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1、 误差理论与数据处理误差理论与数据处理 课课件件 第第0202章章 第第1 1节节 随机随机误差误差 误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理1. 1.统计直方图统计直方图（1）分组数=11，组距=0.05mm；（2）依次定各组的频数、频率和频率密度；（3）以数据为横坐标，频率密度为纵坐标，在横坐标上划出等分的子区间，划出各子区间的直方柱，即为所求统计直方图。77.17.27.37.47.57.605101520252误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理数学期望数学期望定义一阶原点矩，它表示随机变量分布的位置特征。它与真值之差即为系统误差，如果系统误差可以忽略，则 就是被测量的真值
2、 三条测量值分布曲线的精密度相同，但准确度不同。数学期望代表了测量的最佳估计值，或相对真值的系统误差大小3误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理标准偏差二阶中心矩，称为X的标准（偏）差， ，的大小表征了随机误差的分散程度，即大部分分布在 范围内，可作为随机误差的评定尺度 定义三条误差分布曲线的准确度相同，但精密度不同 标准差代表了该测量条件下的测量结果分散性的大小，或是该测量分布的随机误差大小 4误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理协方差定义式中协方差 表示了两变量间的相关程度 5误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理相关系数定义表示了两个变量间线性相关的程度 越小，X，Y
3、之间线性相关程度越小， 取值越大，X，Y之间线性相关程度越大 当 ，X与Y正相关，当 ，X与Y负相关 线性相关正相关负相关线性不相关6误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理 3.3.概率密度（分布）图图 把各直方柱顶部中点用直线连接起来，便得到一条由许多折线连接起来的曲线。当测量样本数n无限增加，分组间隔趋于零，图中直方图折线变成一条光滑的曲线，即测量总体的概率（分布）密度曲线，记为。这就是用实验方法由样本得到的概率密度分布曲线。 77.17.27.37.47.57.605101520257误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理概率密度曲线完好的描述了随机误差的统计规律。概率密度函
4、数的几何意义 置信区间 显著性水平（又称显著度或危险率） 置信概率（或置信水平），简记为符号4.概率密度的性质有两个性质8误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理一、随机误差产生的原因一、随机误差产生的原因测量装置方面的因素测量装置方面的因素 零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。测量环境方面的因素测量环境方面的因素 放置测量主机和被测试样的隔震台不能很好消除外界的低频震动 仪器所在实验室气流和温度的波动 空气尘埃的漂浮、稳压电源供电电压的微小波动 操作人员方面的因素操作人员方面的因素 瞄准、读数的不稳定等。 9误差理论与数据处理 第二章误差的基本性质与处理例:某
5、钢球工件直径重复测量150次的测量点列图测量点列图单峰性：数据集中在7.335附近，如不存在系统误差，其约定真值即为7.335有界性：数据分布在7.085至7.585之间，即可确定误差分布的大致范围对称性：正负误差的数目大致相同；抵偿性：误差的总和大致趋于零，它是判定随机误差最本质的一个统计特征。7.0857.3357.58510误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理二、正态分布二、正态分布 误差因素多而小，无一个占优，彼此相互独立（中心极限定理）。一般认为，当影响测量的因素在15个以上，且相互独立，其影响程度相当，可以认为测量值服从正态分布；若要求不高，影响因素则应在5个（至少3个）以
6、上，也可视为正态分布。 服从正态分布的随机误差均具有：对称性、服从正态分布的随机误差均具有：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。单峰性、有界性、抵偿性。11误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理 (1) 经典误差理论都是建立在正态分布的基础上。凡是有3、5个以上的、差不多微小的、独立影响的合成分布都趋近正态分布。这是被前人早已证明了的中心极限定理告诉我们的一个事实。正态分布在误差理论和实践中的地位正态分布在误差理论和实践中的地位(2) 许多非正态分布可以用正态分布来表示。(3) 正态分布的概率密度函数具有简单的数学形式和优良的性质。(4) 也有不少的误差分布并不能简单地用正态分布来描述。因而
7、，现代误差理论及其实践需要进一步研究非正态分布的问题。12误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理随机误差的表述随机误差的表述 表述方法表述方法 被测量的真值 一系列测量值，假设各次测量值中不含有系统误差 13误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理当测量次数n充分大时，有以及抵偿性是各种随机误差所共有的本质特征。抵偿性是各种随机误差所共有的本质特征。 随机误差的抵偿性随机误差的抵偿性14误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理概率密度函数概率密度函数正态分布的密度函数 为测量总体的数学期望，如不计系统误差，则 即为随机误差 为测量总体的标准差，也是 随机误差的标准差 15误差理论
