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1、第四章 线性系统的根轨迹法4-1.根轨迹概念4-2.绘制根轨迹的根本方法4- 3.广义根轨迹4-1.根轨迹的概念4- 1-1 根轨迹法4-1-2 根轨迹与系统性能4-1-3 闭环零极点与开环零极点间的关系4-1-4 根轨迹方程1948 年 W.R.EVANS 提出了一种确定闭环系统特征根的图解法根轨迹法。如图：特征方程为：其根为：可以用 k 为参变量，在 s 平面作其根轨迹：4-1-2.根轨迹与系统性能经过根轨迹图，可以对系统如下性能做研讨： (1)稳定性 假设系统轨迹进入s右半面，那么系统不稳定，根轨迹与虚轴交点处为临界稳定。(2)稳态性能 可以判别系统型次，并推算出开环增益。(3)可以经过
2、根轨迹图来确定系统的振型。4-1-3.闭环零极点与开环零极点间的关系如图：设：其中为前向通路增益；为前向通路根轨迹增益。为反响通路根轨迹增益；为开环根轨迹增益。那么有：由闭环传送函数可见：1). ( 当n m时 )闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路的根轨迹增益单位反响系统，闭环与开环根轨迹增益一样；2).闭环零点由开环前向通路的零点和反响通路的极点组成单位反响系统，闭环零点就是开环零点。；3).闭环极点与开环极点、开环零点及K*有关。根轨迹：由开环零、极点来确定闭环极点随K*变化在s平面上画出的轨迹 。4-1-4 根轨迹方程系统特征方程：1+ G(s)H(s) =0，即幅值条件：相角条件
3、：1、相角条件：满足该条件的点均为能够的根；2、幅值条件：满足该条件的点确定 K 值。3、在满足相角条件下，将根轨迹增益 K 由零增大直至，便可利用幅值条件画出根轨迹。4-2.绘制根轨迹的根本法那么法那么1. 根轨迹来源于开环极点，终于开环零点。当 K= 0 时，根轨迹方程退化为：此时闭环特征方程的根即为开环传送函数的极点。由可得：当 K 时，根轨迹方程退化为：此时闭环特征方程的根即为开环传送函数的零点。同样由也可得：法那么2. 根轨迹的分支数、对称性和延续性： 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有限极点数 n 中的大者相等，延续对称于实轴。当 mn 时，根轨迹终于开环传送函数的无穷远零
4、点。可得：开环传送函数中，假设令 s 当 mn 时， G(s)H(s) =0称 s mm时，根轨迹当 K*的渐进线可由下式而定：法那么4.实轴上的某一区域，假设其右边开环实数零、极点数之和为奇数，那么该区域必是根轨迹。法那么5.两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立刻分开的点，称为根轨迹的分别点，分别点的坐标d 是以下方程的解：例4-1.设系统构造如图，试绘制其概略根轨迹。解：画出 s 面上的开环零点，极点0，-2，-3。(1).实轴上 -3，-2，-1，0 是根轨迹。(2).根轨迹有三条分支，分别始于0，-2，-3； 终於-1和两个无限零点。有两条渐近线：(3).实轴上 -3，-2 内有
5、一分别点 d ：所以分别点为：d -2.47该方程可化为 d34 d2 +5 d +3=0 其根为： -2.4656，-0.7672 j 0.7926按上述法那么画出如右根轨迹图：-3 -2 -1 0例4-2.设单位反响系统开环传送函数为：试绘制闭环系统根轨迹。解：在 s 平面上开环极点有两个：-1j，开环零点-2。(1).实轴( ，-2为根轨迹。(2). 根轨迹有两条分支，始于-1+j和-1-j终於-2和。(3). 在( ，-2上有一分别点：即解得：舍去，作出该系统的根轨迹如以下图所示：-2-1+j-1-j-3.414现实上，该根轨迹图在复平面上圆的一部分：设+j是复平面上根轨迹的一点，那么
6、根据相角关系得：取正切：化简，得：即：所以，根轨迹的一部分是圆心在-2，0，半径为 的圆。法那么6.根轨迹的起始角与终止角：例4-3.设系统开环传送函数为：解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j 开环极点为0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51).实轴上(-，-2.5，-1.50为根轨迹。2).根轨迹有4条分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 终于-1.5，-，-2+j，-2-j；3). 无分别点；4). 起始角：终止角：法那么7.根轨迹与虚轴的交点假设根轨迹与虚轴相交，那么交点上的K*值和 可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s=j，然
7、后分别令其实部和虚部为零而求得。4-3.广义根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，以区别与开环增益K*为可变的常规根轨迹。绘制参数根轨迹与常规根轨迹方法一样。只需在绘制参数根轨迹前，引入等效单位反响系统系统和等效传送函数概念。例4-6. 分别有-比例，-为比例积分，- 测速反响控制系统。试分析Ta对系统性性能的影响，比较与在=0.5 时的特点广义跟轨迹运用举例：系统系统系统解：2、3系统开环传送函数一样：但其闭环传送函数不同：作以Ta为参数的根轨迹，系统闭环特征方程为：即：可以写成：令为等效开环传送函数，其等效开环零点为 0，等效开环极点为对于系统1，Ta=0，闭环极点就是作根轨迹图如p155，为确定0.5时的传送函数，作0.5的射线，可得闭环极点为：解得Ta=0.8，因此由幅值条件：而系统仍为：可得到 p155 p156之结果。零度根轨迹非最小相位系统凡在s右半平面没有开环零极点系统称为：最小相位系统
