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1、立体几何立体几何知识网络要点梳理知识网络要点梳理1.棱柱、棱锥和棱台的结构特征如何?请填下列空格.(1)棱柱:有两个平面(底面)互相平行;其余各面都是平行四边形;每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.(2)棱锥:有一个面(底面)是多边形;其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台:上下底面互相平行,且是相似图形;各侧棱延长线相交于一点.知识网络要点梳理2.圆柱、圆锥、圆台和球是如何形成的?提示:这四种几何体都是旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球可以看成分别以矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形中垂直于底边的腰,一个半圆的直径所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形、半圆分别旋
2、转一周而形成的曲面围成的几何体.知识网络要点梳理3.斜二测画法中建系原则是什么?作图要领又如何?提示:(1)建系原则在已知图中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等.(2)作图要领在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x轴成45或135角;在直观图中,平行于x轴或z轴的线段长度不变;平行于y轴的线段长度变为原来的一半.知识网络要点梳理4.三视图所表达的意义如何?画法规则又如何?提示:(1)三视图表达的意义:主、俯视图都反映物体的长度“
3、长对正”;主、左视图都反映物体的高度“高平齐”;俯、左视图都反映物体的宽度“宽相等”.(2)三视图的画法规则:画三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.知识网络要点梳理5.空间几何体的表面积和体积公式是什么?请完成下表:(1)表面积注:直棱柱、正棱锥、正棱台是多面体中特殊的几何体,它们的侧面积公式分别为 其中h为直棱柱的高,h是正棱锥和正棱台的斜高.知识网络要点梳理(2)体积 6.在空间中,两条直线的位置关系有哪些?提示:平行、相交和异面.知识网络要点梳理7.平面的基本性质和推论是什么?请完成下表:(1)基本性质1知识网络要点梳理(2)基本性质2 知识网络要点梳
4、理(3)基本性质3 知识网络要点梳理(4)推论 知识网络要点梳理8.直线与平面平行的判定与性质是什么?请完成下表: 知识网络要点梳理9.平面与平面平行的判定和性质(1)判定定理文字语言:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号语言:a,b,ab=P,a,b.图形语言:如图所示.(2)性质定理文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.符号语言:,=a,=bab.图形语言:如图所示.作用:证明两直线平行.知识网络要点梳理10.直线与平面垂直的判定及性质(1)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.(2)推论
5、1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.(3)推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.(4)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.知识网络要点梳理11.面面垂直的判定及性质(1)判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.(2)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直.知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)三角形的直观图一定是三角形. ()(2)若一几何体的三视图中有两个圆形,则该几何
6、体一定为球体. ()(3)把边长为4和2的矩形卷成一个圆柱的侧面,则这个圆柱的体积为 . ()(4)经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直. ()(5)经过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直. ()(6)如果两个平面,满足,且直线a,b,则直线a与直线b可能不平行. ()知识网络要点梳理(7)如果两个平面,满足,且直线a,=l,则有al成立. ()(8)两条异面直线的夹角可以是钝角. ()(9)已知直线a与平面,=l,a,a,a在和内的射影分别为b,c,则b和c的位置关系一定相交. ()(10)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一
7、个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在AEF内的射影为O,则O为AEF的重心. ()知识网络要点梳理答案:(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)(8)(9)(10)专题归纳高考体验专题一三视图及其应用【例1】在一个几何体的三视图中,主视图和俯视图如图所示,则相应的左视图可以为()专题归纳高考体验解析:由题目所给的几何体的主视图和俯视图,可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体,如图所示,可知左视图为等腰三角形,且轮廓线为实线,故选D.答案:D专题归纳高考体验反思感悟三视图在高考中几乎每年必考,一般以选择题、填空题的形式出现.考查方向主要有两个:一是考查相关的识图,其中包含由
8、三视图还原几何体问题,三视图与直观图中各个数据的内在联系;二是借助三视图考查几何体的体积和面积,这要求考生不仅要学会识图,还原几何体,同时还要会用面积和体积公式解决几何体的度量问题.专题归纳高考体验变式训练变式训练1某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()专题归纳高考体验解析:四棱锥的直观图如图所示.由三视图可知,SB平面ABCD,SD是四棱锥最长的棱,答案:C 专题归纳高考体验专题二几何体的表面积与体积的计算【例2】(1)若所有棱长均为2的正三棱柱内接于一个球,则该球的表面积为.(2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),其中主视图与左视图相同,求该几何体的体积.专题归纳高考体
9、验(1)解析:根据对称性可知球心P在正三棱柱上、下底面中心连线的中点处.如图,M是AC的中点,O2,O1分别是上、下底面的中心,专题归纳高考体验(2)解:由三视图知,该几何体是由圆柱、圆台、半球组合而成的,易知圆柱的底面半径为1,高为2,圆台的上、下底半径分别为1,4,高为4,半球的半径为4.所以V圆柱=122=2(cm3),专题归纳高考体验反思感悟1.空间几何体的表面积与体积的计算,通常以几何体为载体与球进行交汇考查,或蕴含在两个几何体的“接”或“切”形态中,以小题形式出现,属低中档题.2.求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.3.由几何体的三视图求表面积
