时间段内频率 的特性，或者说它是一种全局的变换而没有 刻画出特定时间段或频率段的特性。（

10、一）时频分析（一）时频分析对于非平稳信号的分析，一种有效的方法是时域-频域二维联合分析。信号从一维时域 表示分解为时域和频域的二维联合表示 ，用以描述信号在不同时刻的频率分布情况。常用的时频分析手段有窗口傅里叶变换、小波变换和Wigner-Ville分布等。 (2) (2) 时域时域- -频域联合分析频域联合分析 虽然时变信号的频率特性随着时间而改变，但是这种改变是渐变的而非突变的，也就是说，在一个特定的足够小的区间（窗）内，可以认为信号的特性是不变的，信号是局部稳定的或准平稳的。（二）加窗时频分析（二）加窗时频分析1.时窗处理 将信号在时域内进行分段，等效于用位置不同的窗函数 与原信号 相乘

11、的结果，如下图所示。在时域内，时间函数一般选取具有能量局部化的函数。先选定一个基本窗函数 ， 然后将 沿时间轴平移得到一组窗函数， 其中 为时间位移。平移后的窗函数分别 与原信号相乘，其结果就等效于提取了 原信号的不同时间段内的信息而屏蔽了 段外的信号。0ttt00 最简单的时间窗是矩形窗函数，如上图所示。但是也可以根据需要选择其他的窗函数，如Gauss窗、Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函数具有非常良好的时域局部化性质： （1）具有时域紧支集。 （2）窗内信号保持原样。 （3）窗外信号完全衰减为0，完全地屏蔽了窗外信号。 （4）窗的过渡带为“陡”的阶跃跳变， 因此，没有平

12、滑的衰减过渡带和窗拖尾。 根据常用傅里叶变换，矩形窗函数的频谱 为sinc函数，它有着很长的拖尾。这就引入 了带外频谱干扰，或者说在频域内的局部化 特性不够好，给带内信号的分析带来了干扰。2.频窗处理 加频窗处理实际上是将信号通过滤波器组，或者说将信号分别 与多个频窗相乘。频窗是由低通滤波器 在频率轴上的平移而形成的一系列带通滤波器 ，其中 为频率位移。带通滤波器组的作用就是提取信号在特定频率段（频带）内的信息而屏蔽频带外信号。（三）窗口傅里叶变换的基本思想（三）窗口傅里叶变换的基本思想 1946年，Gabor提出了窗口傅里叶:变换在传统的傅里叶分析之前，对信号进行了加窗处理。这里的窗函数 的

13、选择有些特殊：首先，它时实对称函数；其次，它在某个小区间内衰减很小，而在区间外迅速衰减为 0。 Gabor在最初的处理中采用的时Gauss窗 作为基本窗函数，通过在时间轴上平移得到一组窗 函数 。Gabor变换的定义如下： 设 ，即 ，且 为实对称函数，则信号 的窗口傅里叶变换（Gabor)变换定义为 其中， 称为基本窗函数， 其能量集中于 附近，在 远离 区域，它迅速衰减为0。 保留了信号在 附近的信息而屏蔽了远区信息。 是将窗函数平移到 ，因此， 保留的是 附近的信号信息。故， 实际上分析了 附近的频率特性。（四）时窗、频窗和时频窗（四）时窗、频窗和时频窗 窗函数的中心和宽度，分别表征窗函

14、数的位置和集中程度的度量信息。1.时窗与其度量 （1）基本定义 在窗函数满足 ，即 下， 定义时窗中心为定义时窗宽度为 通常情况下，要求窗函数具有归一化能量，即 故有：2.数学和物理解释 将 认为是一种概率分布 ， 那么 和 实际上就是对自变量 的期望和方差，或者说是一阶和二阶矩，即 根据定义，时窗函数的窗口 定义为 根据矩的性质，一阶矩表征了信号的集中位置，二阶矩表征了信号的扩展程度。因此， 可以理解为信号的平均时间或中平均时间或中心位置心位置的定义； 可以作为信号在时间轴上所占有的有效宽度有效宽度的度量。 从这个意义上讲，Gabor变换表征了信号在以 为中心、左右各为 的局部时间内的频率特

