二章节静电场

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1、第二章第二章 静电场静电场本章重点：本章重点：本章难点：本章难点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法静电势及其特性、分离变量法、镜象法分离变量法（柱坐标）、电多极子分离变量法（柱坐标）、电多极子第二章静静 电电 场场静静电场的基本特点的基本特点： l 边值关系：关系： 等均与时间无关等均与时间无关 （ ， 为唯一解）唯一解） l 不考虑永久磁体（不考虑永久磁体（） l 基本方程：基本方程：l介介质分界面上的束分界面上的束缚电荷：荷： l 电磁性磁性质方程：方程： 静静电平衡平衡时的的导体：体： 导体内导体内外表面外表面 电荷分布在表面上，电电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面场处处垂直于导

2、体表面 均匀各向同性均匀各向同性线性介性介质：2.1 静电势及其微分方程静电势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系 三静电场的能量本节主要内容本节主要内容1 1静静电势的引入的引入一、静电场的标势静电场标势简称电势 取取负号是号是为了与了与电磁学磁学讨论一致一致 满足迭加原理足迭加原理 的的选择不唯一，相差一个常数，只要不唯一，相差一个常数，只要 即可确定即可确定 知道知道2 2、电势差差 空间某点电势无物空间某点电势无物理意义，两点间理意义，两点间电电势差才有意义势差才有意义电势差为电场力将电势差为电场力将单位正电荷单位正电荷从从P移移到到Q点所作功负值点所作功负值 电

3、场力作正功，电势下降电场力作正功，电势下降 电场力作力作负功，功，电势上升上升 两点两点电势差与作功的路径无关差与作功的路径无关 等势面：电势处处相等的曲面等势面：电势处处相等的曲面 与等与等势面垂直，即面垂直，即 点电荷电场点电荷电场线与等势面线与等势面+电偶极子的电场线与等势面电偶极子的电场线与等势面均匀场电场线与等势面均匀场电场线与等势面l 参考点参考点 通常选无穷远为电势通常选无穷远为电势参考点参考点 （1）电荷分布在有限区域，荷分布在有限区域，P P点点电势为将将单位正位正电荷从电荷从P P移到移到电场电场力所做的功。力所做的功。（2 2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考）电荷

4、分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点，否点，否则积分将无分将无穷大。大。 3、电荷分布在有限区几种情况的荷分布在有限区几种情况的电势 （1）点点电荷荷 （2 2）电荷组）电荷组Qf 产生的生的电势 产生的生的电势 （3）无限大均匀无限大均匀线性介性介质中点中点电荷荷 点电荷在均匀介质中点电荷在均匀介质中的空间电势分布（的空间电势分布（Q Q 为自由电荷）为自由电荷） （4 4）连续分布电荷）连续分布电荷 二、静电势的微分方程和边值关系静电势的微分方程和边值关系 1.电势电势满足的方程足的方程 适用于均适用于均 匀匀介质介质l 泊松方程泊松方程l 导出出过程程 l 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 适

5、用于适用于无自无自由电荷分布由电荷分布 的的均匀均匀介质介质2 2静电势的边值关系静电势的边值关系 (1) (1) 两介质分界面两介质分界面0 P Q由由于于导导体体表表面面为为等等势势面面，因因此此在在导导体体表表面面上上电电势势为为一一常常数数。将将介介质质情情况况下下的的边边值值关关系系用用到到介介质质与与导导体体的的分分界界面面上上，并并考考虑虑导导体体内内部部电电场场为为零零，则则可可以以得得到到第第二二个个边边值值关系。关系。 （2 2）导体表面上的边值关系）导体表面上的边值关系三静电场的能量三静电场的能量1. 一般方程：一般方程： 能量密度能量密度 2. 若已知若已知 总能量能量

6、为 不是能量密度不是能量密度 总能量能量 仅讨论均匀介质仅讨论均匀介质 导出出过程：程： 该公式只适合于静公式只适合于静电场情况情况。能量不能量不仅分布在分布在电荷区，而荷区，而 且存在于整个且存在于整个场中。中。 解：均匀解：均匀电场可看作由两无限大可看作由两无限大平行板平行板组成的成的电容器容器产生的生的电场。电场。因为电荷分布在无穷区域，可选因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势坐标原点电势 四、例题 1.1.求均匀电场求均匀电场 的电势的电势 x y z P R P zxy -Q-QQ Q2.2. 电偶极子偶极子产生的生的电势解

