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1、概率论简明教程概率论简明教程什么是概率？什么是概率？例例1. 盒中装有盒中装有20件产品，其中有件产品，其中有5件次品，件次品，不放回地一件一件抽取，问：第十次取出不放回地一件一件抽取，问：第十次取出最后一个次品的概率是多少？最后一个次品的概率是多少？例例2，在半圆区域，在半圆区域0y 内随机地投内随机地投入一点，求该点与原点的连线与入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角轴的夹角不超过不超过 的可能性。的可能性。概率的思想在日常生活中的体现日常用语“可能、大概、也许”有两层意思：不确定性和把握的程度。形象化说：用形象化说：用0，1内的一个数值来表达对某种结果内的一个数值来表达对某种结果出现的可
2、能性大小的定量描述出现的可能性大小的定量描述 。 概率的思想在日常生活中的体现概率的思想在日常生活中的体现日常用语“可能、大概、也许”有两层意思：不确定性和把握的程度。第一章第一章 随机事件随机事件1.1 1.1 随机事件随机事件一一随机试验随机试验二二样本空间样本空间三三随机事件随机事件四四随机事件之间的关系和运算随机事件之间的关系和运算一一 随机试验随机试验概率论是一门研究随机现象及其统计规律概率论是一门研究随机现象及其统计规律性的学科性的学科随机现象随机现象在个别试验中呈现不确定的在个别试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种结果，而在大量重复试验中结果呈现某种 规律性的现
3、象。规律性的现象。 这种规律性称为统计规律性。这种规律性称为统计规律性。例例3，掷一颗骰子，对比两种结果：，掷一颗骰子，对比两种结果：骰子下落；出现骰子下落；出现6点点又如：又如：抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币100次，出现正面向上的次次，出现正面向上的次数恰为数恰为35次。次。男婴女婴的出生率男婴女婴的出生率在闹市区的某个街口，在一个给定时间段在闹市区的某个街口，在一个给定时间段内观察交通堵塞现象内观察交通堵塞现象为了研究随机现象的统计规律性，为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察，这个就要对客观事物进行观察，这个过程叫试验。过程叫试验。 概率论所讨论的试验称为随机试验，它具概率
4、论所讨论的试验称为随机试验，它具有以下三个特点：有以下三个特点：在相同的条件下试验可以重复进行；在相同的条件下试验可以重复进行；每次试验的结果具有多重可能性，但是试每次试验的结果具有多重可能性，但是试验之前可以明确试验的所有可能结果；验之前可以明确试验的所有可能结果；在试验前不能准确地预言该次试验将出现在试验前不能准确地预言该次试验将出现哪种结果。哪种结果。例例4（）抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上（）抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数；的次数；（）观察某交通道口在一个小时内的汽车（）观察某交通道口在一个小时内的汽车流量；流量；（）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽取（）从某厂生产的相同型号的
5、灯泡中抽取一个，测试它的寿命一个，测试它的寿命（）向一个直径为（）向一个直径为cm的靶子射击，观的靶子射击，观察弹着点的位置察弹着点的位置二二 样本空间样本空间将随机试验的结果与集合对应起来：将随机试验的结果与集合对应起来：一个随机试验，每一个可能出现的结一个随机试验，每一个可能出现的结果称为样本点，记为果称为样本点，记为；全体样本点组成的集合称为样本空间，全体样本点组成的集合称为样本空间，记记。也即样本空间是试验的所有可能结果。也即样本空间是试验的所有可能结果组成的集合，集合中的元素就是样本点。组成的集合，集合中的元素就是样本点。即： 样本空间可以是有限集，可数集，一个区样本空间可以是有限集
