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1、 设，为同一个随机同一个随机实验中的两个随机事件中的两个随机事件 , 且，且， 那么称那么称为在事件在事件发生的条件下，事件生的条件下，事件发生的条件概率生的条件概率 n定定义条件概率条件概率 Conditional ProbabilitySample space Reduced sample space given event B条件概率条件概率 P(A|B)的的样本空本空间乘法法那么乘法法那么 n推行 设1 ，2 ，.，n 构成一个完备事件组，且(i )0，i1，2，.，n，那么对任一随机事件，有 全概率公式全概率公式 设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸PAi0)B为样本空间的恣意
2、事件，P B 0 , 那么有( k =1 , 2 , , n)证明明 贝叶斯公式叶斯公式 Bayes Theorem解解一、事件的独立性引例一、事件的独立性引例 一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求地摸球。求1 第一次摸到黑球的条件下，第二第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；次摸到黑球的概率；2 第二次摸到黑球的概第二次摸到黑球的概率。率。例例A=A=第一次摸到黑球第一次摸到黑球 ，B=B=第二次摸到黑球第二次摸到黑球 那么那么 设、为恣意两个随机事件，假恣意两个随机事件，假设即事件即事件发生的能生的能够性不受事件的影响，那么称事件性
3、不受事件的影响，那么称事件对于事件独立于事件独立 显然，对于独立，那么对于也独立，故称与相互独立 事件的独立性事件的独立性 independencen定定义事件的独立性事件的独立性 判判别n事件与事件独立的充分必要条件是事件与事件独立的充分必要条件是n实践践问题中，事件的独立性可根据中，事件的独立性可根据问题的的实践意践意义来判来判别 如甲乙两人射如甲乙两人射击，“甲甲击中与中与“乙乙击中可中可以以以以为相互之相互之间没有影响，即可以以没有影响，即可以以为相互独立相互独立例如例如 一个家庭中有假一个家庭中有假设干个小孩，假干个小孩，假设生男生女是生男生女是等能等能够的，令的，令A=一个家庭中有
4、男孩、又有女孩一个家庭中有男孩、又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩，对以下两种情形，以下两种情形，讨论A与与B的独立性：的独立性：1家庭中有两个小孩；家庭中有两个小孩；2家庭中有三个小孩。家庭中有三个小孩。解解 情形情形1的的样本空本空间为 = 男男男男 ， 男女男女 ， 女男女男 ， 女女女女 此种情形下，事件此种情形下，事件A、B是不独立的。是不独立的。 例如例如 一个家庭中有假一个家庭中有假设干个小孩，假干个小孩，假设生男生女是生男生女是等能等能够的，令的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩一个家庭中有男孩、又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有
5、一个女孩，对以下两种情形，以下两种情形，讨论A与与B的独立性：的独立性：1家庭中有两个小孩；家庭中有两个小孩；2家庭中有三个小孩。家庭中有三个小孩。解解 情形情形2的的样本空本空间为 = 男男男男男男 ， 男男女男男女 ， 男女男男女男 ， 女男男女男男 男女女男女女 ， 女男女女男女 ， 女女男女女男 ， 女女女女女女 此种情形下，事件此种情形下，事件A、B是独立的。是独立的。 n定理定理 以下四以下四组事件，有一事件，有一样的独的独立性：立性： 证明明 假假设A、B独立，那么独立，那么 所以，所以， 独立。独立。 n概念辨析概念辨析事件与事件独立事件与事件独立事件与事件互不相容事件与事件互
6、不相容事件与事件事件与事件为对立事件立事件例例甲乙二人向同一目的射甲乙二人向同一目的射击，甲，甲击中目的的概中目的的概率率为0.6，乙，乙击中目的的概率中目的的概率为0.5。试计算算 1两人都两人都击中目的的概率；中目的的概率；2恰有一人恰有一人击中目的的概率；中目的的概率；3目的被目的被击中的概率。中的概率。解解 设A表示表示“甲甲击中目的，中目的，B表示表示“乙乙击中目的中目的 那么那么 例例 P18-4 加工某一种零件需求加工某一种零件需求经过经过三道工序，三道工序，设设三道工序的次品率分三道工序的次品率分别为别为2%，3%，5% ，假，假设设各道工序是互不影响的求加工出来的零件的各道工
7、序是互不影响的求加工出来的零件的次品率次品率 解解 设1 ，2 ，3 分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，那么依题意：1 ,2 ,3 相互独立，且 12 % , 23% , 35% 又又设表示加工出来的零件是次品表示加工出来的零件是次品, , 那么那么 A A11223 3 用用对对立事件的概率关系得立事件的概率关系得 1(1 0.02)(1 0.03)(1 0.05) 0.09693 将将实验E E反复反复进展展n n次次, ,假假设各次各次实验的的结果互果互不影响不影响, ,那么称那么称这n n次次实验是相互独立的是相互独立的. . 设随机实验E只需两种能够的结果:A及 , 且P(A)
