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1、(Advanced Mathematics)第五章第五章 定积分定积分5.1 定积分的概念定积分的概念5.2 定积分的性质定积分的性质5.3 微积分基本公式微积分基本公式5.4 定积分的计算定积分的计算5.5 广义积分广义积分5.6 定积分的几何应用定积分的几何应用5.7 定积分的物理应用定积分的物理应用下面图形的面积是什么？下面图形的面积是什么？定定定定 积积积积 分分分分 的的的的 概概概概 念念念念一：背景来源一：背景来源面积的计算面积的计算 所围成的平面图形所围成的平面图形.引例一引例一 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积曲边梯形曲边梯形是指由连续曲线是指由连续曲线x 轴轴与两条直线与两
2、条直线矩形面积矩形面积用用矩形面积之和矩形面积之和近似取代曲边梯形面积近似取代曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积五个小矩形五个小矩形十个小矩形十个小矩形思想思想: 以直代曲以直代曲显然显然, 小矩形越多小矩形越多, 矩形面积之和越接近矩形面积之和越接近应用极限的思想应用极限的思想, 分四步求面积分四步求面积 A.(1) 分割分割(2) 取近似取近似长度为长度为为高的小矩形为高的小矩形,面积近似代替面积近似代替任意用分点任意用分点(3) 求和求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积面积A的近似值的近似值.(4) 求极限求极限为了得到为了得到A的精确值的精确值,
3、分割无限加细分割无限加细,取极限取极限,形的面积形的面积:极限值就是曲边梯极限值就是曲边梯即小区间的最大长度即小区间的最大长度设某设某物体作变速直线运动物体作变速直线运动, 已知速度已知速度是时间间隔是时间间隔的一个连续函数的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.引例二引例二 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 思路思路 把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值(3) 求和求和(4) 取极限取极限路程的精确值路程的精确值(2) 取近似取近似(1) 分割分割表
4、示在时间区间表示在时间区间内走过的路程内走过的路程.上述两个问题的共性共性: : 解决问题的方法步骤相同 :“分割分割 , , 近似近似 , , 求和求和 , , 取极限取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊结构的和式的极限特殊结构的和式的极限设函数设函数 f (x)在在a, b上有界上有界,定义定义5.1 把区间把区间a, b分成分成n 个小区间个小区间,各小区间长度依次为各小区间长度依次为一点一点作乘积作乘积如果不论对如果不论对a, b(1) 在在a, b中任意插入若干个分点中任意插入若干个分点(2) 在各小区间上任取在各小区间上任取(3) 并作和并作和(4) 记记被被积积函函数数被被积
5、积表表达达式式记为记为积分和积分和怎样的分法怎样的分法,怎样的取法怎样的取法,只要当只要当和和S总趋于确定的总趋于确定的极限极限I,称这个极限称这个极限I 为函数为函数 f (x)在区间在区间a, b上的上的定定积分积分.积分下限积分下限积分上限积分上限积积分分变变量量a,b称为积分区间称为积分区间也不论在小区间也不论在小区间 上点上点面积面积 路程路程 说明：说明： 如果如果 f (x)在在a, b上的上的定积分存在定积分存在,f (x)在在a, b上可上可积积, 否则否则, 称称 f (x)在在a, b上不可上不可积积.则称则称 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国十七世纪下半叶，在前
6、人工作的基础上，英国大科学家大科学家牛顿牛顿和德国数学家和德国数学家莱布尼茨莱布尼茨分别在自己的国度分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，牛顿研究微积里独自研究和完成了微积分的创立工作，牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。来考虑的。注意：注意： 积分值仅与被积函数及积分区间有关积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关而与积分变量的字母无关. .定义中区间定义中区间a,b的分法和的分法和的取法是任意的的取法是任意的. 今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无
7、关性进行推理进行推理.(2)(1)(3) (3) 可积可积 存在存在,(4) (4) 可积可积 某一特殊分割和特殊取某一特殊分割和特殊取 点法点法, 极限存在极限存在. 实际上实际上 任意分割任意分割 及在及在 上上任意方法取任意方法取 点点, 极限都存在极限都存在,特殊和式的极限特殊和式的极限 极限过程是极限过程是定理定理5.1 (定积分的存在定理定积分的存在定理)有限个间断点有限个间断点，则则 f (x)在区间在区间 a, b上可积上可积. .(2) 若若函数函数 f (x)在区间在区间 a, b上上有界有界， 且且最多只有最多只有(1) 若若函数函数 f (x)在区间在区间 a, b上上
8、连续连续， 则则 f (x)在区间在区间 a, b上可积上可积. .则则 f (x)在区间在区间 a, b上可积上可积. .(3) 若若函数函数 f (x)在区间在区间 a, b上上单调单调， 定积分的几何意义定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值几何意义几何意义取负号取负号.它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f (x) 的图形及两条的图形及两条直线直线 x = =a, x = = b之间的各部分面积的代数和之间的各部分面积的代数和.在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号; 在在 x 轴下方的面积轴下方的面积例例 求求解解物理意义物理意义
9、t = b所经过的路程所经过的路程 s.oxy作直线运动的物体从时刻作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻到时刻定积分定积分表示以变速表示以变速例例1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解 将将0,1 n等分等分, 分点为分点为小区间小区间 的长度的长度取取解解原式原式例例2 将和式极限将和式极限表示成定积分表示成定积分.注注: 原式也可原式也可表示成表示成例例3 设设函数函数 f (x)在区间在区间 0, 1上上连续连续, 且取正值且取正值. .试证试证证证 由指数与对数的连续性由指数与对数的连续性, 有有作业 P205 习题5.1n2 由定积分的几何意义由定积分的几何意义( (面积的代数和面积的代数和) )也可得也可得. .奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有且有则则则则
