Matlab最优化计算方法

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1、MatlabMatlab最优化计算方法最优化计算方法实验目的实验目的实验内容实验内容2、掌握用数学软件包求解线性规划问题。、掌握用数学软件包求解线性规划问题。1、了解线性规划的基本内容。、了解线性规划的基本内容。3、实验作业。实验作业。2、用数学软件包求解线性规划问题。、用数学软件包求解线性规划问题。1、两个引例。、两个引例。问题一问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满

2、足加工工件的要求，又使加工费用最低？ 两个引例两个引例解解 设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型： 解答问题二：问题二： 某厂生产甲、乙两种产品，已知制成一吨产品甲需用资源A 3吨资源B 4m3；制成一吨产品乙需用资源A 2吨，资源B 6m3，资源C 7个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210个单位。试应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？（p153，例8-2）解：解：这是个最优化问题，其目标为经济价值最高，约束条

3、件为三种资源的数量有限，决策为生产甲、乙产品的数量。令生产产品甲的数量为x1，生产产品乙的数量为x2。由题意可以建立如下的线性规划模型。故目标函数为：故目标函数为：约束条件为：问题问题2线性规划模型：线性规划模型： 解答返 回1.1.线性规划的标准形式：线性规划的标准形式：用单纯法求解时，常将标准形式化为：2. 线性规划的基本算法线性规划的基本算法单纯形法单纯形法线性规划的基本算法线性规划的基本算法单纯形法单纯形法引入松弛变量x3, x4, x5, 将不等式化为等式, 即单纯形标准形:用用MATLAB优化工具箱解线性规划优化工具箱解线性规划min z=cX 1、模型：命令：x=linprog（

4、c，A，b） 2、模型：min z=cX 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式： 存在，则令A= ，b= .3、模型：min z=cX VLBXVUB命令：1 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） 2 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：1 若没有等式约束: , 则令Aeq= , beq= . 2其中X0表示初始点 4、命令：x,fval=linprog()返回最优解及处的目标函数值fval.解解 编写编写M文件如下：文件如下：c=-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.

5、64 -0.6; A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)解解: 编写编写M文件如下：文件如下： c=-7 -5; A=3 2; 4 6; 0 7; b=90;200;210; Aeq=; beq=; vlb=0,0; vub=inf,inf; x,fval=linprog(c,A,b

6、,Aeq,beq,vlb,vub)问题问题2解答解答S.t.改写为：例例3 问题一的解答 问题问题编写编写M文件如下文件如下:f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;beq=400 600 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)结果结果:x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 5

7、00.0000fval =1.3800e+004 即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800。结果为：结果为：x = 14.0000 24.0000fval = -218.0000 注：注：有些实际问题可能会有一个约束条件：决策变量只能取整数，如x1、x2取整数。这类问题实际上是整数线整数线性规划性规划问题。如果把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好是整数时，故它就是该整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解（如割平面法、

8、分支定界法）。实验作业实验作业 某厂生产甲乙两种口味的饮料某厂生产甲乙两种口味的饮料, ,每百箱甲饮料需用每百箱甲饮料需用原料原料6 6千克千克, ,工人工人1010名名, ,可获利可获利1010万元万元; ;每百箱乙饮料每百箱乙饮料需用原料需用原料5 5千克千克, ,工人工人2020名名, ,可获利可获利9 9万元万元. .今工厂共有今工厂共有原料原料6060千克千克, ,工人工人150150名名, ,又由于其他条件所限甲饮料又由于其他条件所限甲饮料产量不超过产量不超过8 8百箱百箱. .问如何安排生产计划问如何安排生产计划, ,即两种饮料即两种饮料各生产多少使获利最大各生产多少使获利最大.

9、 .进一步讨论进一步讨论: : 1) 1)若投资若投资0.80.8万元可增加原料万元可增加原料1 1千克千克, ,问应否作这项问应否作这项投资投资. . 2) 2)若每百箱甲饮料获利可增加若每百箱甲饮料获利可增加1 1万元万元, ,问应否改变生问应否改变生产计划产计划. .返返 回回无约束最优化无约束最优化数学实验数学实验实验目的实验目的实验内容实验内容2、掌握用数学软件包求解无约束最优化问题。、掌握用数学软件包求解无约束最优化问题。1、了解无约束最优化基本算法。、了解无约束最优化基本算法。1 1、无约束优化基本思想及基本算法、无约束优化基本思想及基本算法。4 4、实验作业。、实验作业。3、用

10、、用MATLAB求解无约束优化问题。求解无约束优化问题。2、MATLAB优化工具箱简介优化工具箱简介 无约束最优化问题无约束最优化问题求解无约束最优化问题的的基本思想求解无约束最优化问题的的基本思想*无约束最优化问题的基本算法无约束最优化问题的基本算法返回标准形式：标准形式：求解无约束最优化问题的基本思想求解无约束最优化问题的基本思想求解的基本思想求解的基本思想 ( 以二元函数为例 )531连续可微多局部极小 唯一极小(全局极小)搜索过程搜索过程最优点 (1 1)初始点 (-1 1)-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030

