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1、第十八章不等式选讲高考理数高考理数1.不等式的性质和绝对值不等式(1)解绝对值不等式的基本思想解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号,常采用的方法是讨论符号或平方,例如:(i)若a0,则|x|a-axax2a2;(ii)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)0),当且仅当a=b时取等号.知识清单(3)平均数定理:(a,b,c0),当且仅当a=b=c时取等号.(a1+a2+an)(ai0,i=1,2,n),当且仅当a1=a2=an时取等号.(4)绝对值三角不等式定理1:|a|+|b|a+b|(a,bR),当且仅当ab0时等号成立;定理2:如果a,b,cR,那么|
2、a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立;|a|-|b|a+b|.注意:含绝对值的三角不等式|a|-|b|a|-|b|ab|a|+|b|中,对于等号成立的条件应注意:|a+b|=|a|+|b|中,ab0,而|a-b|=|a|+|b|中,ab0等.3.柯西不等式(1)一般形式:设a1,a2,an,b1,b2,bn为实数,则(+)(+)(a1b1+a2b2+anbn)2.当且仅当bi=0,或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立.(2)二维形式的柯西不等式:代数形式:设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.上
3、式等号成立ad=bc.向量形式:设,为平面上的两个向量,则|.当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时,等号成立.三角形式:设x1,x2,y1,y2R,则+,其几何意义是三角形两边之和大于第三边.注意:不等式成立的条件要准确把握,如a2+b22ab(a,bR),a+b2(a,b0),柯西不等式中ai,bi(i=1,2,n)均为实数等.4.不等式的证明(1)综合法:从命题的已知条件出发,利用公理、定义及定理,逐步推导,从而最后导出要证明的命题.(2)分析法:从需要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证
4、的命题成立.(3)反证法:首先假设要证明的命题是不正确的,然后利用公理、定义、定理、性质等,逐步分析,得到和命题的条件(或已证明过的定理、性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明原来的结论正确.(4)放缩法:将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁到简,达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式,把分母放大,则相应分式的值缩小,把分母缩小,则分式的值放大.(5)若a1,a2,b1,b2R,则(a1+a2)(b1+b2)(a1b1+a2b2)2,等号成立a1b2=a2b1.(6)设,为平面上的两个向量,则|,当且仅当是零向量,或存在实数k,使=k时,等号成
5、立.(7)设a1,a2,b1,b2为实数,则+,等号成立存在非负实数,使得a1=b1,a2=b2.(8)设平面上三点坐标为A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2),则+,其几何意义:|AB|+|BC|AC|.(9)一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(i)证明当n取初始值n0时命题成立;(ii)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.形如|x-a|+|x-b|c(或0)型的不等式主要有三种解法:1.零点分段讨论法:
6、含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段讨论法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组),一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根;(2)将这些根按从小到大排序,它们把实数集分为若干个区间;(3)在所分的各区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,求所得的各不等式在相应区间上的解集;(4)这些解集的并集就是原不等式的解集.2.利用绝对值的几何意义由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利
7、用绝对值的几何意义求解更直观.3.数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.突破方法方法方法1绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法例例1(2013辽宁,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|,其中a1.(1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.解析解析(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1;当2x4时,f(x)4-|x-4|无解;当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-6
8、4,解得x5,所以f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5.(4分)(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|2,解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,所以于是a=3.(10分)1-1(2015贵州一模,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|.(1)当a=3时,求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)5-x对任意xR恒成立,求实数a的取值范围.解析解析(1)a=3时,f(x)2即为|2x-3|+|x-1|2.当x时,不等式即为2x-3+x-12,解得x2.当1x时,不等式即为3-2x+x-12,2-x2,xm的解集是空集,则f(x
9、)m恒成立),此两类问题都可转化为最值问题,即f(x)f(x)max,f(x)a恒成立a0,b0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析解析(1)由=+,得ab2,且当a=b=时等号成立.故a3+b324,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.方法方法2基本不等式的应用基本不等式的应用(2)由(1)知,2a+3b24.由于46,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.2-1(2016云南富宁二模,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x时,f
10、(x)g(x),求a的取值范围.解析解析(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0,所以原不等式的解集是x|0xcd,则+;(2)+是|a-b|cd得(+)2(+)2.因此+.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得+.方法方法3不等式的证明不等式的证明(ii)若+,则(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+
11、d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|c-d|的充要条件.3-1(2013课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca;(2)+1.证明证明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca.(2)因为+b2a,+c2b,+a2c,故+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c.所以+1.很多重要不等式的证明和求最值都可以由柯西不等式
12、导出,常利用常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等方式利用柯西不等式.例例4(2014福建,21(3),7分)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.解析解析(1)|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2时,等号成立,f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r23.方法方法4柯西不等式的应用柯西不等式的应用4-1(2016四川成都质检)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.答案答案解析解析由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2,即5(m2+n2)25,(m2+n2)5,所以的最小值为.