10、或体积时,要注意主视图的高是几何体的高,但不一定是侧面的高.4.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三步法:(1)根据给出的三视图确定该几何体,并画出直观图;(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量;(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.专题归纳高考体验变式训练变式训练2(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()专题归纳高考体验(2)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.专题归纳高考体验解析:(1)由三视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,其表面积为专题归纳高考体验专题三空间线面位置关系的判断与证明【例3】如图所示,在四棱锥P-A
11、BCD中,底面ABCD是正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD底面ABCD,且PA=PD= AD.求证:(1)EF平面PAD;(2)平面PAB平面PCD.专题归纳高考体验证明:(1)连接AC,则F是AC的中点,E为PC的中点,在CPA中,EFPA.又PA平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.(2)平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CDAD,CD平面PAD.CDPA.PAD是等腰直角三角形,且APD=90,即PAPD.又CDPD=D,PA平面PCD.PA平面PAB,平面PAB平面PCD.专题归纳高考体验反思感悟1.空间线面位置关系的判断与证明是高考的热点.考查
12、方式主要有两种:一是有关线面位置关系的组合判断,多以选择题形式出现,与命题真假判断联系在一起,常常用符号语言形式表述;二是平行与垂直关系的证明,以解答题的形式出现,主要以多面体为载体进行考查.2.解决空间线面位置关系的判断问题常用以下方法:(1)根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.(3)熟练掌握立体几何的三种语言符号语言、文字语言以及图形语言的相互转换,是解决此类问题的关键.专题归纳高考体验3.解决平行、垂直关系的证明问题,关键是熟悉相关的判定定理与性质定理,注
13、意二者的交替运用.专题归纳高考体验变式训练变式训练3一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF平面BEG.专题归纳高考体验(1)解:点F,G,H的位置如图所示.(2)解:平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG=B
14、,所以平面BEG平面ACH.专题归纳高考体验(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,EGFH=O,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.专题归纳高考体验专题四折叠与展开问题【例4】如图所示,在圆锥SO中,底面半径r=1,母线l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A,求:(1)绳子的最短长度的平方f(x);(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;(3)f(x)的最大值.专题归纳高考体验解:将圆锥的侧面沿S
15、A展开在平面上,如图,则该展开图为扇形,且弧AA的长度L就是O的周长,所以L=2r=2.(1)由题意知,绳长的最小值为展开图中线段AM的长度, 所以f(x)=AM2=x2+16(0x4). 专题归纳高考体验(2)绳子最短时,在展开图中作SRAM,垂足为R,则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离.(3)因为f(x)=x2+16在0,4上是增加的,所以f(x)的最大值为f(4)=32.专题归纳高考体验求证:(1)EF平面ADB;(2)平面CDG平面ADG.专题归纳高考体验证明:(1)E,F分别是BC,CD的中点,即E,F分别是BC,CD的中点,EF为DBC的中位线.EFDB.又EF平面ADB,DB平
16、面ADB,EF平面ADB.(2)在梯形ABCD中,在DGC中,DG2+GC2=DC2,DGGC,即在四棱锥D-ABCG中,GCDG,GCAG.AGDG=G,GC平面ADG.又GC平面CDG,平面CDG平面ADG.专题归纳高考体验反思感悟1.把一个平面图形按某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.在解决这类问题时,要求既会由平面图形想象出空间形体,又会准确地用空间图形表示出空间物体;既会观察、分析平面图形中各点、线、面在折叠前后的相互关系,又会对图形进行转化.解决折叠问题,要注意折叠前后的变量与不变量,折叠前后同一半平面内的数量关系与位置关系均不发
17、生改变.2.常见的几何体中,除了球的表面无法展开在一个平面内,其余几何体的表面展开后,均为一个平面图形,由此产生的表面展开图将空间问题化归为平面问题,转化过程中一般采用“化曲为直”“化折为直”的方法.专题归纳高考体验变式训练变式训练4如图(1),在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,其中BC= .(1)证明:DE平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD= 时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.专题归纳高考体验(1)证明:在等边三角形ABC中, DEB
18、C.DE平面BCF,BC平面BCF,DE平面BCF.(2)证明:在等边三角形ABC中,F是BC的中点,BC=1,BC2=BF2+CF2,CFBF.BFAF=F,CF平面ABF.专题归纳高考体验(3)解:由(1)可知GECF,结合(2)可得GE平面DFG. 专题归纳高考体验变式训练变式训练5如图所示,在圆锥SO中,母线长为2,底面半径为 ,一只虫子从底面圆周上一点A出发沿圆锥表面爬行一周后又回到A点,则虫子所爬过的最短路程是多少?解:如图,将圆锥的侧面沿母线SA展开成扇形,由条件易知扇形的圆心角为90,从而最短路程为2 .专题归纳高考体验考点一:直观图与三视图1.(2016天津高考,文3)将一个
19、长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()专题归纳高考体验解析:由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示:易知其左视图为B项中图.故选B.答案:B专题归纳高考体验2.(2015课标全国高考,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()专题归纳高考体验解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长答案:D 专题归纳高考体验3.(2014课标全国高考,文8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是(