8、与数据处理第二章误差的基本性质与处理（1）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现的概率大。（2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。（3）抵偿性：随测量次数增加，算术平均值趋于零。分布的误差特性分布的误差特性正态分布的这三个特点与误差大样本下的统计特性相符。但在理论上，正态分布无界，这也是正态分布与实际误差有界性不相符之处。 16误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理正态分布的置信概率 误差在分布区间 的置信概率 式中置信概率 正态积分函数，已制成正态积分表 置信因子68.26% 95.45% 99.73% 217误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理正态分布的某些k值的
9、置信概率3.33.02.582.01.96 1.6451.00.67450.999 0.9973 0.990.954 0.950.900.6830.50.001 0.00270.010.046 0.050.100.3170.5218误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理随机误差的随机性影响 对于任何的测量，其中的随机误差源客观存在，它造成对每次测量数据的不可预测的随机性影响 影响表现在该测量总体服从某种分布 误差大小可以通过标准差来估计 误差界限则可用置信区间表示 19误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理含有随机误差的测量数据问题的处理方法 有条件获取较大样本数据的情形 可以做出
10、实验统计直方图，定性定量地给出测量总体及其误差分布的判断，进而从中提取表示被测量大小的数字特征，并给出完整的测量结果 无条件获取大样本数据的情形 必须依据小样本的测量数据以及可能了解到的有关测量信息，合理给出代表测量总体的测量结果，包括其最佳估计值及其标准差、置信区间等 20误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理 三、三、 算术平均值算术平均值本部分主要介绍算术平均值的意义以及如何计算算术平均值的标准差。21误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理1 1、算术平均值的意义、算术平均值的意义在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳
11、估计。22误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据 因为根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有 所以23误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理残余误差及简单算术平均运算残余误差及简单算术平均运算残余误差简单算术平均运算，先取任意个见P11例题2.124误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理算术平均值的校核v残余误差代数和为0，可用来校核正确性。v残余误差代数和和绝对值应符合（存在舍位进位时）当n为偶数，当n为奇数，A为实际求得的算术平均数 末位的一个单位见P12例题2.2 2.325误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理2、测量的标
12、准差测量的标准差单次测量列标准差计算公式单次测量列标准差计算公式贝塞尔公式注意推导过程表征同一被测量的n次测量的测得值分散性得参数，可作为测量单次测量不可靠性得评定标准。P14二段话26误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理适当增加测量次数取其算术平均值表示测量结果，是减小测量随机误差的一种常用方法。测量列平均值标准差计算公式测量列平均值标准差计算公式算术平均值的标准差单次测量标准差测量总体标准差 测量列算术平均值标准差表征同一个被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评价标准27误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理10 10次算术平均值与单次测量
13、的分布关系次算术平均值与单次测量的分布关系 两者的分布类型和峰值位置未变化，只是分散性不同。28误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理 测量次数愈大时，也愈难保证测量条件的不变，从而带来新的误差。另外，增加测量次数，必与测量次数的关系 当 一定时， 以后， 已减小得较缓慢。然会增加测量的工作量及其成本。因此一般情况下，取 n=10 以内较为适宜。总之，要提高测量准确度，应选用适当准确度的测量仪器，选取适当的测量次数。29误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理归纳：实验标准差定义归纳：实验标准差定义贝塞尔公式极差法最大误差法别捷尔斯法对于一组测量数据，用其标准差来表述这组数据的分散性
14、 如果这组数据是来自于某测量总体的一个样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标准差的一个估计，称其为样本标准差样本标准差，又称为实验标准差实验标准差 30误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理1、贝塞尔公式公式意义公式意义 总体标准差的估计(实验样本标准差)计算公式计算公式 为残余误差，简称残差。31误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理2、极差法极差法对多次独立测得的数据 ， 最大值， 最小值当测量误差服从正态分布时，标准差的计算公式 极差 是测量总体标准差的无偏估计 极差法可以简单迅速算出标准差，并具有一定精度，在n10时选用 P18 例例2-632误差理论与数据处理第二章误差
15、的基本性质与处理 极差法系数1.130.7692.970.27163.53 0.2131.690.52103.08 0.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.31 0.23203.740.2072.700.31143.41 0.2282.850.29153.470.2233误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理3、最大误差法测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式 在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据的真误差，其中的绝对值最大在只进行一次性实验中，是
