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1、2.2函数的简单性质函数的简单性质2.2.1函数的单调性函数的单调性第第1课时函数的单调性课时函数的单调性1.增函数与减函数的定义(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域是A,区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间I上是单调增函数.(2)设函数f(x)的定义域是A,区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数.交流交流1在增函数与减函数的定义中,能否把“任意两个值”改为“存在两个值”?提示不能.如图所示,虽然f(-1)x10,所以x1x20,x2-x1
2、0.所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以原函数在(0,+)上为单调减函数.典例导学即时检测一二三利用函数单调性的定义证明函数的单调性时应注意,定义中的x1,x2具有以下特征:任意性;大小关系;两个值必须属于同一个单调区间.证明函数的单调性的步骤:取值;作差;判号,即判断f(x1)-f(x2)是大于零还是小于0;下结论,即判断f(x)在其单调区间上是增函数还是减函数.典例导学即时检测一二三二、求函数的单调区间作出函数f(x)=|2x-1|的图象,并写出其单调区间.思路分析首先将原函数去掉绝对值号,利用分段函数的解析式的特征画出函数的草图,并根据图象的上升与下降的趋势写出函数
3、的单调区间.典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三利用函数的图象确定函数的单调区间,具体的做法是:先化简函数的解析式,然后再画出它的草图,最后根据函数定义域与草图的位置,确定函数的单调区间.书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格的规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间;若函数在区间端点处无定义,则必须写成开区间.典例导学即时检测一二三三、函数单调性的应用已知函数f(x)是定义在-1,1上的增函数,且f(x-2)f(1-x),求x的取值范围.思路分析充分利用原函数的单调性及其定义域,建立关于x的不等关系,求解x的取值范围.解因为f(x)是定义在-
4、1,1上的增函数,且f(x-2)f(1-x),典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三2.若函数y=x2-2ax+2在1,+)上为增函数,求实数a的取值范围. (导学号51790046)解由题意可知原函数为y=(x-a)2+2-a2,其开口向上,且对称轴为x=a.若使得原函数在1,+)上为增函数,则只需对称轴x=a在直线x=1的左侧或与其重合,即满足a1即可,所以实数a的取值范围是a1.典例导学即时检测一二三单调性的应用主要体现在求解参数的取值范围、解不等式以及求解最值(下节课学习)等题型上,解题时往往采用数形结合的方法求解.已知函数在某个区间上的单调性求解x的取值范围时,要求自变量首先应
5、在定义域内,这是一个容易出现错误的地方,然后在此基础上利用函数的单调性,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解.典例导学即时检测12341.函数y=-x2的单调增区间为().A.(-,+)B.(-,0C.0,+)D.(-,1答案:B解析:因为二次函数的开口向下,且对称轴为y轴,所以其单调增区间为(-,0.典例导学即时检测12342.若函数y=kx+b是R上的减函数,则k的取值范围是().A.k0D.k0答案:A解析:由一次函数的图象可知,当kf(x2),则x1与x2的大小关系是.答案:x1f(x2),则x1x2.典例导学即时检测12344.求证:函数f(x)=2x-3是(-,+)上的增函数.(导学号51790047)证明设x1,x2是(-,+)的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(2x1-3)-(2x2-3)=2(x1-x2).因为x1x2,所以x1-x20,即f(x1)-f(x2)0.所以f(x1)f(x2).所以函数f(x)=2x-3在区间(-,+)上为增函数.
