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1、第 九 章统计9.1随 机 抽 样9.1.1简单随机抽样 第 九 章统计人教20版新教材数学必修二91.1.统计的相关概念统计的相关概念(1)(1)普查普查像人口普查这样像人口普查这样, ,对每一个调查对象都进行调查的方法对每一个调查对象都进行调查的方法, ,称为全面调查称为全面调查, ,又称普查又称普查. .1.统计的相关概念(2)(2)总体、个体总体、个体在一个调查中在一个调查中, ,我们把调查对象的全体称为总体我们把调查对象的全体称为总体. .组成组成总体的每一个调查对象称为个体总体的每一个调查对象称为个体. .为了强调调查目的为了强调调查目的, ,也可以把调查对象的某些指标的全体作为总
2、体也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体, ,每一个每一个调查对象的相应指标作为个体调查对象的相应指标作为个体. .(2)总体、个体(3)(3)抽样调查抽样调查根据一定目的根据一定目的, ,从总体中抽取一部分个体进行调查从总体中抽取一部分个体进行调查, ,并并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法, ,称为称为抽样调查抽样调查. .(3)抽样调查(4)(4)样本、样本量样本、样本量我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本, ,样本中包样本中包含的个体数称为样本量含的个体数称为样本量. .(4)样本、样本
3、量【思考思考】抽样调查有什么优点？抽样调查有什么优点？提示提示: :相对全面调查而言相对全面调查而言, ,抽样调查由于只抽取一部分抽样调查由于只抽取一部分个体进行调查个体进行调查, ,因此具有花费少、效率高的特点因此具有花费少、效率高的特点. .在有在有些调查中些调查中, ,抽样调查则具有不可替代的作用抽样调查则具有不可替代的作用. .【思考】2.2.简单随机抽样简单随机抽样一般地一般地, ,设一个总体含有设一个总体含有N(NN(N为正整数为正整数) )个个体个个体, ,从中逐从中逐个抽取个抽取n(1nN)n(1nN)个个体作为样本个个体作为样本, ,如果抽取是放回的如果抽取是放回的, ,且每
4、次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等都相等, ,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样; ;如果如果2.简单随机抽样抽取是不放回的抽取是不放回的, ,且每次抽取时总体内未进入样本的各且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率个个体被抽到的概率都相等都相等, ,我们把这样的抽样方法叫我们把这样的抽样方法叫做做不放回简单随机抽样不放回简单随机抽样. .除非特殊声明除非特殊声明, ,本章所称的简本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样单随机抽样指不放回简单随机抽样. .抽取是不放回的,且每次抽取时总体内
5、未进入样本的各个个体被抽到【思考思考】在抽取样本时在抽取样本时,“,“逐个不放回地随机抽取逐个不放回地随机抽取n n个个体个个体”, ,与与“一次性批量随机抽取一次性批量随机抽取n n个个体个个体”等价吗？等价吗？提示提示: :从总体中从总体中, ,逐个不放回地随机抽取逐个不放回地随机抽取n n个个体作为样个个体作为样本本, ,一次性批量随机抽取一次性批量随机抽取n n个个体作为样本个个体作为样本, ,两种方法是两种方法是等价的等价的. .【思考】3.3.简单随机抽样的方法简单随机抽样的方法(1)(1)抽签法抽签法: :把总体中的把总体中的N N个个体个个体编号编号, ,把编号写在外观、质地等
6、无把编号写在外观、质地等无差别的小纸片差别的小纸片( (也可以是卡片、小球等也可以是卡片、小球等) )上作为号签上作为号签, ,将将这些小纸片放在一个不透明的盒里这些小纸片放在一个不透明的盒里, ,充分搅拌充分搅拌, ,最后从最后从盒中不放回地盒中不放回地逐个逐个抽取号签抽取号签, ,使与号签上的编号对应的使与号签上的编号对应的个体进入样本个体进入样本, ,直到抽足样本所需的个数直到抽足样本所需的个数. .3.简单随机抽样的方法(2)(2)随机数法随机数法: :用随机数工具产生编号范围内的整数随机数用随机数工具产生编号范围内的整数随机数, ,把产生的把产生的随机数作为抽中的编号随机数作为抽中的