20、)A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱专题归纳高考体验解析:由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).答案:B专题归纳高考体验4.(2014课标全国高考,理6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()专题归纳高考体验解析:由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V1=326-224-322=20(cm3),原来毛坯体积V2=326=54(cm3).答案:C 专题归纳高考体验5.(2014课标全国高考,
21、理12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()专题归纳高考体验解析:如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为答案:B 专题归纳高考体验6.(2013课标全国高考,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16专题归纳高考体验解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.V半圆柱= 224=8,V长方体=422=16.所以所求体积为16+8.故选A.答案:A专题归纳高考体验7
22、.(2016北京高考,文11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.解析:由三视图可知,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积 专题归纳高考体验考点二:几何体的表面积、体积8.(2016山东高考,文5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示,则该几何体的体积为()专题归纳高考体验解析:由三视图可知,四棱锥为底面边长为1的正方形,高为1. 设球的半径为R,因为四棱锥的底面是半球底面的内接正方形, 答案:C 专题归纳高考体验9.(2016课标全国甲高考,理6)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20B.24 C.28D.32 专题归纳高考
23、体验解析:由题意可知,该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,圆柱的侧面积为S1=224=16,圆锥的侧面积为该几何体的表面积为S=S1+S2+S3=28,故选C.答案:C专题归纳高考体验10.(2016课标全国甲高考,文4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()解析:设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,答案:A 专题归纳高考体验11.(2015课标全国高考,理9)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64 C.144D.256解析
24、:由AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则得R=6,故S球=4R2=144.答案:C专题归纳高考体验考点三:平行关系与垂直关系12.(2016课标全国甲高考,文19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;专题归纳高考体验解:(1)由已知得ACBD,AD=CD. 故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以,OD平面ABC.专题归纳高考体验专题归纳高考体验13.(2016课标全国
25、乙高考,文18)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.专题归纳高考体验解:(1)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PB
26、PA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,专题归纳高考体验因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,专题归纳高考体验14.(2015课标全国高考,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平
27、面把该长方体分成的两部分体积的比值.专题归纳高考体验解:(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.专题归纳高考体验15.(2015课标全国高考,文18)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.专题归纳高考体验解:(1)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所
28、以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,专题归纳高考体验故x=2. 专题归纳高考体验16.(2014课标全国高考,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.专题归纳高考体验解:(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)作ODBC,垂足为D,
29、连接AD.作OHAD,垂足为H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形,专题归纳高考体验专题归纳高考体验17.(2014课标全国高考,文18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;专题归纳高考体验解:(1)设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.作AHPB交PB于H,由题设知BC平面PAB,所以BCAH.故AH平面
30、PBC.专题归纳高考体验18.(2013课标全国高考,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.专题归纳高考体验(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.专题归纳高考体验(2)解:由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形,所以因为OCAB=O,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.又ABC的面积SABC= ,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABCOA1=3.
