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1、第三章第三章 函数极限函数极限二、函数极限二、函数极限三、函数极限的性质三、函数极限的性质一、引言一、引言四、函数极限的存在性四、函数极限的存在性8/2/20241一、引言一、引言函数极限研究的方法函数极限研究的方法温故而知新温故而知新要注意新知识与旧知识有什麽相同与要注意新知识与旧知识有什麽相同与不同之处？不同之处？更重要的是不同之处！更重要的是不同之处！函数函数数列数列定义、定义、 性质、性质、 收敛性收敛性不同之处？不同之处？自变量变化花样多！自变量变化花样多！怎样描述各种变化？怎样描述各种变化？28/2/20242第第3.1节节 函数的极限函数的极限（一）自变量变化的描述一）自变量变化
2、的描述1. 邻域邻域8/2/202432. 两种基本变化趋势两种基本变化趋势 趋向于无穷趋向于无穷 趋向于一点趋向于一点8/2/20244定义定义1：（二）函数极限的定义（二）函数极限的定义1. 函数在一点的极限函数在一点的极限8/2/20245注意注意1为什麽要考虑空心邻域？为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。反例反例8/2/202468/2/20247注意注意2
3、( )( )8/2/20248定义定义2： （右极限）右极限）怎样定义单侧极限？怎样定义单侧极限？8/2/20249定义定义3：（左极限）左极限）8/2/202410一点极限与单侧极限有什麽关系？一点极限与单侧极限有什麽关系？定理：定理：例例符号函数符号函数8/2/202411观察图形观察图形因为因为所以所以8/2/202412例例1观察知观察知证证证毕证毕8/2/202413例例2 用定义证明用定义证明证明证明不妨设不妨设证毕证毕8/2/2024142. 函数在无穷远的极限函数在无穷远的极限定义定义4：28/2/202415第第2.2节节 函数极限的性质函数极限的性质性质性质2:（有界性）（
4、有界性）函数极限如果存在，则函数一定有界函数极限如果存在，则函数一定有界.性质性质1:（唯一性）（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的函数极限如果存在，则一定是唯一的.8/2/202416性质性质3:（保号性）（保号性）8/2/202417性质性质4: （函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系）证明证明 必要性必要性根据假设根据假设8/2/202418证毕证毕8/2/202419观察图形观察图形8/2/202420显然显然从而从而证明证明证毕证毕28/2/202421证法证法1：应用函数极限与数列极限关系定理：应用函数极限与数列极限关系定理 和数列极限的夹逼定理和数列极限的夹
5、逼定理.第第3.3节节 函数极限的存在性函数极限的存在性夹逼定理夹逼定理: :证法证法2：应用函数极限定义：应用函数极限定义.8/2/202422第第3.4节节 两个重要极限两个重要极限8/2/202423例例利用夹逼定理讨论利用夹逼定理讨论考虑能否找到一个考虑能否找到一个不等式？不等式？即8/2/202424由（1）式知将（1）式与（2）式结合起来，得到亦即8/2/2024258/2/202426所以上式即从而有8/2/202427即8/2/202428从而从而8/2/202429于是于是8/2/2024308/2/202431综上所述，我们得到综上所述，我们得到8/2/2024322.2.单调有界定理单调有界定理: :8/2/202433几何意义几何意义8/2/2024343.3.柯西收敛准则柯西收敛准则: :8/2/202435结束放映结束放映8/2/202436