7、编号, ,使与编号对应的个体进入样本使与编号对应的个体进入样本. .重复上述过程重复上述过程, ,直到抽足样本所需的个数直到抽足样本所需的个数. .(2)随机数法:用随机试验生成随机数用随机试验生成随机数; ;用信息技术生成随机数用信息技术生成随机数; ;用计算器生成随机数用计算器生成随机数; ;用电子表格软件生成随机数用电子表格软件生成随机数; ;用用R R统计软件生成随机数统计软件生成随机数. .用随机试验生成随机数;【思考思考】(1)(1)最常用的简单随机抽样方法有哪些？最常用的简单随机抽样方法有哪些？提示提示: :抽签法和随机数法抽签法和随机数法. .【思考】(2)(2)你认为抽签法有
8、什么优点和缺点？你认为抽签法有什么优点和缺点？提示提示: :抽签法的优点是简单易行抽签法的优点是简单易行, ,当总体中个体数不多当总体中个体数不多时较为方便时较为方便, ,缺点是当总体中个体数较多时不宜采用缺点是当总体中个体数较多时不宜采用. .(2)你认为抽签法有什么优点和缺点？4.4.总体均值总体均值一般地一般地, ,总体中有总体中有N N个个体个个体, ,它们的变量值分别为它们的变量值分别为Y Y1 1,Y,Y2 2,Y,YN N, ,则称则称 为为总体均值总体均值, ,又称总体平均数又称总体平均数. .4.总体均值如果总体的如果总体的N N个变量值中个变量值中, ,不同的值共有不同的值
9、共有k(kN)k(kN)个个, ,不不妨记为妨记为Y Y1 1,Y,Y2 2,Y,Yk k, ,其中其中Y Yi i出现的频数出现的频数f fi i(i=1,2,k),(i=1,2,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式则总体均值还可以写成加权平均数的形式 如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(kN)个,不妨记为5.5.样本均值样本均值如果从总体中抽取一个容量为如果从总体中抽取一个容量为n n的样本的样本, ,它们的变量值它们的变量值分别为分别为y y1 1,y,y2 2,y,yn n, ,则称则称 为为样本均值样本均值, ,又称样本平均数又称样本平均数. .5.样本均值【思考思考】总体
10、均值与样本均值有何区别与联系？总体均值与样本均值有何区别与联系？【思考】提示提示: :(1)(1)区别区别: :当总体中个体较多时当总体中个体较多时, ,总体均值不易计总体均值不易计算算, ,样本均值比较方便计算样本均值比较方便计算. .总体均值是一个确定的数总体均值是一个确定的数, ,样本均值具有随机性样本均值具有随机性. .(2)(2)联系联系: :在简单随机抽样中在简单随机抽样中, ,我们常用样本均值估计总我们常用样本均值估计总体均值体均值. .提示:(1)区别:当总体中个体较多时,总体均值不易计算,样本【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错
11、的打“”)”)(1)(1)在简单随机抽样中在简单随机抽样中, ,某一个个体被抽到的可能性与某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关第几次抽取有关, ,第一次抽到的可能性最大第一次抽到的可能性最大. .( () )(2)(2)抽签法中抽签法中, ,先抽的人抽中的可能性大先抽的人抽中的可能性大. . ( () )【素养小测】(3)(3)抽签法适用于总体中个体数较少的情况抽签法适用于总体中个体数较少的情况, ,随机数法随机数法适用于总体中个体数较多的情况适用于总体中个体数较多的情况. .( () )(4)(4)在使用随机数法时在使用随机数法时, ,各个个体的编号位数要相同各个个体的编号位数要相同.(
12、.() )(3)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体提示提示: :(1)(1). .在简单随机抽样中在简单随机抽样中, ,某一个个体被抽到的某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取无关可能性与第几次抽取无关, ,每一次抽到的可能性相同每一次抽到的可能性相同. .(2)(2). .抽签法中抽签法中, ,每个人抽中的可能性相同每个人抽中的可能性相同. .(3).(3).(4).(4).提示:(1).在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与2.2.某重点中学在进行了一次模拟考试某重点中学在进行了一次模拟考试, ,为了解全年级为了解全年级1 0001 000名学生的考试成绩名学生的考
