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1、8.18.1向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示及其运算教学目标教学目标知识目标：知识目标：了解基本单位向量、位置向量、 向量的正交分解等概念；理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法， 知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式能力目标能力目标: :会用两向量的坐标形式的和、 差及实数与向量的积等运算解决相关问题;会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标情感目标: :感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律,加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力,以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程,增强学习的主体意
2、识，形成数学的应用意识,养成严谨、慎密的思维习惯.教学重、难点教学重、难点重点：重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难点：难点：向量坐标形式的运算及其应用一、新课引入：一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员 A、B、C、D 在一个长 10 米，宽 8 米的矩形表演区域 EFGH 内进行健美操表演.（1)若在某时刻，四名队员 A、B、C、D 保持如图 1 所示的平行四边形队形.队员 A 位于点 F 处,队员 B 在边 FG 上距 F 点 3 米处，队员 D 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 5 米处.你能确定此时队员 C 的位置吗？说明说明 此时队员 C 在位于距 E
3、F 边 5 米距 FG 边 5 米处。 这个图形比较特殊， 学生很快就会得到答案,这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻,四名队员 A、B、C、D 保持如图 2 所示的平行四边形队形.队员 A 位于距EF 边 2 米距 FG 边 1 米处,队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处,队员 D 位于距 EF 边 4 米距FG 边 5 米处.你能确定此时队员 C 的位置吗？说明说明 不要求学生写出结果， 只引导学生思考.这个图形更为一般一些,学生解决的可能不是很顺，这时， 教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算,学习了这个内容之后,同学们只要花上两分钟或
4、者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了,引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二、新课讲授二、新课讲授1 1、向量的正交分解、向量的正交分解（1)1)基本单位向量：基本单位向量： 我们称在平面直角坐标系中， 方向与 x 轴和 y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为.（2 2）位置向量位置向量: :如图,称以原点 O 为起点的向量为位置向量位置向量，如下图左，即为一个位置向量.思考思考 1 1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？如上图右，设如果点A 的坐标为，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为 M,N，那么向量能用向量与来表示吗? （依向量加法的平行四边形法则可
5、得） ， 与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得)，于是可得：（3)3)向量的正交分解：向量的正交分解：由上面这个式子,我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合,这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2 2、向量的坐标表示、向量的坐标表示思考思考 2:2:对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗?如下图左。由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合， 所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合。即：=为了简便，通常我们将系数x，y 抽取出来,
6、得到有序实数对（x，y）。可知有序实数对（ x，y）与向量的位置向量是一一对应的。因而可用有序实数对 (x，y）表示向量,并称（x，y)为向量的坐标，记作:=（x，y) 说明说明(x,y）不仅是向量的坐标，而且也是与相等的位置向量的终点A 的坐标！当将向量的起点置于坐标原点时， 其终点 A 的坐标是唯一的， 所以向量的坐标也是唯一的.这样,我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化。显然，依上面的表示法，我们有：.3 3、例题举隅、例题举隅例例 1.1.（课本例题)如图，写出向量的坐标。解：解：由图知，与向量相等的位置向量为，可知，与向量相等的位置向量为,可知 说明说明 对于位置向
7、量，它的终点的坐标就是向量的坐标； 对于起点不在原点的向量， 我们是通过先找到与它相等的位置向量,再利用位置向量的坐标得到它们的坐标。那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢?答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题。让我们先学习向量坐标表示的运算：4 4、向量的坐标表示运算向量的坐标表示运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢?设是一个实数，由于所以于是有：（1)向量的和(差）：（2)数与向量的积: 说明说明上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和（
8、差）的横坐标等于它们对应的横坐标的和（差），两个向量的和（差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差）,可笼统地简称为：两个向量和(差）的坐标等于对应坐标的和（差 )；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积,数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积。5 5、例题举隅、例题举隅例 2、如下图左,设、是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q 的坐标来表示向量?解：如上图右,向量从而有说明说明 平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它
9、起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标任意向量坐标= =终点终点坐标坐标- -起点坐标起点坐标”.例 3、如图，平面上 A、B、C 三点的坐标分别为、。（1）写出向量的坐标；（2)如果四边形 ABCD 是平行四边形，求 D 的坐标.解：（1）(2)在上图中,因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以设点 D 的坐标为，于是有又，故由此可得解得因此点 D 的坐标为.例 4、已知向量与，求的坐标。解：因为，所以例 5、已知平面内两点 P、Q 的坐标分别为（-2，4）、（2，1)，求的单位向量解：因为，故，所以7 7、向量的平行、向量的平行（1 1）向量平行的概念：）向量平行的概念：对任意两个向量，
10、若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行，记为：。思考思考 1:1:在坐标平面上描出下列三点,完成下列问题：请把下列向量的坐标与模填在表格内：向量坐标向量的模（1，2）（2，4）(3,6）通过画图，你得出什么结论?三点 A、B、C 在一条直线上分析表格中向量的模，你发现了什么？分析表格中向量，你还发现了什么？，分析表格中向量坐标，你又发现了什么？向量坐标之间存在比例关系。思考思考 3 3：如果向量用坐标表示为，则是的（）条件.A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要（2 2）判断三点共线的方法）判断三点共线的方法方法一:计算三个向量的模长关系。方法二：看两个非零向量之
11、间是否存在非零常数.(向量的坐标存在比例关系）例例 5 5、若是两个非零向量，且,则的充要条件是. .证明：分两步证明，(）先证必要性：非零向量存在非零实数，使得,即，化简整理可得：,消去即得（)再证充分性：(1)若, ,则、全不为零，显然有，即（2）若，则、中至少有两个为零.如果，则由是非零向量得出一定有，又由是非零向量得出,从而，此时存在使，即如果，则有，同理可证综上，当时,总有所以，命题得证.两向量平行的充要条件：两向量平行的充要条件：若是两个非零向量，且,则的充要条件是. .8 8、例题举隅、例题举隅例 6、已知 P 是直线上的一点，且（为任意实数，且)，、的坐标分别为、，求点P 的坐
12、标解：由，可知由于,所以解得向量的定比分点坐标公式：向量的定比分点坐标公式：特别地，当时，P 为、的中点，中点的坐标公式为例 7、已知平面上 A、B、C 三点的坐标分别为、,G 是ABC 的重心，求点 G 的坐标解:设 D 为 A、B 的中点，那么，因为 G 是ABC 的重心,所以,由定比分点公式可得故三角形重心的坐标公式：三角形重心的坐标公式：A、B、C 三点的坐标分别为、，G 是ABC 的重心，那么三、课堂小结三、课堂小结1、向量的正交分解:（1）基本单位向量（2）位置向量(3）向量的正交分解2、向量的坐标表示3、向量的坐标表示运算4、两向量平行的充要条件5、两点定比分点公式及中点公式6、三角形重心的坐标公式四、作业布置四、作业布置同步练习 8。1AB、周末卷
