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1、第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 第3章 自动控制系统的数学模型引言引言物理系统的建模物理系统的建模系统的微分方程系统的微分方程传递函数及其图形表示法（框图）传递函数及其图形表示法（框图）典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数自动控制系统的框图（结构图）自动控制系统的框图（结构图）框图的等效变换，化简和系统的闭环传递框图的等效变换，化简和系统的闭环传递函数函数自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 引言研究自动控制系统的方法与目的实际控制系统实际系统的组成框图建立各组成工作框的数学模型系统稳定性系统稳态性系统动态性找出改
2、进系统的有效方法应用分析研究 系统建模搞清系统的工作原理自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 建立实际系统的数学模型是控制系统分析与设计过程中最为重要的一项工作。对控制系统的研究在很大程度上依赖于应用数学对系统数学模型的分析和研究。在经典自动控制理论中，自动控制系统的应用数学是建立在拉氏变换的基础上的。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3.1 系统的微分方程 描述一个控制系统的输入量和输出量之间描述一个控制系统的输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法是列写系统的的关系的最直接的数学方法是列写系统
3、的微分方程（微分方程（Differential Equation of Differential Equation of SystemsSystems）。当系统的输入量和输出量都是）。当系统的输入量和输出量都是时间时间t t的函数时，其微分方程可以确切地描的函数时，其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。微分方程是系统最基述系统的运动过程。微分方程是系统最基本的数学模型。本的数学模型。自动控制系统的组成可以是电气的，机械自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的系统的数学模型却可以是相同的即微即微分方
4、程。分方程。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 建立系统微分方程的一般步骤全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。 一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。 将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微量，求取一个仅含
5、有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。分方程，它就是系统的微分方程。 将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。时间常数等。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 一阶电路数学模型的建立根据KVL，有：把它们代入电路方程，可得到该一
6、阶RC电路输入与输出信号间的的微分方程：和再根据欧姆定律及电容元件上的电压电流的约束关系，有：+RC+-UCU si我们取电容两端的电压为该一阶RC电路的输出电压自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 模拟电路数学模型的建立解决这个问题的方法是：先将模拟电路按放大解决这个问题的方法是：先将模拟电路按放大器的个数及输入输出关系分开；然后一级一级器的个数及输入输出关系分开；然后一级一级地写出其各自的电路方程；最后再找出其总的地写出其各自的电路方程；最后再找出其总的输入与输出之间的关系。输入与输出之间的关系。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系
7、统的数学模型自动控制系统的数学模型 利用虚短 的概念，可知：由虚断 的概念，可得：又因为：，所以代入上面相关的等式可得：对上式两边求导，可得：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 现在，我们将 代入上面所求，在消去中间变量之后有：这是一个点型的反相比例运算放大器，由反相比例运算公式可得：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 一个简单的机械系统的数学模型mfF (t)K这是一个弹簧质量阻尼器的机械位移系统。质量为m的物体在外力F（t）的作用下，移动了x（t）距离。F1(t)F2(t)由牛顿运动定律可得：自
8、动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3.2 传递函数 传递函数是在用拉氏（Laplace）变换求解微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程这一数学模型不仅计算麻烦，并且它所表示的输入、输出之间的关系复杂而不明显。经过拉氏变换后，微分方程变成了一种代数方程，可以进行简单的代数运算。如果用简单的代数比值描述系统输入、输出之间关系，就建立了所谓传递函数这一系统的数学模型。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 一般来说：如果系统的输入量为r (t)， 输出量为c (t)， 并且系统可以由下列微分方程描述:则在初
