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1、一、一、 大数定律的一般形式大数定律的一般形式 设设Xn为随机变量序列为随机变量序列 , , 若对任给若对任给 0, 都有都有则称则称Xn服从大数定律服从大数定律. 大数定律大数定律是是主要研究在一定条件下大量随机变量平均结果的主要研究在一定条件下大量随机变量平均结果的主要研究在一定条件下大量随机变量平均结果的主要研究在一定条件下大量随机变量平均结果的稳定性及其成立条件的一系列定理稳定性及其成立条件的一系列定理稳定性及其成立条件的一系列定理稳定性及其成立条件的一系列定理. .4.3 大数定律大数定律二、几个常用的二、几个常用的 大数定律大数定律 定理定理1 (伯努里伯努里大数定律大数定律) 设
2、设 是是n次重复独立试验中次重复独立试验中事件事件A发生的次数发生的次数 , p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则在每次试验中发生的概率，则对于任意正数对于任意正数 0, 有有 证明证明 由于由于 , 所以有所以有则则 对于任意正数正数对于任意正数正数 0 ，由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式于是有于是有由夹挤定理得由夹挤定理得注意这里有注意这里有其中其中 第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生且且 即即 定理定理1表明：表明： 事件事件A在在n次重复独立试验中发生的频率，随次重复独立试验中发生的频率，随着试验次数着试验次数n的增加，依概率收敛于其每
3、次试验发的增加，依概率收敛于其每次试验发生的概率生的概率 p，即，即定理定理2 (切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律) 设设Xn为一列两两不相关的随机为一列两两不相关的随机变量序列，若每个变量序列，若每个 的方差都存在，且有公共的上界，即的方差都存在，且有公共的上界，即 则则Xn服从大数定律，即对任意正数服从大数定律，即对任意正数 0, 有有 证明证明 由于由于Xn两两不相关两两不相关 , 所以有所以有由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 , 有有 由夹挤定理得由夹挤定理得即可得即可得定理定理3 (辛钦辛钦大数定律大数定律) 设设Xn为一列独立同分布的随机变量为一列独立同分布的随机变量序列，若每个序
4、列，若每个 的数学期望都存在，的数学期望都存在，则则Xn服从大数定律，即对服从大数定律，即对任意正数任意正数 0, 有有 因为这里因为这里 有相同的期望，设为有相同的期望，设为 ，则（，则（1）式等价于）式等价于亦即亦即证明证明 令令要证要证，只需证，只需证又根据特征函数对随机变量分布的唯一确定性，这里只需证又根据特征函数对随机变量分布的唯一确定性，这里只需证因为因为 相互独立同分布，所以有相同的相互独立同分布，所以有相同的特特 在在t = 0处，处， 的泰勒展开式为的泰勒展开式为征函数，设为征函数，设为 。则。则 的特征函数为的特征函数为则有则有又又由特征函数的性质，有由特征函数的性质，有则则有有从而有从而有于是，对任意的于是，对任意的 t，有，有证毕证毕推论推论如果如果 相互独立同分布，且相互独立同分布，且 存存 在，则在，则例如，设例如，设 相互独立，且均服从正态分布相互独立，且均服从正态分布，则，则而而又例如，设又例如，设 相互独立，且均服从指数分布相互独立，且均服从指数分布，则，则而而
