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1、第二型线积分和面积分第二型线积分和面积分场的概念场的概念对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系1 曲面的分类曲面的分类:(1)(1)双侧曲面双侧曲面; ; (2)(2)单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系默比乌斯默比乌斯( Mbius,A.F. 17901868, 德国德国
2、 )2007年8月4南京航空航天大学 理学院 数学系莫比乌斯带莫比乌斯带(Mobius)典型典型单侧曲面单侧曲面:2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系小知识小知识-莫比乌斯传动带莫比乌斯传动带拓扑学专家创造出了许许多多迷人的物体德国数学家莫比乌拓扑学专家创造出了许许多多迷人的物体德国数学家莫比乌斯斯( Augustus ( Augustus MobiusMobius，17901790-1868)1868)所创造的莫比乌斯带，便是所创造的莫比乌斯带，便是其中之一其中之一 上图所示的带子是由一张纸条的两端粘接而成上图所示的带子是由一张纸条的两端粘接而成纸的一面成为带的内侧，而纸的另一面
3、则成为带的外侧纸的一面成为带的内侧，而纸的另一面则成为带的外侧如果一只蜘蛛想沿着纸带从外侧爬到内侧，那么它非得如果一只蜘蛛想沿着纸带从外侧爬到内侧，那么它非得设法跨越带的边缘不可设法跨越带的边缘不可2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系上面这张图所示的是莫比乌斯带，它也是由一张纸条两端粘接上面这张图所示的是莫比乌斯带，它也是由一张纸条两端粘接而成，不过，在粘接前扭转了一下现在，所得的纸带已不再而成，不过，在粘接前扭转了一下现在，所得的纸带已不再具有两面，它只有单面设想一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬，具有两面，它只有单面设想一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬，那么它能够爬遍整条带子而无须跨越带
4、的边缘要证实这一点，那么它能够爬遍整条带子而无须跨越带的边缘要证实这一点，只要拿一支铅笔，笔不离纸连续地画线那么，你将会经过整只要拿一支铅笔，笔不离纸连续地画线那么，你将会经过整条的带子，并返回你原先的起点条的带子，并返回你原先的起点2007年8月7南京航空航天大学 理学院 数学系莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放2007年8月8南京航空航天大学 理学院 数学系2 曲面侧的规定曲面侧的规定:曲面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月10
5、南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系思考题思考题2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答思考题解答此时此时 与与oz轴成钝角，取下侧；轴成钝角，取下侧；而而 与与oy轴成锐角，取右侧轴成锐角，取右侧;2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系3 3 曲面的投影问题曲面的投影问题: :2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系二、概念的引入二、概念的引入实例实例: : 流向曲面流向曲面一侧的流量一侧的流量. .2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月16南京航空航天大学 理学院 数学系S20
6、07年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系XYZO1. 分割分割2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系XYZO2.近似代替近似代替2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系3. 求和求和4.4.取极限取极限2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系三、三、对坐标的曲面积分的定义对坐标的曲面积分的定义定义定义 设设则称此极限为函数则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面在有向曲面上上对坐标对坐标 x, y 的曲面积分的曲面积分(也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分)2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可
7、定义2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系性质性质:2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系四、对坐标的曲面积分的计算四、对坐标的曲面积分的计算2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .2007年8月27南京航空航天大学 理学院 数学系解解2007年8月28南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月29南京航空航
8、天大学 理学院 数学系2007年8月30南京航空航天大学 理学院 数学系XYZ2007年8月31南京航空航天大学 理学院 数学系五、两类曲面积分之间的联系2007年8月32南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月33南京航空航天大学 理学院 数学系两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系2007年8月34南京航空航天大学 理学院 数学系向量形式向量形式2007年8月35南京航空航天大学 理学院 数学系例例3解解2007年8月36南京航空航天大学 理学院 数学系例例3解解2007年8月37南京航空航天大学 理学院 数学系六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”2007年8月38南京航空航天大学 理学院 数学系