15、性。 窗口宽度为 ，它决定了 时域分辨率。 从物理意义上讲， 可以看成是 重心， 看成是转动惯量。三、小波变换三、小波变换小波变换小波变换 在前面我们谈到，对于非平稳信号的分析不能依靠傅里叶变换，但可以采用时频分析的方法，其中加窗傅里叶变换是最简单的一种。但是，它有很大的局限性局限性：当基本窗函数一旦取定，窗口的时窗宽度和频窗宽度就固定了，不会随时域和频域的位移而变化。 在实际应用中，这种固定的时频窗 结构往往不是最佳的，而希望在低频部 分的频窗比较窄，在高频部分的频窗比 较宽。为了适应这种需求，提出了一种 “自适应变化”的时频窗结构，便产生了 小波变换理论。小波的基本概念小波：指小的波，即

16、是小波，满足小波特点：由于 在整个实直线R上是可积的，所以 在无穷远点定等于0，也就是说，当t时， 衰减到0，由 ，可看出 的图像与X轴所夹的上半平面中的面积和下半平面积是相等的也就是说t变动时候，它是上下波动的，这就是小波的来源。 小波函数小波变换与傅立叶变换比较，它们的变换核不同：傅立叶变换的变换核为固定的虚指数函数（复三角函数）e-jwx,而小波变换的变换核为任意的母小波 。前者是固定的，而后者是可选的，实际上母小波有无穷多种，只要 满足下列条件即可。绝对可积且平方可积，即正负部分相抵，即 （ ）满足允许条件，即为的傅立叶变换常见的小波函数有：Haar小波(Alfred Haar，191

17、0年)： Haar小波函数及其Fourier变换墨西哥草帽(Mexican hat)小波： 墨西哥草帽小波函数及其Fourier变换Morlet小波(Jean Morlet，1984年)： Morlet小波函数(C=5)及其Fourier变换那小波到底怎么构成的呢？那小波到底怎么构成的呢？一、连续小波变换1、母小波（基本小波或小波母函数） 1.1 数学定义 设 ，其傅里叶变换为 ，如果满足 则称 为基本小波或母小波。（1.1.11.1.1）式（式（1.1.11.1.1）称为小波的）称为小波的容许条件容许条件，它表明了函数成为小波的首要条件。它表明了函数成为小波的首要条件。 在工程应用中利用小波

18、分析具体信号时，往往优先采用现成的性质较好的经典小波（例如，Morlet小波、Meyer小波和样条小波等）作为母小波，也可以通过特定的构造算法（例如，紧支集正交小波构造算法）生成小波基函数。小波母函数特性 （1）带通性质 （2）零均值和波动性 （3）“小”特性时频局部化 2.连续小波基函数 将母小波进行某种伸缩和平移，就可以得到很多个与母小波形状相似但“胖瘦”和“位置”不同的副本，比如按下列式的方式进行伸缩和平移，即 通常， 称为小波基函数，其中 称为尺度因子或伸缩因子， 称为 平移因子，它们都是连续变化的量。因此 也称为连续小波基函数。 系数 的作用是使拉伸变形后函数的能量保持不变，即 或除

19、了Haar小波外，其他紧支集小波都不是初等函数，有的小波函数是用导数/积分或微分方程/积分方程来定义，有的小波用其傅立叶变换定义，有的小波甚至没有解析表达式，而只是一些数字解，很多小波为复函数，所以不太直观。3.连续小波变换的定义 有了连续小波基函数 ，就可以将这些函数作用于能量有限信号 ，或者说将 在这些小波基函数下进行投影分解，这就是连续小波变换。 定义： ，函数的内积为 定义为函数 的连续小波变换，简称CWTCWT。变换结果称为小波变换系数小波变换系数。4.连续小波变换的性质 假设信号矢量 和 为能量有限信号，即 ，其连续小波变换（CWT）分别表示为 和 ，令 ， 为任意常数。 （1）线

20、性叠加性 （2）时不变性 （3）尺度变换 （4）内积定理（Moyal定理） （5）能量关系5.连续小波变换 连续小波变换的过程二、离散小波变换 连续小波变换必须进行离散化最主要原因在于： 连续小波变换系数是高度冗余的，要试图通过离散化，最大程度上消除和降低冗余性。 离散小波变换（DWT）是相对于连续小波变换（CWT）的变换方法，本质上是对 自变量 和 进行离散化处理。 1.尺度-位移参数的离散化 （1）将尺度因子按幂级数进行 离散化，即（2）在同一尺度下，位移因子均匀离散化，即 。 其中， 为大于0的实常数， 为整数。离散化后的小波基函数和小波变换分别为实际应用中，通常取常数为 并简记为则离散

21、后的小波变换可以表示为这是一种性质较好的二进离散方案，其机理：当 时， 。小波基函数 均匀地覆盖了整个时间轴，相邻的小波基函数之间间隔为1。 为了不丢失信息，要求此时的采样间隔必须满足Nyquist采样定理。 每当m增加1，尺度 增加1倍，对应的频带减小1/2，根据Nyquist采样定理，此时的采样频率可以降低1/2而不丢失任何信息，对应时域就是采样间隔可以大1倍。 因此，当m=1时，采样间隔可以取为 0，2，4，6，8，；当m=2时，采样间隔可以取为0，4，8，12，；采样间隔的通式为 。这种离散方案的采样间隔示意图如下图所示。 . . . . . . . . . . . . . . . .