6、，可数集，一个区间间在例在例4中中（）抛一枚均匀硬币三次，观察正面（）抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数。向上的次数。正正正、正正反、正反正、正反反、正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反反正正、反正反、反反正、反反反，（）观察某交通道口在一个小时内（）观察某交通道口在一个小时内的汽车流量；的汽车流量；（）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽（）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽取一个，测试它的寿命取一个，测试它的寿命，）（）向一个直径为（）向一个直径为cm的靶子射击，观的靶子射击，观察弹着点的位置察弹着点的位置 （x,y）|x2+y225三 随机事件 从两个角度来定义：概率
7、论的角度；集合从两个角度来定义：概率论的角度；集合的角度。的角度。在概率论中，把试验的结果称为事件；每次在概率论中，把试验的结果称为事件；每次试验中可能发生也可能不发生、而在大量试试验中可能发生也可能不发生、而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件；验中具有某种规律性的事件称为随机事件；从集合的角度，一个随机试验所对应样本空从集合的角度，一个随机试验所对应样本空间的子集称为随机事件间的子集称为随机事件用大写字母用大写字母A、B、C等表示随机事件。等表示随机事件。比如掷一颗骰子，观察其出现的点数，比如掷一颗骰子，观察其出现的点数， =1，2，3，4，5，6 ，令令B=出现奇数点出现奇数点=
8、，. 我们看到我们看到B是是的子集的子集称某事件发生，当且仅当该集合所包含的某一称某事件发生，当且仅当该集合所包含的某一个样本点在试验中出现。个样本点在试验中出现。例如例如 抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数，抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数， 正正正、正正反、正反正、正反反、正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反反正正、反正反、反反正、反反反=出现一次正面出现一次正面正反反、反正反、反反正，正反反、反正反、反反正， A是该是该随机试验的一个结果也是样本空间的子集。随机试验的一个结果也是样本空间的子集。 当第一次正面，第二、三次反面这一样本点在试验中出现当第一
9、次正面，第二、三次反面这一样本点在试验中出现时，表示事件发生了，其余类似。时，表示事件发生了，其余类似。 在随机事件中，有的可以看成是由某在随机事件中，有的可以看成是由某些事件复合而成的，而有些事件则不能分些事件复合而成的，而有些事件则不能分解为其它事件的组合，这种不能分解成其解为其它事件的组合，这种不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。事件。一般地说，只含一个样本点的随机事一般地说，只含一个样本点的随机事件称为基本事件件称为基本事件例例5掷一颗骰子，观察其出现的点数，掷一颗骰子，观察其出现的点数， 令令Ai=出现出现i点点 , B=出现奇数
10、点出现奇数点.则则 Aii 为基本事件，为基本事件，i=1,2, ,6； ，为随机（复合）事，为随机（复合）事 件。件。其中其中=1，2，3，4，5，6又：又：C=点数小于点数小于7；D=点数大于点数大于7 每次试验每次试验C为必然会发生的事件；为不可为必然会发生的事件；为不可能发生的事件；能发生的事件；每次试验中一定发生的事件称为必然事件每次试验中一定发生的事件称为必然事件. 包含所有样本点，因此每次试验中必定有包含所有样本点，因此每次试验中必定有中的中的一个样本点出现，故一个样本点出现，故是必然事件；而另一方面是必然事件；而另一方面是是的子集；的子集；每次试验中一定不发生的事件称为不可能事
11、件每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件. 中不包含任何样本点，因此是不可能事件；中不包含任何样本点，因此是不可能事件； 也是也是的子集。的子集。为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事件，作为两个极端情况。件，作为两个极端情况。与与有着紧密的联系，如果每次试验有着紧密的联系，如果每次试验中某一结果必然发生，那么其反面就一定中某一结果必然发生，那么其反面就一定不发生；不发生；随机事件都是相对于一定的试验条件随机事件都是相对于一定的试验条件而言，条件变了，事件的性质也会变。而言，条件变了，事件的性质也会变。例例6（续）比较（续）比较“掷一粒骰子掷一粒