7、：解：电偶极子：偶极子： 两个相距两个相距为 的同量异号点的同量异号点电荷构成的荷构成的 系统系统偶极矩偶极矩 P点电势点电势： （无（无穷远为零点）零点） 同理同理 平面平面为等等势面（面（Z = 0的平面）。的平面）。 求求近似近似值：若电偶极子放在均匀介质若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：中（无限大介质）： 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 ，而，而用真空中的用真空中的 。这由由 决定。决定。 均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与荷附近，介质中

8、电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷，束缚电荷，3. 5656页例例2 2 （自学）（自学）4 4带电Q Q的的导体球（半径体球（半径为a a）产生的生的电势。电荷分布在有限区，参荷分布在有限区，参考点考点选在无在无穷远。根据。根据对称性，称性，导体体产生的生的场具有球具有球对称性，称性，电势也也应具有球具有球对称性称性。当考当考虑较远处场时，导体球体球可可视为点点电荷荷。 满足足 aQP此此题也可用高斯定理（也可用高斯定理（积分形式）求解。分形式）求解。 = = 第二章第二节第二章第二节唯一性定理唯一性定理2.2 2.2 唯一性定

9、理唯一性定理1、泊松方程和边界条件、泊松方程和边界条件二、唯一性定理的内容二、唯一性定理的内容三、唯一性定理的意义三、唯一性定理的意义主要内容主要内容1、泊松方程和边界条件 假假定定所所研研究究的的区区域域为V V，在在一一般般情情况况下下V V内内可可以以有有多多种种介介质或或导体体，对于于每每一一种种介介质自自身身是是均均匀匀线性各向同性。性各向同性。 设V V内所求内所求电势为 ，它，它们满足泊松方程足泊松方程 两类边界条件：两类边界条件： 边界边界S S上，上，为已知，若为为已知，若为导体导体= =常数。常数。 边界边界S S上，上， 为已知，为已知， 给定（定（ ） 定总电荷定总电荷

10、Q Q。它相当于。它相当于若是导体要给若是导体要给内内边界条件界条件为为边值关系关系注注：在在实际问题中中，因因为导体体内内场强强为零零，可可以以不不包包含含在在所所求求区区域域V内内。导体体面面上上的的边界界条条件件可可视为视为外外边界条件。界条件。 ：V内内两两介介质分分界界面面上上自自由由电荷荷为零零二、唯一性定理二、唯一性定理1均匀均匀单一介一介质 电场）唯一确定。电场）唯一确定。分布已知，分布已知， 满足足 若若V边界上界上 已知，或已知，或V V边界上边界上 已知，则已知，则 V V 内场（内场（ 静静 区域内区域内证明：证明： 假定泊松方程有两个解假定泊松方程有两个解 ，有有 在

11、在边界上界上 令令 由格林第一公式由格林第一公式 令令 则 由于由于 积分分为零必然零必然有有 常数常数 见课本见课本8181页页（1）若）若给定的是第一定的是第一类边值关系关系 即即常数常数为零零。 电场唯一确定且唯一确定且 电势也是唯一确定的。电势也是唯一确定的。虽不唯一，但电场不唯一，但电场（2）若）若给定的是第二定的是第二类边值关系关系 常数常数， 相差一个常数，相差一个常数， 是唯一确定的。是唯一确定的。 2. 介介质分区均匀（不包含分区均匀（不包含导体）体） 已知，已知， 成立，成立，给定区域定区域 或或 。在分界面上，在分界面上， 或或 V 内内（证明见书（证明见书P60）sv区

12、域区域V V内电场唯一确定内电场唯一确定3. 均匀均匀单一介一介质中有中有导体（体（证明明见教材）教材） Q2 Q1 SS1 S2 V（或（或 Q1、Q2 ）为已知，已知，则区域区域 V 已知已知， 或或、内电场唯一确定。内电场唯一确定。当当，求求 内的内的电势电势。导体中导体中三、唯一性定理的意义2.更重要的是它具有十分重要的更重要的是它具有十分重要的实用价用价值。无。无论采用什么方法得到解，只要采用什么方法得到解，只要该解解满足泊松方程足泊松方程和和给定定边界条件，界条件，则该解就是唯一的正确解。解就是唯一的正确解。因此因此对于于许多具有多具有对称性的称性的问题，可以不必用，可以不必用繁繁

13、杂的数学去求解泊松方程，而是的数学去求解泊松方程，而是通过通过提出提出尝试解，解，然后验证是否然后验证是否满足方程和足方程和边界条件界条件。满。满足足即即为唯一唯一解，若不解，若不满足，可以加以修改足，可以加以修改。 1. 唯一性定理唯一性定理给出了确定静出了确定静电场的条件，的条件，为求求电 场强度度指明了方向。指明了方向。四、应用举例1. 半半径径为为a的的导导体体球球壳壳接接地地 壳壳内内中中心心放放置置一一个个点点电电荷荷 Q，求求壳内场强。壳内场强。解：点电荷解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地放在球心处，壳接地 因而腔内因而腔内场唯一确定。唯一确定。 Q不不满足足 已知已知点点电荷荷