9、始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换,可得：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 提出公因式，有：整理，得：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 因此，传递函数的定义可为：在初始条件为零时，在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即：初始条件为零，是指输入量在初始条件为零，是指输入量在t=0t=0时刻以后才作用于系统，系统时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在的输入量和输出量及其各阶导数在t t0 0时的值也均为零。时的值也均为零。 式中：K为常数,称系统的增益；
10、Z1为分子多项式的根,称为零点；P1为分母的根,称为极点。零点与极点可为实数、虚数或复数(若为虚数或复数,则必为共轭虚数或共轭复数)。 传递函数G (s)=输出量的拉氏变换 输入量的拉氏变换 自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 传递函数的性质 传递函数和微分方程之间存在着一一对应的关系。传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，它代表了系统的固有特性，是一种数学模型，称为系统的复数域模型。传递函数是一种运算函数。由 可得 传递函数的分母多项式传递函数的分母多项式 ，即为微分方程的特征方，即为微分方程的特征方程。程。传递函数是一种数学模型，因此对不同
11、的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3.3 传递函数的图形表示法框图 框图（Block Diagram）:是传递函数的一种图形表示方法，它可以形象地描述由传递函数定义的系统输出与输入之间的关系。尤其是当自动控制系统由几个环节组成时，这种图形表示更具有简明直观、运算方便的优点，所以在自动控制系统的分析中具有广泛的应用价值。G（S）R（S）C（S）图形表示法：根据传递函数的定义，以上图形表示的数学含义为：功能框 信号线，其中的
12、信号线，其中的箭头表示了信号箭头表示了信号的流向的流向 自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 用传递函数建立电路系统的数学模型阻抗分析法 由电路基础，我们知道电路系统中只有三种电路基本无件，它们是：电阻元件、电容元件和电感元件。而任一电路无论其多么复杂，都可以看成是这三种基本元件通过不同的连接方式组合而成。因此利用这三种元件的基本伏安特性关系，我们可以推导出它们在复平面（s域）上的基本传递函数表达式，而这种传递函数表达式就被称为是传递函数的阻抗表达式。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 例：求下列电路
13、的传递函数解：由于电路中的各元件都是复数阻抗法，所以利用简单的串并联关系及串联分压定理就可以得到：利用阻抗法建立复平面上的电路模型整理后，得：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 例：求下列电路的传递函数解：利用阻抗法建立复平面上的电路模型自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 利用虚断及虚短的概念，可知：因为：所以有：整理后，得：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3.4 典型环节的传递函数和功能框比例环节(Proportional Element)：也称
14、为放大环节，其输出量与输入量之间的微分方程为：式中k是常数，称为增益或放大系数。因此对上式两边取Laplace变换后的传递函数及框图为：kC (s)R (s)任何一个复杂的系统，总可以看成是由一些典型环节任何一个复杂的系统，总可以看成是由一些典型环节通过一定的方式连接而成。因此掌握这些典型环节的通过一定的方式连接而成。因此掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析实际的自动控制系统。特点，可以更方便地分析实际的自动控制系统。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 积分环节(Integral Element):输出量是输入量对时间的积分。其微分方程为：式
15、中T是积分时间常数。因此对上式两边取Laplace变换后的传递函数及框图为：1/TsC (s)R (s)自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 惯性环节(Inertial Element):其微分方程为：式中T是惯性环节的时间常数，因此对上式两边取Laplace变换后的传递函数及框图为：1/Ts+1C (s)R (s)自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 比例微分环节(Derivative Element):输出量是输入量对时间的积分。其微分方程为：C (s)R (s)式中, 为微分时间常数。比例微分环节
