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1、第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1。曲线积分。曲线积分1。第一类曲线积分。第一类曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分（1）定义）定义先考虑问题：质线的质量高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分（2）性质）性质由定义可知，曲线积分有以下性质高等数学讲义曲线积分与曲面积分（3） 计算方法计算方法高等数学讲义曲线积分与曲面积分对于空间曲线 ：高等数学讲义曲线积分与曲面积分xyoB(1,1)A(1,0)高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分先考虑问题：变力沿曲线所作的功(1) 定义定义2. 第二类曲线积分第
2、二类曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分第二类曲线积分除了具有与第一类曲线积分相似的性质外，还有一个特殊的性质：高等数学讲义曲线积分与曲面积分(2) 计算方法计算方法高等数学讲义曲线积分与曲面积分xyoB(1,1)A(1,0)高等数学讲义曲线积分与曲面积分3.两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分2。格林公式。格林公式正向是指沿着该方向走左手指向区域内部 .1。格林公式。格林公式高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积
3、分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分2。曲线积分与路径无关的条件。曲线积分与路径无关的条件（1）曲线积分与路径无关高等数学讲义曲线积分与曲面积分c1c2高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分当这个函数存在时，又如何求得？3.全微分求积全微分求积高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分3. 曲面积分曲面积分(1) 定义定义先考虑问题：曲面的质量1。第一类曲面积分。第一类曲面积分-对面积的曲面积分对面积的曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分
4、高等数学讲义曲线积分与曲面积分(2) 计算方法计算方法由曲面面积的计算方法知:曲面的面积元素为对面积的曲面积分又称为第一类曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分先介绍曲面的侧的概念-单侧与双侧在以后讨论的曲面都假定是双侧的，指定了侧的曲面称为有向曲面。（1）定义）定义2。第二类曲面积分。第二类曲面积分-对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分考虑流向曲面指定侧的流量AA高等数学讲义曲线积分与曲面积分xyzo高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分对坐标的曲面积分统
5、称为第二类曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分(2) 计算方法计算方法高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分3.两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系高等数学讲义曲线积分与曲面积分4.高斯公式高斯公式由两类曲面积分的联系，高斯公式又可以写成1.高斯公式高斯公式高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分(1)通量2. 通量与散度通量与散度高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分(2)散度高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分5。斯托克斯公式。斯托克斯公式上式即为斯托克斯公式1。斯托克斯公式。斯托克斯公式高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分高等数学讲义曲线积分与曲面积分斯托克斯公式可写成向量形式高等数学讲义曲线积分与曲面积分
