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1、2.4.2抛物线的几何性质(一)第2章 2.4抛物线1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何 性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学知识点一抛物线的几何性质思考思考 1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点坐标吗？答案范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)思考思考 2参数p对抛物线开口大小有何影响？答案参数p(p0)对抛物线开口大小的影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大梳理梳理标准方程y22px(p0)y22px(p
2、0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围对称轴顶点 _离心率e_ x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0x轴1(0,0)y轴知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y22px(p0)ABx1x2py22px(p0)ABp(x1x2)x22py(p0)ABy1y2px22py(p0)ABp(y1y2)题型探究题型探究例例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程类型一由抛物线的几何性质求标准方程解答引引申申探探究究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2
3、2px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是_答案解析4p2因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向(2)设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程(3)寻关系：根据条件列出关于p的方程(4)得方程：解方程，将p代入所设方程为所求反思与感悟跟跟踪踪训训练练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离
4、分别为10和6，求抛物线的方程解答例例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求AB的值；类型二抛物线的焦点弦问题解答(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离解答设A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线定义知，所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.反思与感悟(1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y22px(p0)焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x2p.然后
5、利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可跟跟踪踪训训练练2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB p，求AB所在直线的方程解答类型三抛物线在实际生活中的应用例例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面的部分为0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解答反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟跟踪踪训训练练3如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20
6、米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O)解答当堂训练当堂训练123451.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(5，2 )到焦点的距离是6，则抛物线方程为_.答案解析y24x又抛物线开口方向为x轴负方向，抛物线方程为y24x.12345顶点在坐标原点，对称轴为y轴的抛物线的标准方程有两个：x22py，x22py(p0).由顶点到准线的距离为4，得p8，故所求抛物线的标准方程为x216y或x216y.2.顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为
7、4的抛物线的标准方程是_.x216y答案解析123453.抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_.答案解析123454.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB_.答案解析8易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义易得AB8.123455.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).符合抛物线方程为y210x的条件是_.(要求填写合适条件的序号)答案解析规律与方法1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.本课结束