16、的传递函数恰与惯性环节相反，互为倒数。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 振荡环节(Oscillating Element):其微分方程为：式中T是振荡环节的时间常数，因此对上式两边取Laplace变换后的传递函数：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 C (s)R (s)为振荡环节的阻尼比为振荡环节的无阻尼自然频率若令：，则上式可化成：其中：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 延迟环节(Delay Time):输出量与输入量的变化形式相同，但时间上会延
17、迟一段时间 ，所以又称为纯滞后环节，其时域方程为：式中 是纯延迟时间，因此由拉氏变换的延迟定理可得：C (s)R (s)当 很小时，延迟环节可近似为一惯性环节：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 直流他励电机晶闸管整流装置给定电压3.5 自动控制系统的框图 实例：实例：实例：实例：V-MV-MV-MV-M直流调速系统中的典型环节及框图直流调速系统中的典型环节及框图直流调速系统中的典型环节及框图直流调速系统中的典型环节及框图给定电压晶闸管整流装置他励直流电动机UcUdn系统组成框图自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制
18、系统的数学模型 给定电压晶闸管整流装置他励直流电动机UcUdnM-V直流调速系统的组成框图直流调速系统的组成框图直流调速系统的组成框图直流调速系统的组成框图自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 U（S）N（S）Uc（S）Ud（S）自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 系统框图的物理含义 系统框图是一种形象化的数学模型，它之所以重要，是因为它清晰而严谨地表达了系统内部各单元在系统中所处的地位与作用，表达了各单元之间的内在联系，可以使我们更直观地理解它所表达的物理含义。 自动控制系统的数学模型第第3 3章章
19、 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 首先是列出系统各个环节的的传递函数，再将各首先是列出系统各个环节的的传递函数，再将各环节的传递函数用图形环节的传递函数用图形功能框表示出来。功能框表示出来。在各环节功能框的基础上，先确定系统的给定量在各环节功能框的基础上，先确定系统的给定量( (输入量输入量) )和输出量，然后从给定量开始，由左至和输出量，然后从给定量开始，由左至右，根据信号间相互传递的顺序，依次将各个功右，根据信号间相互传递的顺序，依次将各个功能框连接起来，直至得出所需要的输出量。能框连接起来，直至得出所需要的输出量。然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标然后由内到外，画出
20、各反馈环节，最后在图上标明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。这样就可以得到整个控制系统的框图。这样就可以得到整个控制系统的框图。 系统框图的画法 自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 G（S）R（S）C（S）功能框：功能框：框左边向内箭头为输入量（拉氏式）， 框右边向外箭头为输出量（拉氏式）， 框内为系统中相对独立单元的传递函数G (s)。它们一起共同反映了系统输入信号与输出信号之间的关系。即：代数表示法图形表示法从功能框图上，可以很容易看到这个方框与其两边信号之间的关系，即：框图的构成要素自动控制系统的
21、数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 N（S）N（S）信号线：信号线：表示信号流通的路径和方向，流通方向用箭头表示。在系统的前向通路中，箭头指向右方，信号由左向右流通。 在反馈通路中，箭头指向左方，信号由右向左流通。因此输入信号在最左端，出信号在最右端。引出点：引出点：表示信号由该点取出。 从同一信号线上取出的信号， 其大小和性质完全相同。 N（S）N（S）引出点自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 R（S）B（S）E（S）=R（S）- - B（S）- -+比较点：比较点：又称和点（Summing Point）， 其
22、输出量为各输入量的代数和。因此在信号输入处要注明它们的极性。 R（S）B（S）E（S）=R（S）+ B（S）+ +自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图图3-3 3-3 一个典型自动控制系统框图结构一个典型自动控制系统框图结构 自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 例:求出此模拟控制电路的系统框图由给定的模拟控制电路系统原理图绘制该系统的组成框图，并通过瞬时极性法确定反馈类型。- -+比例比例环节环节积分积分环节环节惯性惯性环节环节Uo1(s)Uo2(s)综合点引出点自动控制系统的数学模型第第3 3章
23、章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 由于此模拟电路各环节都为典型环节,所以可以利用书中典型环节的示例来求其传递函数；当然也可以利用阻抗法来求出各环节的传递函数。- -+比例比例环节环节积分积分环节环节惯性惯性环节环节Uo1(s)Uo2(s)自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 此电路为一积分环节，但由于输入端为信号 和信号 的叠加，所以利用叠加原理的传递函数，可知：1、当 单独作用时，令由典型积分环节的传递函数，可得：这里要注意叠加定理的应用这里要注意叠加定理的应用自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系
