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1、14-4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 纯弯曲纯弯曲 (pure bending) 梁或梁上的某段内各横截梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。力。2 横力弯曲横力弯曲 (bending by transverse force) 梁的横截梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。切应力。3I. 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导计算公式的推导 (1) 几何方面
2、几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图图a)：4弯曲变形动画弯曲变形动画5 1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和和nn间的纵向间的纵向直线段直线段aa和和bb(图图b)，在梁弯曲后成为弧线，在梁弯曲后成为弧线(图图a)，靠近梁，靠近梁的顶面的线段的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；则伸长；6 2. 相邻横向线相邻横向线mm
3、和和nn(图图b)在梁弯曲后仍为直线在梁弯曲后仍为直线(图图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和和bb保持正交。保持正交。7 根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设假设)：平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面纵向平面)的某一轴转动，转动后的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。的横
4、截面与梁弯曲后的轴线保持正交。8 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层中性层 (图图f)，而中性层与，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中中性轴性轴 (neutral axis)。9令中性层的曲率半径为令中性层的曲率半径为r r(如图如图c)，则根，则根据曲率的定义据曲率的定义 有有纵向线应变在横截面范围内的变化规
5、律纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图图c为由相距为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq q。梁。梁的横截面上距中性轴的横截面上距中性轴 z为任意距离为任意距离 y 处的纵向线应变由图处的纵向线应变由图c可可知为知为10 即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e e与与该点至中性轴的距离该点至中性轴的距离 y 成正比。成正比。弯曲变形动画弯曲变形动画11 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，
6、小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内认为梁内各点均处于单轴应力状态各点均处于单轴应力状态。 (2) 物理方面物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。找出横截面上正应力的变化规律。 梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有时，有 这表明，直梁的横截面上的正应力沿这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图如图)。M12 (3) 静力学方面静力学方面 藉以找出藉以找出确定中性轴
7、位置确定中性轴位置的的条件条件以以及横截面上及横截面上正应力的计算公式正应力的计算公式。 梁的横截面上与正应力相应的法向梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素内力元素s sdA(图图d )不可能组成轴力不可能组成轴力( )，也不可能组成对于与中性轴垂直的，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴轴(弯曲平面内的轴弯曲平面内的轴)的内力偶矩的内力偶矩( )，只能组成对于中性轴，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，的内力偶矩，即即13将将 代入上述三个静力学条件，有代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c) 以上三式中的以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关都是只与截面的形状和尺
8、寸相关的几何量，统称为的几何量，统称为截面的几何性质截面的几何性质，而其中，而其中14 为截面对于为截面对于z轴的静矩轴的静矩(static moment of an area)或一次矩，其单位为或一次矩，其单位为m3。 为截面对于为截面对于y轴和轴和z轴的惯性积，其单位为轴的惯性积，其单位为m4。 为截面对于为截面对于z轴的惯性矩轴的惯性矩(moment of ineritia of an area)或二次轴矩，其单位为或二次轴矩，其单位为m4。15 由于式由于式(a)，(b)中的中的 不可能等于零，因而该两式要求：不可能等于零，因而该两式要求： 1. 横截面对于中性轴横截面对于中性轴 z
9、的静矩等于零，的静矩等于零， ；显；显然这是要求中性轴然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；通过横截面的形心； 2. 横截面对于横截面对于 y 轴和轴和 z 轴的惯性积等于零，轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲情况下，在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。自动满足。(a)(b)(c)16由式由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的上式中的EIz称为梁的称为梁的弯曲刚度弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截不随截
10、面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。 将上式代入得出的式子将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算即得弯曲正应力计算公式：公式：(c)17 应用此式时，如果如图中那样取应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正的正负，则在弯矩负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其按以前的规定确定其正负的情况下，所得正负的情况下，所得正应力的正负自动正应力的正负自动表示拉应力或压应力表示拉应力或压应力。但实际应用中往。但实际应用中往往直接根据横截面上往直接根据横截面上弯矩的转向及求正
