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1、12-1 等值线（面）的概念等值线（面）的概念12-2 二次型函数（自学）二次型函数（自学）12-3 多元函数的方向导数与梯度多元函数的方向导数与梯度12-4 共轭方向共轭方向第12章 优化设计数学基础12-5 函数极值的判别函数极值的判别112-1 等值线（面）的概念等值线（面）的概念 一组设计变量在设计空间中能唯一一组设计变量在设计空间中能唯一的确定一个点（设计方案），一个设计的确定一个点（设计方案），一个设计方案只对应一个确定的目标函数值。而方案只对应一个确定的目标函数值。而某个目标函数值则可能对应多个设计方某个目标函数值则可能对应多个设计方案，我们把这多个设计方案组成的空间案，我们把这
2、多个设计方案组成的空间点集称为等值线（面）。点集称为等值线（面）。2x2x1f(x)4 将目标函将目标函数取不同值所数取不同值所画出的曲线或画出的曲线或曲面，称为目曲面，称为目标函数的等值标函数的等值线或等值面。线或等值面。 3x1x2f(x)4规律：规律： 1、越靠近内层的等值线，、越靠近内层的等值线，对应的函数值越小。对应的函数值越小。 2、等值线越密的部位，其、等值线越密的部位，其函数值变化率越大。函数值变化率越大。 3、对有心等值线簇而言，其中心就是一个、对有心等值线簇而言，其中心就是一个相对极小点。相对极小点。 4、对无心等值线簇而言，其相对极小点在、对无心等值线簇而言，其相对极小点
3、在无穷远处。无穷远处。x1x2f(x)4 对于一个二元二次函数而言对于一个二元二次函数而言 其等值线形状与系数之间有如下关系：其等值线形状与系数之间有如下关系： 椭圆形椭圆形抛物线抛物线双曲线双曲线5 试求下列函数等值线的形状试求下列函数等值线的形状 椭圆形椭圆形抛物线抛物线双曲线双曲线6【例【例1】已知目标函数】已知目标函数 试用图解试用图解法求在满足不等式约束下的最优解法求在满足不等式约束下的最优解X*和和F(X* )7X1X28 练习：练习： 试将下述优化问题的目标函数试将下述优化问题的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来。等值线和约束边界曲线勾画出来。9X1X210X1X21、 是否为
4、可行设计？是否为可行设计？ 2、 是否为内点？是否为内点？ 3、可行域是、可行域是否为凸集？否为凸集？11X1X2X1X2x(1)x(2)x(1)x(2)凸集凸集非凸集非凸集1212-3 梯度梯度 函数函数f(x)在在x点处的梯度记为：点处的梯度记为：1、 梯度矢量与过点梯度矢量与过点x的等值线的切线正交的等值线的切线正交2、 负梯度方向是函数在负梯度方向是函数在x点处的最速下降点处的最速下降方向方向1312-5 函数极值的判别和函数极值的判别和K-T条件条件 1、无约束目标函数的极值问题、无约束目标函数的极值问题多元函数在多元函数在x*取极小（大）值的条件是：取极小（大）值的条件是：14 对
5、称矩阵对称矩阵A为正定的为正定的充分必要条件充分必要条件是：是：A的各阶主子式都为正。的各阶主子式都为正。 对称矩阵对称矩阵A为负定的为负定的充分必要条件充分必要条件是：奇是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。15 对称矩阵对称矩阵A为正定的为正定的充分必要条件充分必要条件是：是：A的各阶主子式都为正。的各阶主子式都为正。16例：例：求下列函数的极值。求下列函数的极值。为极小值。为极小值。为极小值点。为极小值点。1712-5 函数极值的判别和函数极值的判别和K-T条件条件 2、有约束目标函数的极值问题、有约束目标函数的极值问题有约束问题的极值条件为：有约束问题的极值条件为：此判别条件称为此判别条件称为K-T条件。条件。18例：例：极小值优化问题：极小值优化问题：s.t.用用K-T条件判断点条件判断点是否为此优化问题的极小点。是否为此优化问题的极小点。19练习：练习：试判断试判断问题的最优点。问题的最优点。是否为下列约束优化是否为下列约束优化20
