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1、 变化率与导数变化率与导数问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度从数学的角度, 如何如何描述这种现象呢描述这种现象呢? 结论：随着气球体积逐渐变大结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小它的平均膨胀率逐渐变小.（一）平均变化率（一）平均变化率思考： 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单单位
2、位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系 在某段时间内，高度相对于时间的变化率在某段时间内，高度相对于时间的变化率在某段时间内，高度相对于时间的变化率在某段时间内，高度相对于时间的变化率 用用用用平均平均平均平均速度速度速度速度来描述来描述来描述来描述。 即即:在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,问题问题2.2.平均速度平均速度. .思考：求思考：求t1到到t2时的平均速度时的平均速度 观察函数f(x)的图象OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)平均变化率的定义：平均
3、变化率的定义： 一般地，函数在区间一般地，函数在区间 上的平均变化率为上的平均变化率为 令令x = x2 x1 , y= f (x2) f (x1) ,则平均变则平均变化率可以表示为化率可以表示为几何意义是几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。例例1、已知函数、已知函数f(x)=2x+1, 计算在区间计算在区间1，2上上 f(x) 的平均变化率的平均变化率. 例例2、已知函数、已知函数 f(x)=x2,计算计算f(x)在下列区间在下列区间1，3上的平均变化率：上的平均变化率： 例例3 已知已知f(x)=2x2+1(1)求求: 其从其
4、从x1到到x2的平均变化率；的平均变化率；(2)求求: 其从其从x0到到x0+xx的平均变化率的平均变化率.（二）、（二）、 导数的概念导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态描述运动状态.我们把物体在某一时刻的我们把物体在某一时刻的速度称为速度称为瞬时速度瞬时速度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势
5、呢?求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度t 0时时, 在在2, 2 +t 这段这段时间内时间内当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当当t趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从
6、小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1. 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t
7、0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?导数的概念导数的概念一般地，函数一般地，函数 y =f(x) 在点在点x=x0处的瞬时变化处的瞬时变化率是率是我们称它为我们称它为函数函数 y = f (x)在点在点x=x0处的导数处的导数，记为记为 或或，即，即说明：明：（1）函数）函数在点在点处可可导，是指，是指时，有极限如果有极限如果不存在极限，就不存在极限，就说函数在函数在处不可不可导，或，或说无无导数数点点是自是自变量量x在在处的改的改变量，量，而，而是函数是函数值的改的改变量，可以是零量，可以是零 （2
8、）由由导数的定数的定义可知，求函数可知，求函数在在处的的导数的步数的步骤:（1）求函数的增量）求函数的增量:；（2）求平均）求平均变化率化率:；（3）取极限，得）取极限，得导数数:例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求，求质点在质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单位单位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油原油温度的瞬时变化率温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.