12、骰子”、“掷掷两粒骰子两粒骰子”和和“掷十粒骰子掷十粒骰子”，事件事件A=点数（之和）小于点数（之和）小于7四、事件之间的关系与运算（1）事件的包含：若事件）事件的包含：若事件A发生必然导致发生必然导致事件事件B发生，则称事件发生，则称事件B包含事件包含事件A。（2）事件的相等：若事件）事件的相等：若事件A包含事件包含事件B，事件事件B也包含事件也包含事件A，则称事件，则称事件A与事件与事件B相相等。记等。记A=B.（3）和（并）事件：当且仅当事件）和（并）事件：当且仅当事件A与事与事件件B中至少有一个发生时，称中至少有一个发生时，称A与与B的和事的和事件发生，记件发生，记AB。可推广至有限或
13、可列和。可推广至有限或可列和。可推广至有限或可列和：可推广至有限或可列和： 至少有一发生，记至少有一发生，记 至少有一发生，记至少有一发生，记（4）积（交）事件：当且仅当事件）积（交）事件：当且仅当事件A与事与事件件B同时发生时，称事件同时发生时，称事件A与与B的交事件发的交事件发生，记生，记AB。可推广至有限交或可列交。可推广至有限交或可列交AB可推广至有限交或可列交可推广至有限交或可列交 同时发生，记同时发生，记 同时发生，记同时发生，记（5）差事件：当且仅当事件）差事件：当且仅当事件A发生而事件发生而事件B不发生时，称事件不发生时，称事件A与与B的差事件发生，的差事件发生，记记 A-B。
14、（6）互不相容事件：如果）互不相容事件：如果AB=，则称，则称事件事件A与事件与事件B互不相容（互斥）互不相容（互斥）A-B 例例7 抛二枚均匀硬币，抛二枚均匀硬币， =正正，正反，反正，正正，正反，反正，反反反反 。 A=第一次出现正面第一次出现正面 =正正，正反正正，正反， B=第二次出现正面第二次出现正面=正正，反正正正，反正。 A与与B的和事件的和事件 第一次或第二次出现正面，表第一次或第二次出现正面，表 示为示为 A B=正正，正反，反正正正，正反，反正 。A与与B的积事件的积事件 第一次且第二次都出现正面，第一次且第二次都出现正面， 表示为表示为 AB=正正正正 。A与与B的差事件
15、的差事件A-B 第一次正面第第一次正面第二二次出现反面，次出现反面，表示为表示为 A-B=正反正反.如果一组事件中任意两个事件都互不相容，那么如果一组事件中任意两个事件都互不相容，那么称这组事件两两互不相容。（任意一组基本事件称这组事件两两互不相容。（任意一组基本事件总是两两互不相容）总是两两互不相容）（7）对立事件：事件）对立事件：事件-A称为事件称为事件A的对立事件的对立事件（逆、余），记（逆、余），记.（B-A=B） A = A =（8）运算定律：交换律、结合律、分配律、对偶）运算定律：交换律、结合律、分配律、对偶律。（复习律。（复习p5）A 例例8设设Ai=第第i个电子元件正常工作个电
16、子元件正常工作，i=1,2,n.用事件之间的关系表示用事件之间的关系表示 n个电子元件串联或并联系统正常工作这个电子元件串联或并联系统正常工作这 一事件。一事件。串联系统：串联系统： A1A2An123n并联系统：并联系统： A A1 1A2An12n1234例例9，设，设Ai=第第i个电子元件正常工作个电子元件正常工作，用事，用事件之间的关系表示下列电子线路正常工作件之间的关系表示下列电子线路正常工作这一事件。这一事件。例例10，设，设A、B、C为三个随机事件，用为三个随机事件，用A、B、C的运算关的运算关系表示下列事件：系表示下列事件：（1）A发生，发生，B与与C不发生；不发生；（2）A、
17、B、C中至少有一个发生；中至少有一个发生；（3） A、B、C中不多于一个发生；中不多于一个发生； （4）A、B、C中至少有两个发生；中至少有两个发生； 例例11某城市的供水系统由甲，乙两个水源与三部分某城市的供水系统由甲，乙两个水源与三部分管道，组成，每个水源都足以供应城市用水，用管道，组成，每个水源都足以供应城市用水，用i（i=1,2,3）表示）表示“第第i号管道正常工作号管道正常工作”这一事件。这一事件。 求求“城市正常供水城市正常供水”和和“城市断水城市断水”两个事件用两个事件用i表表示的表示式示的表示式.甲水厂甲水厂乙水厂乙水厂城市城市第二章 等可能概型一 古典概率二 几何概率三 频率
18、与概率四 概率的公理化定义一. 古典概率随机事件发生的可能性大小常用区间随机事件发生的可能性大小常用区间0，1中的中的一个数值来刻划，这个数值称为概率，记为一个数值来刻划，这个数值称为概率，记为 p （A）。）。自然地规定自然地规定 P（）=1， P（）=0。 0p(A) 1 （2）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可能性相同。能性相同。 这两个试验的共同特点是：这两个试验的共同特点是： 每次试验只有有限种可能的试验结果，每次试验只有有限种可能的试验结果，即样本点总数有限。即样本点总数有限。 每次试验中各基本事件出现的可能性是每次试验中各基本事件出现的可能