14、产生的生的电势为 但但它在它在边界上界上要使要使边界上任何一点界上任何一点电势为0 ， 设 它它满足足 根据唯一性定理，它是腔内的根据唯一性定理，它是腔内的唯一唯一解解。 可见腔内场与腔外电荷可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷无关，只与腔内电荷Q有关。有关。 解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 假定电场也具有球对称性，则电势坐标与假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 无关。无关。 因因电荷分布在有限区，外荷分布在有限区，外边界条件界条件 导体表面体表面电荷荷Q已知，已知，电电场唯一确定。唯一确定。设 满足足 ， 2. 带电荷荷Q 的

15、半径的半径为a a 的的导体球放在均匀无限大介体球放在均匀无限大介 质中，求空中，求空间电势分布。分布。 在在导体体边界上界上 3两种均匀介两种均匀介质（ 和和 ） 充充满空空间，一，一半半 径径 a 的的带电Q导体球放体球放 在介在介质分界面上（球心分界面上（球心 在界面上），求空在界面上），求空间电 势分布。分布。Q利用利用 场对称场对称 对称性分析：称性分析：场仍对称！场仍对称！ 在两介质分界面上：在两介质分界面上：束束缚电荷只分布在荷只分布在导体与体与介介质分界面上。分界面上。对于上半于上半个空个空间，介，介质均匀极化，均匀极化，场具有具有对称性，同称性，同样下半下半空空间也具有也具有

16、对称性。而在称性。而在介介质分界面上分界面上 ，所以可考虑球外所以可考虑球外电场仍具电场仍具有球对称性。有球对称性。 试 探探 解解 QPS2 S1 给定，所以球外场唯一确定。给定，所以球外场唯一确定。 解：解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区外边界为无穷远，电荷分布在有限区 导体上导体上Q确定常数确定常数 在介质分界面上在介质分界面上 下半空间下半空间 上半空上半空间 导体球面上面体球面上面电荷分布：荷分布： 下半球面上均匀分布下半球面上均匀分布 上半球面上均匀分布上半球面上均匀分布 束缚电荷分布束缚电荷分布：其他实例：其他实例：Q左半空左半空间电势间电势？Q球壳外球壳外空间电空间电势？势？

17、第二章第三节第二章第三节分离变量法分离变量法2. 3 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 分离变量法分离变量法1、分离变量法的适用条件、分离变量法的适用条件四、应用实例（习题课）四、应用实例（习题课）三、解题步骤三、解题步骤二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式1 1、空、空间 ，自由，自由电荷只分布在某些介荷只分布在某些介质（或（或导 体）表面上，将体）表面上，将这些表面些表面视为区域区域边界，界， 可用可用 拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的适用条件一、拉普拉斯方程的适用条件2 2、在所求区域的介、在所求区域的介质中若有自由中若有自由电荷分布，荷

18、分布，则要求要求 自由自由电荷分布在真空中荷分布在真空中产生的生的势为已知。已知。 一一般般所所求求区区域域为为分分区区均均匀匀介介质质，则则不不同同介介质质分分界界面面上上有有束束缚缚面面电电荷荷。区区域域V V中中电电势势可可表表示示为为两两部部分分的的和和，即即 ， 为已已知知自自由由电荷荷产生生的的电势， 不不满满足足 ， 为为束束缚缚电电荷荷产产生生的的电势，满足拉普拉斯方程电势，满足拉普拉斯方程但注意，边值关系还要用但注意，边值关系还要用 而不能用而不能用二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1、直角坐、直角坐标 （1）令令 令令（2 2）若若

19、 （3 3）若）若 ，与与 无关。无关。 注注意意：在在（1 1）、（2）两两种种情情况况中中若若考考虑了了某某些些边界界条条件件， 将将与与某某些些正正整整数数有有关关，它它们可可取取1，2，3， ，只有，只有对它它们取和后才得到通解。取和后才得到通解。2. 柱坐柱坐标 讨论 ，令令 有两个有两个线性无关解性无关解 、单值性要求性要求 ， 只能取整数，令只能取整数，令 若若， 3球坐球坐标 缔合勒合勒让德函数（德函数（连带勒勒让德函数）德函数） l 若若 不依赖于不依赖于 ，即，即 具有具有轴对称性称性，通解通解为为 -为勒勒让德函数德函数 l 若若 与与 均无关，均无关， 具有球对称性，具