11、.980.370.110.470.590.330.200.800.630.050.950.90 0.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.9997 0.9998 1E-8返回无约束优化问题的基本算法无约束优化问题的基本算法 最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值点时，宜选用别种收敛快的算法. 1 1最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：2 2牛顿法算法步骤：牛顿法算法步骤： 如果f是对称正

12、定矩阵A的二次函数，则用牛顿法经过一次迭代一次迭代就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达到极值点，但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因此牛顿法的收敛速度还是很快的. 牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求Hessian矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了计算机计算量和存储量.3 3拟牛顿法拟牛顿法返回MatlabMatlab优化工具箱简介优化工具箱简介1.MATLAB1.MATLAB求解优化问题的主要函数求解优化问题的主要函数2. 2. 优化函数的输入变量优化函数的输入变量 使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时, 输入变量见下表:3. 3. 优化函数的输出变量下表优

13、化函数的输出变量下表: :4 4控制参数控制参数optionsoptions的设置的设置 (3) MaxIterMaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数.OptionsOptions中常用的几个参数的名称、含义、取值如下中常用的几个参数的名称、含义、取值如下: : (1)DisplayDisplay: 显示水平.取值为off时,不显示输出; 取值为iter时,显示每次迭代的信息;取值为final时,显示最终结果.默认值为final.(2)MaxFunEvalsMaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.例：opts=optimset(Display,ite

14、r,TolFun,1e-8) 该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为iter, TolFun参数设为1e-8. 控制参数控制参数optionsoptions可以通过函数可以通过函数optimsetoptimset创建或修改。命创建或修改。命令的格式如下：令的格式如下：(1) options=optimset(options=optimset(optimfunoptimfun) ) 创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.（2）options=optimset(options=optimset(param1param1,val

15、ue1,value1,param2param2,value2,.),value2,.) 创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.(3)options=optimset(oldops,options=optimset(oldops,param1param1,value1,value1,param2param2, , value2,.) value2,.) 创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.返回用用MatlabMatlab解无约束优化问题解无约束优化问题 其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用

16、（1）或（2）的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。常用格式如下：常用格式如下：（1）x= fminbnd (x= fminbnd (fun,xfun,x1 1,x,x2 2) )（2）x= fminbnd (x= fminbnd (fun,xfun,x1 1,x,x2 2 ，options)options)（3）xx，fval= fminbndfval= fminbnd（.）（4）xx，fvalfval，exitflag= fminbndexitflag= fminbnd（.）（5）xx，fvalfval，ex

17、itflagexitflag，output= fminbndoutput= fminbnd（.） 主程序为主程序为: f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作图语句作图语句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)例例2 2 对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？p156，例8-1解解先编写先编写M M文件文件fminbndtest.mfminbndtest.m如下如下: : functi

18、on f=myfun(x) f=-(3-2*x).2*x;主程序调用主程序调用fminbnd:fminbnd: x,fval=fminbnd(fminbndtest,0,1.5); xmax=x fmax=-fval运算结果为运算结果为: : xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米. 命令格式为命令格式为: :（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，opti

19、ons）（3）x，fval= fminunc（.）； 或x，fval= fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag= fminsearch（5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.） 2、多元函数无约束优化问题、多元函数无约束优化问题标准型为标准型为：min F(X)3 fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法， 由options中参数LineSearchType控制：LineSearchT

20、ype=quadcubic(缺省值)，混合的二次和三 次多项式插值；LineSearchType=cubicpoly，三次多项式插使用使用fminuncfminunc和和 fminsearchfminsearch可能会得到局部最优解可能会得到局部最优解. .说明说明: :fminsearchfminsearch是用单纯形法寻优是用单纯形法寻优. fminunc. fminunc的算法见以下几点说明：的算法见以下几点说明：1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：LargeScale=on(默认值),使用大型算法LargeSca

21、le=off(默认值),使用中型算法2 fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由 options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=bfgs（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate=dfp，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法例例3 3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1) 1 1、编写、编写M-M-文件文件 fun1.m:fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2

22、)+2*x(2)+1); 2 2、输入、输入M M文件文件myprg3.mmyprg3.m如下如下: : x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x) 3 3、运行结果、运行结果: : x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-102. 画出画出Rosenbrock 函数的等高线图函数的等高线图,输入命令：输入命令： contour(x,y,z,20) hold on plot(-1.2,2, o ); text(-1.2,2,start point) plot(1,1,o) text(1,1,solution)3.3.用用fminsea

23、rchfminsearch函数求解函数求解输入命令: f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2; x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, -1.2 2)运行结果: x =1.0000 1.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1output = iterations: 108 funcCount: 202 algorithm: Nelder-Mead simplex direct search4.4. 用用fminunc fminunc 函数函数(1)建立M-文件fun1.m function f=fun1(x) f=

24、100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2(2)求解主程序 oldoptions=optimset(fminunc) options=optimset(oldoptions,LargeScale,off) options11=optimset(options,HessUpdate,dfp)x11,fval11,exitflag11,output11=fminunc(fun1, -1.2 2,options11) Rosenbrock Rosenbrock函数不同算法的计算结果函数不同算法的计算结果可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.