8、=p,在一样的条件下将E反复进展n次独立实验,那么称这一串实验为n重贝努利实验，简称贝努利实验(Bernoulli trials)，记作Bn,p.贝努利努利实验Bernoulli trialsBernoulli trialsn 相互独立的相互独立的实验n 贝努利努利实验例例 一批一批产品的次品率品的次品率为 5%，从中每次任取一个，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，后放回，再取一个， 连取取 4 次求次求 4 次中恰有次中恰有 2 次取到次品的概率次取到次品的概率 设 恰好有恰好有 2 2 次取到次品次取到次品, , 取到次品，取到次品， 那么那么 取到正品取到正品 n分析分析n = 4
9、 n = 4 的的 Bernoulli Bernoulli 实验i=i=第第i i次抽次抽样抽到次品抽到次品 由于由于1 1，2 2，3 3，4 4 相互独立，所以相互独立，所以 四次抽四次抽样中恰好中恰好发生两次有两次取到次品的情况有生两次有两次取到次品的情况有 贝努利定理努利定理 设在一次实验中事件发生的概率为 p (0p1) ， 那么在n次贝努里实验中恰好发生 k次的概率为 ( k 0，1，2，.，n )其中其中 n定理定理例例 有一批棉花种子有一批棉花种子,其出苗率其出苗率为0.67,现每穴种每穴种4粒种子粒种子, (1) 求恰有粒出苗的概率求恰有粒出苗的概率(0k4)； (2) 求至
10、少有两粒出苗的概率求至少有两粒出苗的概率 (1) 该实验为4 重贝努利实验解解(2) (2) 设表示至少有表示至少有2 2粒出苗的事件粒出苗的事件, ,那么那么例例 设某人打靶，命中率某人打靶，命中率为0.7，反复射，反复射击5次，求恰好次，求恰好命中命中3次的概率。次的概率。解解 该实验为5重重贝努利努利实验，且，且 所求概率所求概率为 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3例例 设某某电子元件的运用寿命在子元件的运用寿命在1000小小时以上的概以上的概率率为0.2，当三个，当三个电子元件相互独立运用子元件相互独立运用时，求在运，求在运用了用了1000小小时的的时候，最多只需一个候，最多只需
11、一个损坏的概率。坏的概率。解解 设A表示表示“元件运用元件运用1000小小时不坏，那么不坏，那么 设B表示表示“三个元件中至多一个三个元件中至多一个损坏，那么坏，那么 例例 一批种子的一批种子的发芽率芽率为80%，试问每穴至少播种几每穴至少播种几粒种子，才干保粒种子，才干保证99%以上的穴不空苗。以上的穴不空苗。分析：分析：“穴不空苗即穴不空苗即“至少有一至少有一颗种子种子发芽芽 解解 假假设播播n颗种子，那么依种子，那么依题意可得意可得 可解得可解得 即即 所以，每个穴中至少播种所以，每个穴中至少播种 3颗颗种子。种子。 某工人照看三台机床，一个小某工人照看三台机床，一个小时内内1号，号，2
12、号，号，3号号机床需求照看的概率分机床需求照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床之各机床之间能否需求照看是相互独立的，求在一小能否需求照看是相互独立的，求在一小时内：内：1没没有一台机床需求照看的概率；有一台机床需求照看的概率；2至少有一台不需求照至少有一台不需求照看的概率；看的概率；3至多有一台需求照看的概率。至多有一台需求照看的概率。解解 设Ai表示表示“第第i台机床需求照看，台机床需求照看，i=1，2，3那么那么 PA1=0.3； PA2=0.2； PA3=0.1；1、A、B相互独立，相互独立， 那么一定有那么一定有 . A. B. C. D.2 2、甲乙两人独立破、甲乙两
13、人独立破译密密码，假，假设他他们各人各人译出的概率出的概率均均为0.250.25，那么，那么这份密份密码能破能破译的概率的概率为( ( ).).3、假、假设A、B相互独立，相互独立，那么那么 . A. 0.9 B. 0.7 C. 0.2 D.0.1 4、A、B为两个随机事件，假设A，B之积为不能够事件，那么称 A. A与B 相容 B. A与B互不相容 C. A与B 互为独立 D. A与B为样本空间的一个划分05、一、一项实验中失中失败的概率的概率为p0p1，那么在，那么在3次反复次反复实验中至少中至少胜利一次的概率利一次的概率为( ). A. 31-p B. C. D. 6、在一次考、在一次考
14、试中，某班学生数学及外中，某班学生数学及外语的及格率都的及格率都是是0.7，且，且这两两门成果相互独立，从成果相互独立，从该班任取一学生，班任取一学生，该生的两生的两门课中只需一中只需一门及格的概率及格的概率为( ).0.42 7、假、假设A与与B独立，且独立，且 那么那么 ( ). 8、某地成年人患、某地成年人患A,B两种疾病的概率分两种疾病的概率分别为0.015 和和0.08，设两种疾病的两种疾病的发生是相互独立的，那么生是相互独立的，那么该地域任地域任一成年人同一成年人同时患患这两种病的概率两种病的概率为 . 0.0012 9、假设、假设A、B为随机事件，知为随机事件，知PA=x， PB=0.3，1假设假设A、B不相容，不相容， 求求x ；2假设假设A、B相互独立，求相互独立，求x ；