16、唯一可用的方法P19P19例例2 27 734误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理3、最大残差法在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差 最大残余误差 估计标准差 最大残差法不适用于n=1的情形 35误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理最大误差法系数0.880.511.771230.750.451.020.680.400.830.640.360.740.610.330.680.580.310.640.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.7536误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理5、别捷尔斯法v
17、别捷尔斯法37误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理对某量测得数据7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，试分别用贝塞尔公式、极差法、最大误差法估计其测量标准差及其标准差的相对标准差。【例【例3-23-2】【解】【解】(1) 用贝塞尔公式估算38误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理(2) 用极差法估算查表，得故计算结果139误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理（3）用最大误差法估算真值未知，计算最大残差 查表，插值计算得 故计算结果240误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理进行一次导弹发射实验，导弹着落点距靶心35，
18、试求射击的标准差。 【例【例3-33-3】【解】【解】查表，得 故射击的标准差为 本例测量一次的情形, 唯有最大误差法可以估计其实验的标准差, 由于样本数为1，故其估计的信赖程度只有25%。 41误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理五、测量的极限误差五、测量的极限误差 本节介绍如何确定误差分布的区间性指标，即可用于表述误差界限的置信区间。在置信概率一定的情况下，置信区间还与误差分布的具体形态密切相关。本节对置信区间给出一般的数学描述，而且还要针对几种常见的误差分布进行具体讨论。由于测量误差分布与测量总体的分布之间对测量数据的描述方式上，只是相差一个常数值，故以下均按测量总体分布来描述。
19、 42误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理1、单次测量的极限误差v随机误差在 至 范围内的误差为 v定义概率积分v单次测量的极限误差43误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理 正态分布中的置信区间v 68.26% 95.45% 99.73% 44误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理2、算术平均值的极限误差v测量列算术平均的极限误差v实际测量中，测量次数较少时，应按“学生氏”分布，简称t分布P21 例例2-945误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理置信区间的基本概念置信区间的基本概念置信区间计算公式置信区间计算公式 测量总体的概率密度 置信概率或置信水平, 为显著水
20、平 期望值 下半置信区间宽度， 上半置信区间宽度 概率密度呈对称分布的情形，常取 高置信水平下的置信区间半宽度又称为极限误差极限误差46误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理置信区间半宽度的常用表示方法置信区间半宽度的常用表示方法或 或 置信因子 标准差 确定置信区间半宽度的关键是在已估计标准差下如何确定置信因子 47误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理1 1、总体标准差或大样本标准差已知的情形、总体标准差或大样本标准差已知的情形置信区间半宽度为置信区间半宽度为置信因子由 计算得到 正态积分函数，可查表获得总体标准差已知总体标准差未知，但已知大样本标准差 置信概率或置信水平(单次
21、测量)(n次测量)(单次测量)(n次测量)48误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理2.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.50.99730.00273.300.9990.001一些常用置信因子对应的置信水平一些常用置信因子对应的置信水平 49误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理（1）大样本情形，估计置信区间的置信因子都用正态分布；小样本情形，则用t分布。（2）单次测量情形，估计置信区间的标准差都用单次测量的标准差；多次测量情形，则用算术平均值的标准差。总结总结50误
22、差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理用游标卡尺对某一试样尺寸测量10次，假定测量服从正态分布，并已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08(1) 求算术平均值及其标准差；(2) 求算术平均值的极限误差（ =0.9973）。 【例【例3-53-5】【解】【解】(1) 分别计算51误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理（2）先按小样本估计，查 分布临界值表, 有再按大样本估计，查正态分布临界值表， 有综上所述：（1）算术平均值是处理等权测量数据的一个最佳估计量