25、实验作业实验作业数学实验数学实验非线性规划非线性规划 电子科技大学应用数学学院电子科技大学应用数学学院实验目的实验目的实验内容实验内容2、掌握用数学软件求解优化问题。、掌握用数学软件求解优化问题。1、直观了解非线性规划的基本内容。、直观了解非线性规划的基本内容。1 1、非线性规划的基本理论。、非线性规划的基本理论。3 3、实验作业。、实验作业。2、用数学软件求解非线性规划。、用数学软件求解非线性规划。非线性规划的基本概念非线性规划的基本概念非线性规划非线性规划 定义定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题非线性规划问题非现性规划的基本概念非现性规划

26、的基本概念 一般形式一般形式: （1） 其中 ， 是定义在 En 上的实值函数，简记: 其它情况其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式 定义定义1 1 把满足问题（1）中条件的解 称为可行解可行解（或可行（或可行点点），），所有可行点的集合称为可行集可行集（或（或可行域可行域）记为D即 问题(1)可简记为 定义定义2 2 对于问题(1)，设 ，若存在 ,使得对一切 ，且 ，都有 ，则称X*是f(X)在D上的局部极小值点局部极小值点（局部最优解局部最优解）特别地当 时，若 ，则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点严格局部极小值点（严格局

27、部最优解严格局部最优解）定义定义3 3 对于问题(1),设 ,对任意的 ,都有 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点全局极小值点（全局最优解全局最优解）特别地当 时，若 ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点严格全局极小值点（严格全局最优解严格全局最优解） 罚函数法罚函数法 罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法序列无约束最小化方法简称为SUMTSUMT法法 其一为SUMTSUMT外点法外点法，其二为SUMTSUMT内点法内点法 其中T(X,M)称为罚函数罚函数，M称为罚因子罚因子，带

28、M的项称为罚项罚项，这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当 时，满足各 ，故罚项=0，不受惩罚当 时，必有 的约束条件，故罚项0，要受惩罚SUTMSUTM外点法外点法 罚函数法的缺点缺点是：每个近似最优解Xk往往不是容许解，而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大，可能导致错误1、任意给定初始点X0，取M11，给定允许误差 ，令k=1；2、求无约束极值问题 的最优解，设为Xk=X(Mk)，即 ；3、若存在 ，使 ，则取MkM( )令k=k+1返回（2），否则，停止迭代得最优解 .计算时也可将收敛性判别准则 改为 .

29、SUTM SUTM外点法外点法(罚函数法)的迭代步骤迭代步骤SUTMSUTM内点法（内点法（障碍函数法） 内点法的迭代步骤内点法的迭代步骤用MATLAB软件求解,其输入格式输入格式如下: 1. x=quadprog(H,C,A,b); 2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6. x,fval=qu

30、aprog(.); 7. x,fval,exitflag=quaprog(.); 8. x,fval,exitflag,output=quaprog(.);1、二次规划、二次规划例例1 1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x22 -x1+2x22 x10, x20 1、写成标准形式写成标准形式： 2、 输入命令输入命令： H=1 -1; -1 2; c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2; Aeq=;beq=; VLB=0;0;VUB=; x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、运算结

31、果运算结果为： x =0.6667 1.3333 z = -8.2222s.t. 1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:function f=fun(X);f=F(X);2、一般非线性规划、一般非线性规划 其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fminco

32、n(fun,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon)(5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon(.) (7) x,fval,exitflag= fmincon(.) (8)x,fval,exitflag,output= fmincon(.)输出极值点M文件迭代的初值参数说明变量上下限注意：注意：1 fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了

33、梯度（options参数的GradObj设置为on），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。2 fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。3 fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。1、写成标准形式写成标准形式： s.t. 2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0例例22、先建立先建立M-文件文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/

34、2)*x(1)2+(1/2)*x(2)23、再建立主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0;0; VUB=; x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、运算结果为：运算结果为： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.02941先建立先建立M文件文件 fun4.m,定义目标函数定义目标函数: function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); x1+x2=0 s.t. 1

35、.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0例例32再建立再建立M文件文件mycon.m定义非线性约束：定义非线性约束： function g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;3主程序为主程序为:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon)3. 运算结果为运算结果为： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.8951 例4 1先建立先建立M-

36、文件文件fun.m定义目标函数定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);2再建立再建立M文件文件mycon2.m定义非线性约束：定义非线性约束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;3. 主程序主程序fxx.m为为: x0=3;2.5; VLB=0 0;VUB=5 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2)4. 运算结果为运算结果为: x = 4.0000 3.0000fval =-11.0000exitflag = 1output = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: 练习练习结束结束