20、有球对称性， 通解：通解：三解题步骤三解题步骤3. 根据具体条件确定常数根据具体条件确定常数1.选择坐标系和电势参考点选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；考点主要根据电荷分布是有限还是无限；2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解；坐标系中的通解；（1）外）外边界条件：界条件： 电荷分布有限荷分布有限 注注意意：边界界条条件件和和边值关关系系是是相相对的的。导体体边界界可可视为外外边界界，给定定 （接接地地 ），或或给定定总电荷荷 Q，或，

21、或给定定 。电荷分布无限，荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如电势参考点一般选在有限区。如 （直角坐（直角坐标或柱坐或柱坐标），），电势可可选在坐在坐标原点。原点。 均匀场中，均匀场中，（2）内部）内部边值关系：介关系：介质分界面上分界面上 一一般般讨论分分界界面面无无自自由由电荷的情况荷的情况 四应用举例四应用举例1、两无限大平行两无限大平行导体板，相距体板，相距为 ，两板，两板间电势电势 差为差为V (与与 无关无关)，一板接地，求，一板接地，求两板间的两板间的 电势电势 和和 。xyOVZ Z解：（解：（1）边界界为平面，故平面，故应选直角坐直角坐标系系 下板下板 ，设为设为参考点参

22、考点 （2）定性分析：）定性分析：因因在在 （常数常数），可考，可考虑 与与 无关。无关。 (4) 定常数：定常数： (5) 电场为均匀均匀场 常数常数 电势：电势：(3) 列出方程并给出解：列出方程并给出解： 方程的解：方程的解： 2. 一对接地半无限大平板，相距为一对接地半无限大平板，相距为 ，左端有，左端有一极一极板电势为板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。（常数），求两平行板之间的电势。x y z V解解：（1）边界界为平平面面，选直直角角坐坐标系系；上上、下下两两平平板板接接地地，取取为参参考考点点；且当且当 （2 2） 轴平行于平板，且平行于平板，且 与与 无关，可无关，可

23、设 （3 3）确定常数）确定常数 A A，B B，C C，D D，k k 通解通解 两两边同乘同乘 并从并从0 b0 b积分：积分： （m = 奇数）奇数） （m = 偶数）偶数） 令令 3.3.半径半径 a a，带有均匀电荷分布，带有均匀电荷分布 的无限的无限长圆柱柱导体，体， 求导体柱外空间的电势和电场。求导体柱外空间的电势和电场。解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面选在导体面 r = a r = a 处，即处，即 选柱坐标系。选柱坐标系。对称性分析：对称性分析： 导体体为圆柱，柱上柱，柱上电荷均匀荷均匀分布，分

24、布， 一定与一定与 无关。无关。 柱外无柱外无电荷，荷，电场线从面上从面上发出后，不会出后，不会终止到面上，只止到面上，只能能终止到无止到无穷远，且在，且在导体面体面上上电场只沿只沿 方向，可方向，可认为与与z无关，无关， x y zo r 当当 r = a 时， 在在导体面上体面上 补补充充题题11长长方方形形盒盒的的长长为为A A、宽宽为为B B、高高为为C C，上上盖盖电电位位为为 ，其其余余接地，接地，求盒内的电位分布。求盒内的电位分布。 CAB 补补充充题题22无穷长导体圆筒，半径为a，厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片，相互绝缘。其中的一半的电位为 ，另一半电位为 ，求圆筒内

25、的电位分布。4一半径为一半径为 a，介电常数为，介电常数为 的无的无 限长电介质限长电介质圆柱，柱轴沿圆柱，柱轴沿 方方 向，向， 方向上有一方向上有一外加均匀电外加均匀电 场场 ，求空间电势分布和柱面，求空间电势分布和柱面 上的束缚电荷分布。上的束缚电荷分布。 解解：(1)(1)边边界界为为柱柱面面, ,选选柱柱坐坐标标系系。均均匀匀场场电电势势在在无无穷穷远远处处不不为为零零，故故参参考考点点选选在在有有限限区区域域，例例如如可可选选在在坐标原点坐标原点常数（或常数（或0） x yz O( (2) 2) 考虑对称性电势与考虑对称性电势与z z无关，设柱内电势为无关，设柱内电势为 ，柱外为，

