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2、一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为高等数学微积分视频教程（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为高等数学微积分视频教程真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1高等数学微积分视频教程代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2高等数学微积分视频教程例例3 3整理得整理得高等数学微积分视频教程例例4 4 求积分求积分 解解高等数学微积分视频教程例例5 5 求积分求积分 解解高等数学微积分视频教程例例6 6 求积分求积
3、分解解令令高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令高等数学微积分视频教程则则记记高等数学微积分视频教程这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .高等数学微积分视频教程三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分二、三
4、角函数有理式的积分高等数学微积分视频教程令令（万能置换公式）（万能置换公式）高等数学微积分视频教程例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）高等数学微积分视频教程解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式, 令令高等数学微积分视频教程解（三）解（三） 可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法, 故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已
5、才用万能置换.高等数学微积分视频教程例例9 9 求积分求积分解解高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例1010 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.高等数学微积分视频教程例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式高等数学微积分视频教程简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的
6、积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结高等数学微积分视频教程思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？高等数学微积分视频教程思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.高等数学微积分视频教程练习题练习题高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程练习题答案练习题答案高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程高等数学微积分视频教程