23、；（2）一般按贝塞尔公式计算和，样本数时只能用最大误差法计算；（3）算术平均值的极限误差一般按确定。计算结果计算结果 52误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理六、不等精度测量v用不同测量次数对比v用不同精度仪器进行对比测量v权：衡量测量结果可靠程度的数值v权的确定v加权算术平均值v加权算术平均值的标准差53误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理权的确定v按测量次数确定v多组测量，按每组测量的标准差确定vP23 例2.1054误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理加权算术平均值v对同一被测量进行m组不等精度测量v单位权 概念单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，
24、得到新的量值权数为1。P2555误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理加权算术平均值的标准差v对同一被测量进行m组不等精度测量56误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理七、随机误差的其他分布七、随机误差的其他分布本节介绍几种常见的误差分布，包括正态分布、均匀分布、三角分布、瑞利分布、反正弦分布、投影分布、分布。常用的统计量分布，包括t分布 F分布，分布。 57误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理1、均匀分布若误差在某一范围中出现的概率相等，称其服从均匀分布，也称为等概率分布。 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望方差方差标准方差标准方差置信因子置信因子 o -a a
25、58误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理服从均匀分布的可能情形服从均匀分布的可能情形 (1) 数据切尾引起的舍入误差;(2) 数字显示末位的截断误差(3) 瞄准误差;(4) 数字仪器的量化误差;(5) 齿轮回程所产生的误差以及基线尺滑轮摩擦引起的误差；(6) 多中心值不同的正态误差总和服从均匀分布。 59误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理2、三角分布概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差当两个分布范围相等的均匀分布，其合成误差就是三角分布。 60误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理3、反正弦分布概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准
26、方差a -a o 服从反正弦分布的可能情形服从反正弦分布的可能情形 度盘偏心引起的测角误差；正弦（或余弦）振动引起的位移误差；无线电中失配引起的误差。61误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理4、瑞利分布概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差服从瑞利分布的可能情形服从瑞利分布的可能情形 偏心值在非负值的单向误差中，由于偏 心因素所引起的轴的径向跳动 刻度盘、圆光栅盘的最大分度误差 齿轮和分度盘的最大齿距累积误差 62误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理5、贝塔分布概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差63误差理论与数据处理第二章误差的基本性
27、质与处理在给定分布界限下通过参数取不同值，贝塔分布可呈对称分布、非对称分布、单峰分布、递增或递减分布等，可逼近常见的正态、三角、均匀、反正弦、瑞利等各种典型分布。贝塔分布具有可逼近各种实际误差分布的多态性。 贝塔分布在理论上就是有界的。不像正态、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合误差的基本特性即有界性。 贝塔分布的性质与密度函数图64误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理常见分布的数字特征量名称正态分布区间半宽度标准差期望等价均匀分布三角分布反正弦分布瑞利分布65误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理6、分布定义定义若为独立服从同分布 的随机误差，则称服从为自由度为的分布。 概率密度函数
28、概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差66误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理7、t分布定义定义若随机误差，随机误差，且和相互独立，则服从的分布称为自由度为的t分布。 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差o 67误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理 当自由度足够大时，t分布趋近于正态分布。t t分布在误差理论和实践中的应用分布在误差理论和实践中的应用t分布在研究正态小子样（测量次数较少时），是一个严密而有效的理论分布。 正态样本的算术平均值构成的如下统计量服从自由度为的t分布。其测量算术平均值满足 t分布的临界值 ，满足68误差理论与数据处理第二章
29、误差的基本性质与处理8、F分布定义定义若，则称服从为自由度为的F分布。 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差69进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨
30、着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？
31、”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束