26、柱外为 它它们分别满足们分别满足 , , 。通解为：。通解为： ( (3) 3) 确定常数确定常数 因为有外加均匀场，它们对因为有外加均匀场，它们对x x轴对称，可考虑轴对称，可考虑 、 也也 相相对x轴对称（称（ 为偶函数），所以偶函数），所以 中不中不应包包 含含 项，故：，故：、 均为零。均为零。 常数（或零），有限，故常数（或零），有限，故中不中不应有有 项 。 （均匀（均匀场电势），）， 中不中不含含 项），得），得 （因此因此 时， 两两边 为任意任意值， 前系数前系数应相等（相等（ ）（4 4）解为）解为 （5）求柱内）求柱内电场： 仍沿仍沿x方向方向 Z（6）柱面上束）柱面上束

27、缚面面电荷分布荷分布 （7 7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令 5 5如如图图所所示示的的导导体体球球（带带电电Q Q）和和不不带带电电荷荷的的导导体体球球壳壳，用用分分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。 解解：( (1)1)边边界界为为球球形形，选选球球坐坐标标系系，电荷分布在有限区，选电荷分布在有限区，选 若若将将Q Q移移到到壳壳上上，球球接接地地为为书书中中P64P64例题例题 （2 2）设球壳内为）设球壳内为I I区区，壳外为壳外为IIII区区。 球壳内球壳内:

28、:球壳外球壳外 电荷在球上均匀分布，荷在球上均匀分布，场有球有球对称称性，性， 与与 无关无关 I IIIII（3 3）确定常数）确定常数 导体壳体壳为等等势体体 在在导体壳上体壳上 （4） （5）球壳上的感）球壳上的感应电荷荷 壳外面壳外面 壳内面壳内面 以上结果均与高斯定理求解一致。以上结果均与高斯定理求解一致。R0 z 6 6均均匀匀介介质质球球（介介电电常常数数为为 ）的的中中心心置置一一自自由由电电偶偶极极子子 ，球球外外充充满满另另一一种种介介质质（介介电电常常数数为为 ），求求空空间间各各点点电电势势和和束束缚缚电电荷荷分分布。布。解解: (1) 与与 的的边界界为球面，故球面，

29、故选球坐球坐标系，系，电荷分布在有限区，电荷分布在有限区，选选(2)设球球内内电势为 ，球球外外电势为 , ,球球外外无无自自由由电荷荷分分布布，电势满足足 。但但球球内内有有自自由由偶偶极极子子，不不满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程，但但满足足泊泊松松方方程程。考考虑偶偶极极子子使使介介质极极化化，极极化化电荷荷分分布布在在偶偶极子附近和球面上。自由偶极子在介极子附近和球面上。自由偶极子在介质中中产生的生的电势所以所以 满足足 还可可设 为简单令令 考考虑轴对称称： （3）确定常数）确定常数 R0， 有限有限 R 边值关系关系 并注意到并注意到 比比较 的系数，得的系数，得 （4）电势解解为

30、（5）球面上束）球面上束缚（极化）（极化）电荷分布荷分布 补充题3 一一半半径径为R0的的球球面面，给定定球球面面上上任任意意一一点点 P 的的电势 ， 为常常数数，求面内外的求面内外的电势分布。分布。R0 PO答案：答案：注意：注意：答案：答案：作业：作业： 1 1、2 2、4 4、5 5 补充题补充题 3 3、4 4 选作：选作：6 6 * *、补充题、补充题 1 1、2 2补充充题4 有有一一半半径径为 a 的的无无限限长圆柱柱导体体，柱柱轴沿沿 方方向向，沿沿 方方向向上上有有一一外外加加均均匀匀电场 ，求求空空间电势分分布布（球球外外为真真空空）和和面面电荷分布荷分布（令柱面（令柱面

31、处电势为零）。零）。x yz O第二章第四节第二章第四节镜镜 象象 法法2.4 镜 象 法重点掌握：重点掌握： 1、镜象法的基本概念、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法、求解电势的基本方法1. 求解泊松方程的求解泊松方程的难度度 1、电象法的概念和适用条件 一一般般静静电电问问题题可可以以通通过过求求解解泊泊松松方方程程或或拉拉普普拉拉斯斯方方程程得得到到电电场场。但但是是，在在许许多多情情况况下下非非常常困困难难。例例如如，对对于于介介质质中中、导导体体外外存存在在点点电电荷荷的的情情况况虽虽然然可可以以采采用用叠叠加加法法求求解解，但但是是求求解解比比较较困困难难。求求解解的的困困难

