《线性代数课件：4-1 线性空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件：4-1 线性空间（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念一个抽象的概念线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题问题 线性空间一、数域数乘运算：若对于任一数数乘运算：若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，记作的积，记作定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合
2、， 为实数域为实数域加法运算：加法运算： 如果对于任意两个元素如果对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作二、线性空间的定义及例子如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就称为数域就称为数域 上的线性空间上的线性空间2 线性空间中的元素一般也称为向量线性空间中的元素一般也称为向量3 判别线性空间的方法：一个非空集合，对于判别线性空间的方法：一个非空集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就
3、不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明说明1 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为称为线性运算线性运算例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 1 1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，由于由于所以所以则对任何则对任何 ， 有有 三、线性空间的性质2 2负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ， 那么那么则有则有向量向量
4、的负元素记为的负元素记为证明证明4如果如果 ，则则 或或 . 证明证明假设假设那么那么四、线性空间的子空间定义定义 设设 是一个线性空间，是一个线性空间， 是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和数乘两种运算中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间定理线性空间定理线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是： 对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭解解(1)不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对例例 有有线性子空间的一些例子即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意对任意由于由于于是于是满足满足且且线性空间的元素统称为线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. .线线性性空空间间是是一个集合一个集合对所对所定义的加法及数乘运算封闭定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算四、小结线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. .
