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1、1无穷小的比较无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限小结小结 思考题思考题 作业作业2.6 无穷小的比较无穷小的比较第第2 2章章 极限与连续极限与连续2如如, ,不可比不可比.观观察察各各极极限限是无穷小是无穷小.一、无穷小的比较一、无穷小的比较不存在不存在.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.要快得多要快得多;快慢相仿快慢相仿;2.6 无穷小的比较无穷小的比较3定义定义2.102.10记作记作记作记作 infinitesimal equivalenec是同一过程中的是同一过程中的两个无穷小两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷
2、小; ;低阶的无穷小低阶的无穷小; ;同阶无穷小同阶无穷小; ;等价无穷小等价无穷小, ,2.6 无穷小的比较无穷小的比较4如如高阶无穷小高阶无穷小,同阶无穷小同阶无穷小.因为因为二阶无穷小二阶无穷小. k 阶无穷小阶无穷小.2.6 无穷小的比较无穷小的比较5常用等价无穷小常用等价无穷小2.6 无穷小的比较无穷小的比较6例例解解例例解解 k 阶无穷小阶无穷小.2.6 无穷小的比较无穷小的比较7定理定理2.192.19证证因此因此设设则则因此因此设设则则二、利用等价无穷小替换求极限二、利用等价无穷小替换求极限是等价无穷小的充要条件为是等价无穷小的充要条件为主要部分主要部分2.6 无穷小的比较无穷
3、小的比较8此定理说明此定理说明: :或者说或者说, 两个等价无穷小的差两个等价无穷小的差,的任何一个都是高阶无穷小的任何一个都是高阶无穷小;比它们中比它们中 一个无穷小一个无穷小与它的高阶无穷小与它的高阶无穷小之和之和, 仍与原无穷小仍与原无穷小等价等价. .2.6 无穷小的比较无穷小的比较9例例所以所以所以所以所以所以所以所以2.6 无穷小的比较无穷小的比较10定理定理2.202.20证证(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)2.6 无穷小的比较无穷小的比较11例例解解等价无穷小替换定理说明等价无穷小替换定理说明, 两个无穷小之两个无穷小之比的极限比的极限, 可由它们的等价无穷小之比的极限
4、可由它们的等价无穷小之比的极限代替代替. .给给 型未定式的极限运算带来方便型未定式的极限运算带来方便. .2.6 无穷小的比较无穷小的比较12考研数学一至四考研数学一至四(选择选择4分分)解解等价的无穷小量是等价的无穷小量是2.6 无穷小的比较无穷小的比较13考研数学考研数学(一一)填空填空4分分解解注注加、减项加、减项的无穷小不要用等价无穷小的无穷小不要用等价无穷小代换代换.2.6 无穷小的比较无穷小的比较14例例解解正确解正确解错错2.6 无穷小的比较无穷小的比较15例例解解2.6 无穷小的比较无穷小的比较16解解考研数学考研数学(二二)填空填空4分分分子有理化分子有理化2.6 无穷小的
5、比较无穷小的比较17利用无穷小的传递性利用无穷小的传递性, 把常见的等价无穷小把常见的等价无穷小作一个归纳作一个归纳, 以便于记忆和应用以便于记忆和应用.2.6 无穷小的比较无穷小的比较18差函数中常用的等价无穷小有差函数中常用的等价无穷小有:2.6 无穷小的比较无穷小的比较19考研数学二考研数学二(填空填空4分分)解解2.6 无穷小的比较无穷小的比较20研究生入学考试数学研究生入学考试数学(三三, 四四)填空题填空题(4分分)解解 因为分子中的因为分子中的所以分母的所以分母的故故因而因而所以所以2.6 无穷小的比较无穷小的比较21高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 同阶同阶(等价等价)无穷小无穷
6、小; 无穷小的阶无穷小的阶.三、小结三、小结反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.快慢快慢,求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.1. 无穷小的比较无穷小的比较2. 等价无穷小的替换等价无穷小的替换 2.6 无穷小的比较无穷小的比较22思考题思考题任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？解答解答不能不能都是无穷小都是无穷小,但但例如例如不存在不存在.故故不能比较不能比较.2.6 无穷小的比较无穷小的比较23作业作业习题习题2.6(2.6(第第4141页页) ) 2.6 无穷小的比较无穷小的比较