11、弯矩的转向及求正应力的点在中性轴的哪一侧来判别弯曲应力的点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力正应力为拉应力还是压应力；在此情况；在此情况下可以把式中的下可以把式中的 y 看作求应力的点离中看作求应力的点离中性轴性轴 z 的距离。的距离。18 中性轴中性轴 z 为横截面对称轴的梁为横截面对称轴的梁 (图图a，b) 其横截面上最大其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴不是横截面对称轴的梁的梁 (图图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。相等。dzyo o(b)
12、 yc,max yt,maxyz bd d1 1 hOd d2(c) hbzyo(a)19 中性轴中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值的值s smax为为式中，式中，Wz为截面的几何性质，称为为截面的几何性质，称为弯曲截面系数弯曲截面系数(section modulus in bending)，其单位为，其单位为m3。hbzyodzyo o20思考题思考题12122zz思考题思考题22324 中性轴中性轴 z 不是横截面的对称轴时不是横截面的对称轴时(参见图参见图c)，其横截面上，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为最大拉应力值和最
13、大压应力值为25zbFlhbFlh思考题思考题32627II. 纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生由于切应力的存在而发生翘曲翘曲(warping)。此外，横向力还。此外，横向力还使各纵向线之间发生使各纵向线之间发生挤压挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面
14、简支梁，当其跨长与截面高度之比形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 l / h大于大于5时，梁时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即用于横力弯曲情况，即28 图图a所示简支梁由所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图尺寸见图b。已知。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应。试求危险截面上的最大正应力力s smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处和同一横截面上翼缘
15、与腹板交界处a点处点处( (图图b) )的正的正应力应力s sa。例题例题 1291. 在不考虑梁的自重在不考虑梁的自重(1.041kN/m)的情况下，该梁的弯矩图的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为为危险截面，相应的最大弯矩值为解解:例题例题 130由型钢规格表查得由型钢规格表查得56a号工字钢截面号工字钢截面于是有于是有危险截面上点危险截面上点a 处的正应力为处的正应力为例题例题 131 该点处的正应力该点处的正应力s sa亦可根据直梁横截亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴面上的正应力在与中性轴z 垂直的方向按垂直的方向按直线变化的规律，利
16、用已求得的该横截面直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的上的s smax=160 MPa来计算：来计算：例题例题 132显然，梁的自重引起的最大正应力仅为显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。所引起的最大正应力。 如果考虑梁的自重如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为相应的最大弯矩值变为例题例题 133III .梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截等直梁横截面上的最大正应力发生在
17、最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：来建立梁的正应力强度条件：式中，式中，s s为材料的许
18、用弯曲正应力。为材料的许用弯曲正应力。34对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作 由拉、压许用应力由拉、压许用应力s st和和s sc不相等的铸铁等脆性材料制不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力s st,max和最大和最大工作压应力工作压应力s sc,max分别达到分别达到(或接近或接近)材料的许用拉应力材料的许用拉应力s st和和许用压应力许用压应力s sc 。35图图
19、a所示工字钢制成的所示工字钢制成的梁，其计算简图可取梁，其计算简图可取为如图为如图b所示的简支梁。所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力钢的许用弯曲正应力s s =152 MPa 。试选。试选择工字钢的号码。择工字钢的号码。例题例题 2361.画画M图，并确定图，并确定Mmax。弯矩图如图弯矩图如图c所示所示解解:例题例题 237强度条件强度条件 要求：要求： 此值虽略小于要求的此值虽略小于要求的Wz但相差不到但相差不到1%，故可以选用，故可以选用56b工字钢。工字钢。由型钢规格表查得由型钢规格表查得56b号工字钢的号工字钢的Wz为为2. 求求Wz，选择工字钢型号，选择工字钢型号例题例题 238 图
20、图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心C的位置，的位置，如图如图b所示。已知横截面对于中性轴所示。已知横截面对于中性轴z 的惯性矩的惯性矩Iz=5493104 mm4，b=2 m。铸铁的许用拉应力。铸铁的许用拉应力s st=30 MPa，许用压应力，许用压应力s sc=90 MPa 。试求梁的许用荷载。试求梁的许用荷载F。例题例题 339铸铁的拉压强度不等，其强度条件为铸铁的拉压强度不等，其强度条件为s st,max s st ，s sc,maxs sc。由由M图可知，图可知，B、C截面上正应力的分布规律如图截面上正应力的分布规律如图d所示。所示。 B
21、、C截面上的最大拉应力分别为截面上的最大拉应力分别为和和 。可见全梁的最大拉应力为可见全梁的最大拉应力为 。显然。显然 。86134C截面截面B截面截面(d)解解:例题例题 3+401. 由由s st,max s st 确定确定F。F119200N=19.2kN例题例题 341F236893N=36.893kN2. 由由s sc,max s sc 确定确定F。F=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。，可见梁的强度由拉应力确定。例题例题 342 令该题的令该题的s st,max和最大压应力均发生在和最大压应力均发生在B截面处，当截面处，当 s st,max=s st时，时， ，而，而s sc=3s st ，可见，当，可见，当s st,max=s st， s sc,maxs sc。所以该题由拉应力强度控制，仅需。所以该题由拉应力强度控制，仅需由由s st,max s st求求F即可。即可。例题例题 3