32、难主主要要是是介介质质分分界界面面或或导导体体表表面面上上的的电电荷荷一一般般非非均均匀匀分分布布的的，造造成成电电场场缺缺乏对称性。乏对称性。 QQ2. 以唯一性定理为依据以唯一性定理为依据 在在唯唯一一性性定定理理保保证证下下，采采用用试试探探解解，只只要要保保证证解解满满足足泊泊松松方程及边界条件即是正确解。方程及边界条件即是正确解。 特特别别是是对对于于只只有有几几个个自自由由点点电电荷荷时时，可可以以将将导导体体面面上上感感应应电电荷荷分分布布等等效效地地看看作作一一个个或或几几个点电荷来给出尝试解。个点电荷来给出尝试解。 3. 电象法概念、适用情况电象法概念、适用情况电象法：电象法

33、： 用用假假想想点点电电荷荷来来等等效效地地代代替替导导体体边边界界面面上上的的面面电电荷荷分分布布，然然后后用用空空间间点点电电荷荷和和等等效效点点电电荷荷迭迭加给出空间电势分布。加给出空间电势分布。适用情况：适用情况： a)所所求求区区域域有有少少许许几几个个点点电电荷荷，它它产产生生的的感感应应电电荷荷一一般般可可以以用用假想点电荷代替。假想点电荷代替。 b)导导体体边边界界面面形形状状比比较较规规则则，具具有一定对称性。有一定对称性。 c) 给定边界条件给定边界条件注意注意： a a）做替代）做替代时，所研究空，所研究空间的泊松方程不能被改的泊松方程不能被改变（即自由（即自由 点点电荷

34、位置、荷位置、Q Q 大小不能大小不能变）。所以假想）。所以假想电荷必荷必须放在放在 所求区域之外。所求区域之外。 b b）不能改）不能改变原有原有边界条件（界条件（实际是通是通过边界条件来确定假界条件来确定假 想想电荷的大小和位置）。荷的大小和位置）。 c c）一旦用了假想（等效）一旦用了假想（等效）电荷，不再考荷，不再考虑原来的原来的电荷分布。荷分布。 d d）坐）坐标系系选择仍然根据仍然根据边界形状来定。界形状来定。4. 格林等效格林等效层定理（不定理（不证明）明）* （1）等等势势面面包包围围的的体体积积V内内的的电电荷荷在在V外外产产生生的的电电势势与与在在此此等等势势面面上上置置一

35、一导导体体面面，并并将将V内内电电荷荷都都搬搬到到导导体体上上所所产产生的电势完全一样。生的电势完全一样。 （2）相相反反，带电导体体所所产生生的的电势也也可可以以用用导体体面面内内一一定定等等效效电荷荷分分布布来来代代替替，只只要要它它产生生与与导体体表表面面完完全全重重合的等合的等势面。面。 等等势面面 VQP导体面导体面 QPQQ 四、应用举例 1.接地无限大平面导体板附近有接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。一点电荷，求空间电势。Q Q/ Pz 解：解：根据唯一性定理根据唯一性定理左半空左半空间 右半空右半空间，Q在（在（0，0，a）点，）点， 电势满足泊松方程。电势满足泊

36、松方程。边界界上上 从物理从物理问题的的对称性和称性和边界条件考界条件考虑，假想，假想电荷荷应在左在左半空半空间 z 轴上。上。 设电量量为 ，位置位置为（0，0， ） 由由边界条件确定界条件确定 和和 、 唯一解是唯一解是 因因为为象象电电荷荷在在左左半半空空间，所以舍去正号间，所以舍去正号 解解讨论：讨论：（a）导体面上感应电荷分布）导体面上感应电荷分布（b）电荷荷Q 产生的生的电场的的电力力线全部全部终止在止在导体面上体面上 它与无它与无导体体时，两个等量异号，两个等量异号电荷荷产生的生的电场在在 右半右半空间完全空间完全相同。相同。 （c） 与与 位置位置对于于导体板体板镜象象对称，故

37、称，故这种方法称种方法称 为镜象法（又称象法（又称电象法）象法）（d）导体对电荷）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力的作用力相当两点电荷间的作用力解：（解：（1）分析：）分析： 因因导体体球球接接地地故故球球的的电电势势为为零零。根根据据镜镜象象法法原原则则假假想想电荷荷应在在球球内内。因因空空间间只只有有两两个个点点电荷荷，场场应具具有有轴对称称，故故假假想想电荷荷应在在线上上，即即极极轴上上。 2.真空中有一半径真空中有一半径R0的接地的接地导体球，距球心体球，距球心 a R0 处有一点有一点电荷荷 Q，求空，求空间各点各点电势。 球坐标系球坐标系 PRO Z（2）由）由边界条件

