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1、第四章第四章 级数级数第一节 复数项级数第二节 幂级数第三节 泰勒级数第四节 洛朗级数1一、复数列的极限二、级数的概念第一节第一节 复数项级数复数项级数三、典型例题四、小结与思考2一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义记作记作32.复数列收敛的条件复数列收敛的条件那末对于任意给定的那末对于任意给定的就能找到一个正数就能找到一个正数N,证证4从而有从而有所以所以同理同理反之反之, 如果如果5从而有从而有定理一说明定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.证毕证毕6课堂练习课堂练习: :下列数列是否收敛下列数列是否收敛?
2、如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.7二、级数的概念二、级数的概念1.1.定义定义表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和8收敛与发散收敛与发散说明说明: 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:9102.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为定理二定理二11说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二定理二)12解解所以原级数发散所以原级数发散. 课堂练习课堂练习13必
3、要条件必要条件重要结论重要结论:14不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示: 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.153. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛注意注意 应用正项级数的审敛法则判定应用正项级数的审敛法则判定.定理三定理三16证证由于由于而而根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则, 知知17由定理二可得由定理二可得证毕证毕18非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定义
4、定义19所以所以综上综上:20下列数列是否收敛下列数列是否收敛, 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.而而解解 三、典型例题三、典型例题例例1 121解解 所以数列发散所以数列发散.22例例2 2 解解 级数满足必要条件级数满足必要条件, 但但23例例3 3故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解24故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.例例4 4解解25四、小结与思考四、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收
5、敛及复数项级数收敛与绝对收敛熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质收敛与条件收敛的概念与性质. 26思考题思考题27思考题答案思考题答案否否.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .28第二节第二节 幂级数幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考29一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,
6、记作记作 30称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数31称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛, 那末它的和一定那末它的和一定322. 2. 幂级数幂级数当当或或函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.33二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数在在收敛收敛, 那末对那末对的的级数必收敛且绝对收敛级数必收敛且绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数
7、必发散级数必发散.满足满足阿贝尔介绍阿贝尔介绍34证证由收敛的必要条件由收敛的必要条件, 有有因而存在正数因而存在正数M, 使对所有的使对所有的n, 35而而由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知:收敛收敛.另一部分的证明请课后完成另一部分的证明请课后完成.证毕证毕362. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛的情况有三种其收敛的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛. .37(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此
8、时此时, 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.如图如图:38.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.39答案答案: 幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一不能作出一般的结论般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛
9、散性如何?403. 收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1: 比值法比值法( (定理二定理二) ):那末收敛半径那末收敛半径注意注意:存在且不为零存在且不为零 .定理中极限定理中极限41如果如果:即即(极限不存在极限不存在),即即42答案答案课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数的收敛半径的收敛半径.43方法方法2: 根值法根值法(定理三定理三)那末收敛半径那末收敛半径说明说明:(与比值法相同与比值法相同)如果如果44三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算452. 幂级数的代换幂级数的代换( (复合复合) )运算运算如果当如果当时时,又设在又设
10、在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,说明说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.46定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为那末那末(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数 .(1)3. 复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质47(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 简言之简言之: 在收敛圆内在收敛圆内, , 幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导, , 逐项积分逐项积分. .(常
11、用于求和函数常用于求和函数)即即48四、典型例题四、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为49级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.且有且有收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内, 级数绝对收敛级数绝对收敛, 收敛半径为收敛半径为1,50解解所以所以例例2 求求 的收敛半径的收敛半径.51例例3 把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数, 其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数 .解解把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式:代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中
12、出现凑出凑出52级数收敛级数收敛,且其和为且其和为53例例4 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解利用逐项积分利用逐项积分,得得:所以所以54例例5 计算计算解解55五、小结与思考五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质数的运算性质.56思考题思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?57由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上确定确定, 可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论数敛散性讨论.思考题答案思
13、考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .58第三节第三节 泰勒级数泰勒级数二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考60一、问题的引入一、问题的引入问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点内任意点如图如图:.K.61由柯西积分公式由柯西积分公式 , 有有其中其中 K 取正方向取正方向.则则.K.内任意点内任意点6263由高阶导数公式由高阶导数公式, 上式又可写成上式又可写成其中其中可知在可知在K内内64令令则在则在K上连续上连续, 65即存在一个正常数即存在一个正常数M,66在在内成立内成
14、立,从而在从而在K内内 圆周圆周的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要内成立内成立.在在的泰勒展开式的泰勒展开式,在在泰勒级数泰勒级数67如果如果到到的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为那末那末在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立因为凡满足因为凡满足的的必能使必能使由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理在在的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径至少等于，至少等于，但但68二、泰勒定理二、泰勒定理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距
15、离, 那末那末点点,时时,成立成立,当当泰勒介绍泰勒介绍69说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多; (想一想想一想, 为什么为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 70因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数，展开式是否唯一？展开
16、式是否唯一？71那末那末即即因此因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数勒级数, 因而是唯一的因而是唯一的.72三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数73例如，例如，故有故有74仿照上例仿照上例 , 752. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析结合解析函数的性质函数的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧
17、 (代换等代换等) , 求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 . 76例如，例如， 77附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式7879例例1 1解解四、典型例题四、典型例题80上式两边逐项求导上式两边逐项求导,81例例2 2分析分析如图如图,82即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分, 得得解解83例例3 3 解解84例例4 4 解解85例例5 5解解86例例6 6解解即微分方程即微分方程对
18、微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:8788五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.89奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题90 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项, 偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结
19、束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .91第四节第四节 洛朗级数洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题93一、问题的引入一、问题的引入问题问题:负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛94收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R95结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :.96例如，例如，都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析的内都是解析的.而而2. 问题问题: :在圆环
20、域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数? ?97所以所以即即内可以展开成级数内可以展开成级数.也可以展开成级数：也可以展开成级数：98二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数为洛朗系数.99证证对于第一个积分对于第一个积分:Rr.z.100对于第二个积分对于第二个积分:101其中其中102下面证明下面证明103则则104如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单闭曲线闭曲线 . 则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕105说明说
21、明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .106三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺
22、点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦.107根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法108四、典型例题四、典型例题例例1 1解解由定理知由定理知:其中其中109故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:110另解另解本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,111例例2 2 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f (z)
23、在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解112oxy111312oxy由由且仍有且仍有1142oxy由由此时此时115仍有仍有116注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项, 而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点, 但是但是可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是1172. 给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同
24、的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛118解解 例例3119例例4 4解解 120例例5 5内的洛朗展开式内的洛朗展开式. 解解 121122123五、小结与思考五、小结与思考 在这节课中在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点数是本节的重点和难点.124洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题思考题125 洛朗级数是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数; 思考题答案思考题答案是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系. . 洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数的收敛区域是圆环域放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .126