19、性是相同的。相同的。n n 在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如：共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如：共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如：共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如：n n （1 1）一盒灯泡）一盒灯泡）一盒灯泡）一盒灯泡100100个，任取一个检查其质量，则个，任取一个检查其质量，则个，任取一个检查其质量，则个，任取一个检查其质量，则100100个灯泡被抽取的机会相同。个灯泡被抽取的机会相同。个灯
20、泡被抽取的机会相同。个灯泡被抽取的机会相同。 在概率论中，把具有上述两个特点在概率论中，把具有上述两个特点的试验叫做古典型试验，它的数学模的试验叫做古典型试验，它的数学模型称为古典概型。型称为古典概型。 在古典概型中，记在古典概型中，记n为样本点总个数，为样本点总个数，如果事件如果事件A中包含中包含nA个样本点，（或称个样本点，（或称有利于有利于A的样本点个数为的样本点个数为nA ）那么规）那么规定定 P（A）= nA/n例例1. 盒中装有盒中装有5个球，三白两红，从中个球，三白两红，从中任取一个，问：取到白球的概率是多少？任取一个，问：取到白球的概率是多少？若从中任取两个，问两个球全是白球的
21、概若从中任取两个，问两个球全是白球的概率是多少？（考虑率是多少？（考虑50个球的情形：计数原个球的情形：计数原理和排列组合）理和排列组合）解：解：P=3/5P2=3*2/(5*4)=3/101. 从从n个元素中任取个元素中任取k个，有个，有 种不同的结果；种不同的结果；2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法，一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法，一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加法，这就是所谓的计数原理。法，这就是所谓的计数原理。例例2. 一个盒子中装有一个盒子中装有10个晶体管，其中个晶体管，其中3个是不合格品。从这个盒子中依次随
22、机地个是不合格品。从这个盒子中依次随机地取取2个，在有放回与无放回抽样的个，在有放回与无放回抽样的二种二种情况情况下求下求2个中恰有个中恰有1个是不合格品的概率。个是不合格品的概率。 注意抽样的区别：有放回抽样和无放回注意抽样的区别：有放回抽样和无放回抽样。抽样。有放回的情况下有放回的情况下 p=(73+37)/102=0.42在无放回的情况下在无放回的情况下 p=(73+37)/(109)=0.47例例3. 两封信随机地向四个邮筒投寄，求两封信随机地向四个邮筒投寄，求A 第二个邮筒恰好被投入一封信的概率第二个邮筒恰好被投入一封信的概率，B 两封信在同一邮筒的概率。两封信在同一邮筒的概率。解：
23、解：P(A)=(3+3)/42=3/8P(B)=4/42=1/4在古典概型中显然有在古典概型中显然有 P()=(n-nA)/n=1-p(A)例例4，掷两颗骰子，试求出现的点数，掷两颗骰子，试求出现的点数之和小于之和小于10的概率。的概率。解：样本空间共含解：样本空间共含36个样本点，点数之个样本点，点数之和大于等于和大于等于10含样本点含样本点(5，5），（），（4，6），），（6，4），（），（5，6），（），（6，5），（），（6，6）共）共6个。个。P=1-6/36=5/6在古典概型中显然有在古典概型中显然有 P()=(n-nA)/n=1-p(A)例例5，某城市的电话号码升为，某城市的电
24、话号码升为6位数，且第一位为位数，且第一位为6或或8。求。求（1）随机抽取的一个电话号码为不重）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率；（复的六位数的概率；（2）随机抽取的电话号码末）随机抽取的电话号码末尾数是尾数是8的概率。的概率。 解（解（1） （2）6888例例6 （女士品茶问题）一位常喝奶茶的女士声称她能辨别（女士品茶问题）一位常喝奶茶的女士声称她能辨别出冲好的奶茶是先放茶还是先放奶，并且她在出冲好的奶茶是先放茶还是先放奶，并且她在10次试验中次试验中都正确地辨别了出来，问她的说法是否可信？都正确地辨别了出来，问她的说法是否可信？每次试验只有两个结果，或者先放茶后放奶，或者先放奶