38、确定界条件确定 和和 设 因因 任意的任意的解得解得 ，因此因此Q发出的出的电力力线一部分会聚到一部分会聚到导体球面上，剩余体球面上，剩余传到无到无穷远。 球面感球面感应电荷分布荷分布 （3）讨论： 导体球接地后，感体球接地后，感应电荷荷总量不量不为零，可零，可认为电荷电荷 移到地中去了。移到地中去了。（4 4）若若导导体体不不接接地地，可可视视为为 分分布布在在导导体体面面上上。不不接接地地导导体体已已为为等等势势体体，加加上上 还还要要使使导导体体为为等等势势体体， 必必须均匀分布须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量在球面上。这时导体球上总电量 （因因为为均均匀匀分分布布球球面面上上可可

39、使使导导体体产产生生的的电电势势等等效效于于在在球球心的点电荷产生的电势）。心的点电荷产生的电势）。 （5 5）若若导导体体球球不不接接地地，且且带带上上自自由由电电荷荷 ，导导体体上上总总电电荷荷为为 ，此此时时要要保保持持导导体体为为等等势势体体， 也也应应均均匀匀分分布布在在球面上。球面上。 等效等效电荷一般是一个点荷一般是一个点电荷荷组或或一个一个带电体系，而不一定就是一体系，而不一定就是一个点个点电荷荷。（6）导体体球球不不接接地地而而带自自由由电荷荷 时 所所受受到到的的作用作用力可以看作力可以看作 与与 及及位于球心位于球心处的等效的等效电荷荷 的作用力之和。的作用力之和。设 ，

40、 ，第第一一项为排排斥斥力力，第第二二项为吸引力（与吸引力（与 无关，与无关，与 正正负无关）。当无关）。当 时，F 0 ，即即正正电荷荷与与带正正电导体体球球在在靠靠的的很很近近时会出会出现相互吸引。相互吸引。3有有一一点点电荷荷 位位于于两两个个互互相相垂垂直直的的半半无无限限大大接接地地导体体板板所所围成成的的直直角角空空间内内，它它到到两两个个平平面面的的距离距离为 a 和和 b，求空，求空间的的电势。 假想假想电荷荷应在第在第 I 象限之外。象限之外。 要保要保证互相垂直互相垂直的两个接地的两个接地导体板体板的的电势同同时为零，零，应当放几个当放几个电荷？荷？ 解：（解：（1）分析：

41、）分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）S2 S1 Q（2）电势分布分布 放放在在 处用用镜象象法法求求解解的的条条件是什么？件是什么？ （3）若两平面）若两平面夹角角 象电荷数象电荷数4 4另外几种容易求解又常见的情况：另外几种容易求解又常见的情况： 作业作业 8、9、11、 2.5 2.5 格林函数方法格林函数方法三、用格林函数求解一般的边值问题一、点电荷密度的函数表示二、格林函数内容提要内容提要本本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点它与点电荷解荷解的的边值相关，但可以解静相关，但可以

42、解静电学的学的许多多边值问题。 设设V V内电荷分布内电荷分布 已知，已知， 第一边值问题第一边值问题 给定定V边界界S上的各点上的各点电势 或或给定定边界界S上法向分量上法向分量 第二第二边值问题求求V内各点内各点电势值。本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。要的工具。一、点电荷密度的函数表示1. 处于于 点上的点上的单位点位点电荷的密度荷的密度 一般 2常用公式常用公式 点电荷的泊松方程：设电势为 单位点电荷产生的电势 空间区域

43、V上的边界条件 或 常数 格林函数的对称性 （偶函数） 对于静电场的点电荷问题 称为静电场的格林函数 （ 或 常数） 只对 微商。2. 格林函数上单位点电荷在无穷空间中激发的电势 （1）无界空）无界空间中的格林函数中的格林函数 的距离 到 球坐标中 （偶函数）显然满足点电荷泊松方程。 （2）上半空）上半空间的格林函数的格林函数 （3）球外空）球外空间的格林函数的格林函数 设点电荷Q = 1 坐标为 观察点为 （ 相当于题中的 a ） 设假想点电荷在 ，它的坐标为 （它在 连线上，题中b对应这里的 ） 三、用格林函数求解一般的边值问题相应格林函数问题：V内 点上有单位点电荷， ， 给定，求V内

44、。 满足 （真空情况） 解为 边界上1. 第一第一类边值问题求解的格林方法求解的格林方法（1）V内有电荷分布（2）二者的联系由格林第二公式给出 满足泊松方程，为V内电势 设（为讨论方便 与 互换） 为格林函数 只要知道相应问题的 和 即可得到 2第二第二类边值问题解的格林函数方法解的格林函数方法 ，S上上 给定，定， （1）V内有电荷分布内有电荷分布 求V内相应格林函数问题 在S上） 常数（ （2） 只要知道 和 ，即可马上得到 （1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。3格林函数方法求解讨论 （2）格林函数方法也可