24、统的数学模型 利用叠加原理：2、当 单独作用时，令- -+框图：，并考虑到运算放大器的瞬时极性自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 此电路为一比例环节，利用典型环节的传递函数，可知： 考虑到运算放大器的瞬时极性并代入参数，则有：-1框图:自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 此电路为一惯性环节，利用典型环节的传递函数，可知：考虑到运算放大器的瞬时极性并代入参数，则有：框图：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 从输入端开始，按信号流向依次将各环节连接成一从输
25、入端开始，按信号流向依次将各环节连接成一个整体，则有系统方框图如下图所示：个整体，则有系统方框图如下图所示：- -+-1自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3.6 框图的变换、化简和系统闭环传递函数的求取 框图的等效变换规则 1.串联变换规则 当系统中有两个(或两个以上)环节串联时，其等效传递函数为各环节传递函数的乘积。即： 对照图a和b可见，变换前后的输入量与输出量都相等，因此a、b两图等效。 自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.并联变换规则当系统中有两个(或两个以上)环节并联时，其等效传递函
26、数为各环节传递函数的代数和。即对照图a与b不难看出，变换前后的输入量与输出量都相等，因此a、b两图等效。 自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3.反馈联接变换规则反馈联接的框图的变换如图a和b所示。由图a可见 由前面三个关系式，由前面三个关系式，消去中间变量消去中间变量E E（s s）和和B B（s s），可得：），可得： 自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 式中： 前向通道的传递函数； 反馈通道的传递函数； 闭环系统的传递函数； 闭环系统的开环传递函数。上式即为反馈联接的等效传递函数，一般称它为闭
27、环传递函数，以 表示。式中分母中的加号，对应于负反馈；减号对应于正反馈。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 4.引出点和比较点的移动规则移动规则的出发点是等效原则，即移动前后的输入量与输出量保持不变。移动前后框图的对照表-所示。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 例：交叉反馈系统的化简根据研究目的确定系统的输入和输出。输入、输出确定后，从输入至输出的通道就成为前向通道。将由串联、并联、反馈连接所组成和各个的环节由等效环节代替。把闭环系统简化成最基本的方框图形式， 并求出其总的传递函数。自动控制系统的
28、数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 引出点后移去掉交叉环节H2- -+G1G2- -+G3H1/G3利用化简去掉局部反馈环节H2- -+G1G2+G3H-自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 - -+G1H11/G3利用串联等效化简前向及反馈通道- -+自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 例：含的扰动量的闭环系统传递函数的求取- -+G1(s)G2(s)+H (s)R（S）D（S）C（
29、S）含有扰动量的自动控制系统的典型结构自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 1、在输入量R (s)作用下的闭环传递函数和系统的输出 若仅考虑输入量R R ( (s s) )的作用，则可以暂时略去扰动量D (s)。其系统框图如下：- -+G1(s)G2(s)H (s)R（S）C（S）此时可得到输出量C (s)对输入量R (s)的闭环传递函数。表示为：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 此时系统在R（s）作用下的输出量（拉氏式）Cr (s)为：2、在扰动量N(s)作用下的闭环传递函数和系统输出 若仅考虑扰
30、动量N(s)的作用，则可暂略去输入量R（s)，这时原系统框图可变换成下图所示。（在进行变换时，负反馈环节中的负号仍需保留）。自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 这样输出量这样输出量C Cd d( (s s) ) 对扰动量对扰动量N N（s s）的闭环传递函数为：）的闭环传递函数为：- -+G1(s)G2(s)H (s)D（S）C（S）此时系统输出量（拉氏式）Cd(s)为：自动控制系统的数学模型第第3 3章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3、在输入量和扰动量同时作用下系统的总输出 由于设定此系统为线性系统，因此可以应用叠加原理，即当输入量和扰动量同时作用时，系统的输出可看成两个作用量分别作用的叠加。有：自动控制系统的数学模型
