《线性代数课件：3-3 向量组的等价》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件：3-3 向量组的等价（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定义.给定两个向量组如果 中的每个向量 都可由向量组线性表示，则称向量组 可由向量组 线性表示，若向量组 与 互相可以线性表示，则称向量组 与 等价.向量组等价概念具有下列性质 （1）反身性：每个向量组与它自身等价. （2）对称性：向量组 与 等价，则 与 等价.（3）传递性：向量组 与 等价且 与 等价，则 与 等价. 向量组的等价满足如下条件： （1）向量组（6）线性无关； （2）向量组（5）中每个向量都可由向量组（6）线性表示. 则称向量组（6）为向量组（5）的一个极大线性无关组.极大线性无关组例.求向量组的一个极大无关组.解 显然 线性无关，而该向量组中任意4个向量都线性相关，所以，向
2、量组中任意一向量都可由 线性表示.由定义 ， 为向量组 的一个极大无关组.可以验证 也是原来向量组的一个极大无关组.例.求全体 维向量构成的 向量组 的一个极大无关组.解 ： 中单位坐标向量组而 中任一向量 都可表示为线性无关即 中任一向量都可由 线性表示，所以 为 的一个极大无关组.定理.如果向量组 可以由向量组 线性表示，且 线性无关，则证 假设 由已知条件知 中的每一个向量都可以表示为 的线性组合，即中方程个数 小于未知数个数 所以，方程组有非零解即存在不全为零的 个数 使成立.所以向量组 线性相关，这与已知条件中 线性无关矛盾，所以 推论1 有如下向量组如果向量组 可由向量组 线性表示
3、，且则向量组 必线性相关.推论2 任意两个线性无关的等价的向量组所含向量个数相同.证 设是两个等价的线性无关的向量组，由推论1知推论3 在一个向量组中，它的任意两个极大无关组所含向量个数相同.证 因向量组与它的极大无关组等价，由等价的传递性，向量组的任意两个极大无关组等价，由推论2，向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相同.向量组的秩定义 一个向量组中，它的极大线性无关组所含向量个数称为向量组的秩.推论 两个等价的向量组有相同的秩.证 设向量组 的秩为 向量组 的秩为 再取 的一个极大无关组 的一个极大无关组显然 与 等价， 与 等价.而 与 等价，由等价的传递性： 与 等价，再由推论2知：
4、 与 所含向量个数相同，即向量组 与向量组 的秩相同.例 求向量组的秩，并求出它的一个极大无关组.解 显然， 线性无关， 中任意一个向量都可由 线性表示，由定义， 为向量组的一个极大无关组，且所给向量组的秩为3.推论 向量组 能由向量组线性表示，则向量组的秩与矩阵的秩的关系定义 矩阵 的行向量组的秩称为 的行秩； 的列向量组的秩称为 的列秩.定理 矩阵 的列秩等于 的行秩 等于 的秩.解 将向量组 作为矩阵 的各个行的秩为2，所以向量组 的秩为2.例.求下列向量组的秩解例 求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余的向量表示成极大无关组的一个线性组合.所以向量组 的秩为3. 为所给向量组的一个极大无关组.继续对 实施行变换化为规范的阶梯形矩阵.所以