45、用来解拉普拉斯方程的边值问题。由 第一第一类边值问题 第二第二类边值问题 第二章第六节第二章第六节电多极矩电多极矩2.6 2.6 电多极矩电多极矩 二、电多极矩一、电势的多极展开 三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)主要内容主要内容一、电势的多极展开 1. 小区域电荷分布小区域电荷分布若已知若已知 ，原原则上可通过则上可通过求求电势。 一一般般若若体体电电荷荷分分布布不不均均匀匀或或区区域域不不规规则则，积积分分十十分分困困难难（用计算机可数值求解）。（用计算机可数值求解）。 但是在许多实际情况中，电但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区荷分布区域的线度远小于该区域到场点的

46、距离，可以近似处域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件理，解析求解。条件 。P O(1) 一元函数的麦克一元函数的麦克劳林展开式（在坐林展开式（在坐标原点展开）原点展开） (2) 三元函数的麦克劳林展开三元函数的麦克劳林展开的麦克劳林展开的麦克劳林展开2.(3) 将将 在在 点展开点展开 其中其中3. 小区域小区域电荷分布荷分布产生的生的电势 电四极矩张量电四极矩张量电偶极矩矢量电偶极矩矢量二、电多极矩1. 展开式的物理意展开式的物理意义 等效于坐等效于坐标原点点原点点电荷荷产生的生的电势。因此小。因此小电荷体系在荷体系在电荷分布区荷分布区外外产生的生的电势在零在零级近近似下可似下可视为

47、将将电荷集中荷集中于原点于原点处产生的生的电势。 等效等效电偶极矩偶极矩 产生的生的电势。最。最简单的体系的体系为两个点两个点电荷荷产生的生的电势。 等等效效为体体系系电四四极极矩矩张量量产生生的的电势。最最简单的的体体系系为坐坐标原原点点附附近近（+ +，- -，+ +，- -）四四个个点点电荷荷产生的生的电势2. 电四极矩四极矩张量量重新定重新定义： *证明明： 它它不改不改变 ， 只有只有5个独立分量个独立分量 有有9个分量个分量 电四极矩有电四极矩有6个不同分量个不同分量电四极矩最简单体系举例：电四极矩最简单体系举例： 四个点四个点电荷在一直荷在一直线上按上按（+ +，- -，- -，

48、+ +）排列，可看作）排列，可看作一对正负电偶极子。一对正负电偶极子。 体系总体系总电荷、总电偶极矩为零电荷、总电偶极矩为零依定义依定义 其它分量均为零其它分量均为零zO R r+ r- P x+-+a-ab-b它与直接计算结果完全一致（它与直接计算结果完全一致（ ）： x+-yz作业：计算图示情况下的电四极矩张量作业：计算图示情况下的电四极矩张量 自学：教材页例题自学：教材页例题 四个点四个点电荷荷在在 x 轴轴四个点四个点电荷荷在在 y 轴轴x-y 平面平面x-z 平面平面y-z 平面平面电四极矩其它例子电四极矩其它例子 三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）1设外外场电势为 ，场中中

49、 电荷分布荷分布为 ，体系，体系 具有的具有的总能量能量为： 可可证明：明： z y x 因此因此： + 称为体系的相互作用能称为体系的相互作用能，或带电或带电体系在外场中的能量。体系在外场中的能量。 2带电体系体系为小区域小区域时相互作用能的展开相互作用能的展开将将 对电荷电荷 所在小区域所在小区域展开展开为麦克麦克劳林林级数数3相互作用能的意相互作用能的意义： 体系体系电荷集中在原点荷集中在原点时，在外，在外场中的能量；中的能量； 体系等效体系等效电偶极子在偶极子在外外场中的能量；中的能量； 体系等效体系等效电四极子在四极子在外外场中的能量。若中的能量。若外外场为均匀场场为均匀场 4. 带电体系在外体系在外场 中受到的力和力矩中受到的力和力矩 设设W为为带带电电体体系系在在外外场场中中的的静静电电势势能能，则则带带电电体体系系在在外外场场中受到的力中受到的力 （假定（假定Q不不变）以下仅讨论以下仅讨论 和和 力力： 相当于相当于带电体系集中在一点上体系集中在一点上点点电荷在外荷在外场中中受到的作用力受到的作用力若为均匀场若为均匀场 电偶极子只在非均匀场中受力。电偶极子只在非均匀场中受力。假定在外假定在外场作用下作用下 不不变，设 为 与与 之之间的的夹角，角，则 可可见即使均匀即使均匀场 ， 但但力矩：力矩：