25、每次试验只有两个结果，或者先放茶后放奶，或者先放奶后放茶，十次试验共有后放茶，十次试验共有 不同结果。不同结果。而而10次都正确的结果只有次都正确的结果只有 一种！一种！解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是猜测，则每次试验的两个可能结果：茶牛奶或猜测，则每次试验的两个可能结果：茶牛奶或牛奶茶是等可能的牛奶茶是等可能的该女士在次试验中都正确的辨别出来该女士在次试验中都正确的辨别出来，则，则 p p（）（）=1/2=1/21010=0.0009766=0.0009766这是一个小概率事件这是一个小概率事件概率论中概率论中“实际推断原理实际推断原理”:
26、 :一个小概率事件在一个小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的一次试验中实际上是不会发生的因此按因此按“实际推断原理实际推断原理”事件实际不会发生，事件实际不会发生，这与实际试验结果相矛盾，因此假设这与实际试验结果相矛盾，因此假设“女士纯粹女士纯粹是猜测是猜测”不成立，有理由断言该女士的说法是可不成立，有理由断言该女士的说法是可信的信的例例7 （抽奖券问题）某超市有奖销售，投（抽奖券问题）某超市有奖销售，投放放n张奖券只有一张有奖。每位顾客可抽一张奖券只有一张有奖。每位顾客可抽一张。求第张。求第k位顾客中奖的概率。（无放回抽位顾客中奖的概率。（无放回抽样）（样）（1kn）二. 几何概率 例：
27、在一个匀称陀螺的圆周上均匀的刻上例：在一个匀称陀螺的圆周上均匀的刻上区间区间0，3）上的各数字，旋转该陀螺，考）上的各数字，旋转该陀螺，考察陀螺停下时接触地面的点的刻度恰好为察陀螺停下时接触地面的点的刻度恰好为2 的概率。的概率。 以等可能性为基础，借助于几何上的度量以等可能性为基础，借助于几何上的度量来合理地规定的概率，称为几何概率。来合理地规定的概率，称为几何概率。 一般地，设样本空间是某个区域一般地，设样本空间是某个区域（直线、（直线、平面或空间）每个样本点等可能地出现，平面或空间）每个样本点等可能地出现，规定事件规定事件A的概率为的概率为 P（A）=m（A）/m（） 这里这里m（）分别
28、表示长度、面积或体积。）分别表示长度、面积或体积。 例例8，在半圆区域，在半圆区域0y 内随机地投内随机地投入一点，求该点与原点的连线与入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角轴的夹角不超过不超过 的概率的概率. 02a例例9 在单位圆在单位圆O的一条直径的一条直径MN上随机上随机地取一点地取一点Q，试求过，试求过Q且与且与MN垂直的弦的垂直的弦的长度超过长度超过1的概率。的概率。 例例10 甲、乙两艘轮船都要在某个泊甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠位停靠6h，假定它们在一昼夜时间段中随，假定它们在一昼夜时间段中随机到达。试求这两艘船中至少有一艘在停机到达。试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必
29、须等待的概率。靠泊位时必须等待的概率。三 频率与概率 称称 为事件为事件A在在n次重复试验中出次重复试验中出现的频率，其中现的频率，其中nA表示事件表示事件A在在n次重复试次重复试验中出现的次数，即频数。验中出现的次数，即频数。 人们经过长期的实践发现，虽然一个随机人们经过长期的实践发现，虽然一个随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，事件在一次试验中可能发生也可能不发生，但是在大量重复试验中这个事件发生的频但是在大量重复试验中这个事件发生的频率却具有稳定性。频率的稳定性在理论上率却具有稳定性。频率的稳定性在理论上已经被证明。已经被证明。抛一枚均匀硬币n次的试验（蒲丰问题） 试验者试验者 试
30、验次数试验次数正面出现的正面出现的 频数频数nA正面出现的正面出现的频率频率fn(A)蒲丰蒲丰K.皮尔逊皮尔逊K.皮尔逊皮尔逊4040120002400020486019120120.50690.50160.5005随着随着n的增大，的增大， fn(A)总在0.5附近波动，且逐渐稳定于0.5。英文字母频率的统计表字母频率字母频率字母频率E0.1268L0.0394P0.0186T0.0978D0.0389B0.0156A0.0788U0.0280V0.0102O0.0776C0.0268K0.0060I0.0707F0.0256X0.0016N0.0706M0.0244J0.0010S0.06