22、 . . . . . . . . 2.小波框架 如果函数族 满足如下性质，即 则称小波基函数族 构成了一个小波框架。上式称为小波框架条件，它可以表示为等价的频域形式，即 关于小波框架，需要说明几点：（1）由小波框架的定义可以知道，并非任何函数族都能构成一个小波框架。比如当尺度-位移因子的乘积 时，就不能构成小波框架。（2）小波函数的对偶函数 也构成了另一个框架，且上、下界分别为 和 .（3）离散小波变换仍然具有冗余度，但是与连续小波变换相比，这种冗余度大大降低。3.离散小波逆变换 将连续小波变换进行离散化处理后，会很自然地引申出两个问题：（1）离散小波变换系数 是否完全表征了原信号 的全部信息

23、，或者说，能否从离散小波变换系数精确地恢复原信号 。（2）是否任何信号都可以分解表示为离散小波基的线性组合 ，而且其中的组合系数 如何求取。 上式两个问题可以归结为一个问题。离散小波变换相比于连续小波变换，其中逆变换要稍微复杂些，需要借助小波框架和对偶小波的概念。（I）对偶小波用于信号重构 如果上述第（1）个问题能满足，通过适当选择小波母函数 并对 和 进行适当地离散处理得到 ，那么一定存在与相对应的一个序列 ，它使得反变换（重建）公式可以表示为 此时， 称为 的对偶。相应地， 称为母小波 的对偶母小波。通过伸缩和平移可以得到对偶小波基 ，即（II）小波框架如果离散小波基函数满足框架定义，根据

24、框架理论，可以分为以下4种情况进行重构：（1）当A=B=1，框架退化为规范正交基，对偶小波与原小波恰好相等，即 此时，离散小波变换的逆变换可以表示为（2）当 ，即为紧框架时，其对偶小波与原小波仅相差一个比例参数，表示为 则离散小波变换的逆变换可以表示为（3）当 ，但A与B比较接近时， 可以取一阶近似为 这种框架称为几乎紧框架，则离散小波变换的逆变换可以表示为（4）当 ，但A与B相差甚远时，反变换一般不能直接应用，而必须先求出 才能代入标准公式，即 但是对偶小波 的求取方法比 较复杂，因此，这种处理方法在 实际应用中不常见。三、多分辨率分析（多尺度分析）作用：将信号分解成不同空间的部分，另外，它

25、也提供了一种构造小波的统一框架，还能提供数字信号分解与重构的快速算法。切入点：将从函数空间 出发，通过滤滤波器组波器组和函数空间。滤波器组法 函数空间法小波分解树 双通道滤波过程 离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号，这个过程叫做分解或者叫做分析。把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构或者叫做合成，数学上叫做逆离散小波变换。在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程，在小波重构时要包含升采样和滤波过程。小波重构的方法如图所示，图中的符号表示升采样。小波重构频域构造法时域构造法小波变换的应用一、小波变换在数字图像处理中的应用1 基本理论小波是指函数空间 中满足下述条件的一个函数或

26、者信号这里， 表示非零实数全体对于任意的函数或者信号f( )，其小波变换定义为因此，对任意的函数f( )，它的小波变换是一个二元函数变换实例变换实例小波图像分解与重构示意图利用小波变换，用户可以按照应用要求获得不同分辨率的图像。如图下图所示，其中，(a)表示原始的Lena图像，(b)表示通过一级(level)小波变换可得到1/4分辨率的图像，(c)表示通过二级小波变换可得到1/8分辨率的图像，(d)表示通过三级小波变换可得到1/16分辨率的图像。使用小波分解产生多种分辨率图像 阈值处理可用于去除图像中的噪声。在取不同阈值的情况下重构图像，可观察到图像质量发生的变化，如图所示。其中，(a)表示原始的Lena图像，(b)表示阈值5的重构图像，(c)表示阈值10的重构图像，而(d)则表示阈值20的重构图像。从图中可以看到，随着阈值的增大，图像质量也随之降低。图像的非标准分解方法小波其他理论小波去噪边缘检测