31、34W0.0214Q0.0009R0.0594Y0.0202Z0.0006H0.0573G0.0187 在不变的条件下，重复进行在不变的条件下，重复进行n次试验，事次试验，事件件A发生的频率稳定地在某一常数附近摆动，发生的频率稳定地在某一常数附近摆动，而且随着试验次数的增加，摆动的幅度越而且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，则称这个常数为事件来越小，则称这个常数为事件A的概率的概率,这这是概率的统计定义。是概率的统计定义。 按概率的统计定义来求出概率是不现实按概率的统计定义来求出概率是不现实的。在实际应用中的。在实际应用中,往往就把频率当作概率往往就把频率当作概率来使用。来使用。 频率的
32、稳定性是概率的试验基础，但并频率的稳定性是概率的试验基础，但并不是说概率决定于试验。一个事件发生的不是说概率决定于试验。一个事件发生的概率完全取决于事件本身的内在性质，是概率完全取决于事件本身的内在性质，是先于试验而客观存在的。概率的统计定义先于试验而客观存在的。概率的统计定义正是指明了这一点。正是指明了这一点。四四 概率的公理化定义概率的公理化定义 以上给出的概率的三种定义中都具有下列三以上给出的概率的三种定义中都具有下列三条基本性质条基本性质（1）非负性；（）非负性；（2）规范性）规范性 P（）=1；（；（3）可加性。当）可加性。当A与与B互不相容时，互不相容时，在上述性质的基础上，采用抽
33、象化方法给在上述性质的基础上，采用抽象化方法给出概率的公理化定义：给定一个随机试验，出概率的公理化定义：给定一个随机试验，是它的样本空间，对于任意一个事件是它的样本空间，对于任意一个事件A，规定一个实数，记作规定一个实数，记作P（A）。如果）。如果P（）满足下列三条公理，那么就称）满足下列三条公理，那么就称P（A）为事件）为事件A的概率。的概率。续续公理公理1 非负性：对于任意一个事件非负性：对于任意一个事件A， P（A）0；公理公理2 规范性：规范性：P（）=1；公理公理3 可列可加性：可列可加性： 当可列无限个事件当可列无限个事件A1，A2，两两互不相两两互不相容时，有下列等式：容时，有下
34、列等式：P（A1A2）=P（A1）+P（A2）+由公理可以推导概率的一些性质（1）P（）=0（2）有限可加性）有限可加性 ，n n两两互不相容，则两两互不相容，则 P(AP(A1 12 n n)= p(A)= p(A1 1)+p(A)+p(A2 2)+)+ p(Ap(An n) )（）对任一事件，（）对任一事件，P(P()=P（）（）（4）当事件是的子集时）当事件是的子集时 P（）（）=P（）（）P（）（） P（）（） P（）（）（）对任一事件，（）对任一事件，p（）（）；（）（）p（）（）p（）（）p（）；（）；（）加法公式（）加法公式P（）p（）（）p（）（）p（）（）加法公式可推广到更多
35、的事件上，如三加法公式可推广到更多的事件上，如三个事件的加法有个事件的加法有P(AB C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)- p(BC)+p(ABC） 例例1，袋中有红、黄、白色球各一个，每，袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，求次任取一个，有放回地抽三次，求“取到取到的三球中没有红球或没有黄球的三球中没有红球或没有黄球”的概率。的概率。 解：设：取到的三球中没有红球；解：设：取到的三球中没有红球；：取到的三球中没有黄球：取到的三球中没有黄球 P(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)（）（）（）（）（）（）5/9例例2，已知，已知P（A）=0.4，P（B）=0.6，事，事件件B包含包含A，求：，求：例例3，已知，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=0.1， 求事件求事件A、B、C全不发生的概率全不发生的概率.解：，至少有一发生的概率解：，至少有一发生的概率= P(AB C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC) =3*0.25-2*0.1=0.55 注意这里注意这里 p(ABC)=0 A,B,C全不发生的概率全不发生的概率= 1- P(AB C)= 1-0.55=0.45