13、试成绩, ,从中随机抽取了从中随机抽取了100100名学生的名学生的成绩单成绩单, ,下面说法不正确的是下面说法不正确的是 ( () )A.1 000A.1 000名学生是总体名学生是总体B.B.每个学生是个体每个学生是个体C.1 000C.1 000名学生的成绩是一个个体名学生的成绩是一个个体D.D.样本量是样本量是1001002.某重点中学在进行了一次模拟考试,为了解全年级【解析解析】选选C.1 000C.1 000名学生或名学生或1 0001 000名学生的成绩是统名学生的成绩是统计中的总体计中的总体, ,每个学生或每个学生的成绩是个体每个学生或每个学生的成绩是个体, ,被抽被抽取的取的
14、100100名学生的成绩是一个样本名学生的成绩是一个样本, ,其样本量是其样本量是100.100.【解析】选C.1 000名学生或1 000名学生的成绩是统计3.3.一个总体含有一个总体含有100100个个体个个体, ,以简单随机抽样方式从该以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为总体中抽取一个容量为5 5的样本的样本, ,则指定的某个个体被则指定的某个个体被抽到的概率为抽到的概率为_._.【解析解析】概率为概率为 答案答案: : 3.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽类型一简单随机抽样的概念类型一简单随机抽样的概念【典例典例】下列抽样方法是简单随机抽样的有下列抽样方法
15、是简单随机抽样的有_._.(1)(1)从无限多个个体中抽取从无限多个个体中抽取100100个个体作为样本个个体作为样本. .(2)(2)从从2020个零件中一次性抽取个零件中一次性抽取3 3个进行质量检验个进行质量检验. .类型一简单随机抽样的概念(3)(3)从班上从班上5050名同学中选数学成绩最好的名同学中选数学成绩最好的2 2名同学参加名同学参加数学竞赛数学竞赛. .(4)(4)某班某班4545名同学名同学, ,指定个子最高的指定个子最高的5 5名同学参加学校组名同学参加学校组织的某项活动织的某项活动. .(5)(5)中国福利彩票中国福利彩票3030选选7,7,得到得到7 7个彩票中奖号
16、码个彩票中奖号码. .(3)从班上50名同学中选数学成绩最好的2名同学参加数学竞赛【思维思维引引】按简单随机抽样的概念判断按简单随机抽样的概念判断. .【解析解析】(1)(1)不是简单随机抽样不是简单随机抽样, ,因为被抽取样本的总因为被抽取样本的总体的个数是无限的体的个数是无限的, ,而不是有限的而不是有限的. .(2)(2)是简单随机抽样是简单随机抽样, ,因为一次性抽取因为一次性抽取3 3个个体个个体, ,等价于等价于逐个抽取个体逐个抽取个体3 3次次. .【思维引】按简单随机抽样的概念判断.(3)(3)不是简单随机抽样不是简单随机抽样, ,因为每个个体被抽取的可能性因为每个个体被抽取的
17、可能性不相等不相等. .(4)(4)不是简单随机抽样不是简单随机抽样, ,不符合不符合“等可能性等可能性”, ,因为因为5 5名名同学是指定的同学是指定的, ,而不是随机抽取的而不是随机抽取的. .(5)(5)是是, ,它属于简单随机抽样中的随机数法它属于简单随机抽样中的随机数法. .答案答案: :(2)(5)(2)(5)(3)不是简单随机抽样,因为每个个体被抽取的可能性不相等.【内化内化悟悟】判断简单随机抽样的关键是什么？判断简单随机抽样的关键是什么？提示提示: :(1)(1)样本总体个数是否有限样本总体个数是否有限;(2);(2)抽取抽取n n个个体作为个个体作为样本样本;(3);(3)每
18、个个体入样的可能性均为每个个体入样的可能性均为 . .【内化悟】【类题类题通通】1.1.放回简单随机抽样的特点放回简单随机抽样的特点(1)(1)被抽取的样本的总体个数被抽取的样本的总体个数N N是有限的是有限的. .(2)(2)逐个抽取逐个抽取n n个个体作为样本个个体作为样本. .(3)(3)抽取是放回的抽取是放回的. .(4)(4)每个个体入样的可能性均为每个个体入样的可能性均为 . .【类题通】2.2.不放回简单随机抽样的特点不放回简单随机抽样的特点(1)(1)被抽取的样本的总体个数被抽取的样本的总体个数N N是有限的是有限的. .(2)(2)逐个抽取逐个抽取n n个个, ,或一次性抽取
19、或一次性抽取n n个个体作为样本个个体作为样本. .(3)(3)抽取是不放回的抽取是不放回的. .(4)(4)每个个体入样的可能性均为每个个体入样的可能性均为 . .2.不放回简单随机抽样的特点【习练习练破破】下列抽样中是不放回简单随机抽样的是下列抽样中是不放回简单随机抽样的是_._.从从100100个号签中一次取出个号签中一次取出5 5个作为样本个作为样本某连队从某连队从200200名党员官兵中名党员官兵中, ,挑选出挑选出5050名最优秀的官名最优秀的官兵参加救灾工作兵参加救灾工作【习练破】一彩民选号一彩民选号, ,从装有从装有3636个大小、形状都相同的号签的个大小、形状都相同的号签的盒
20、子中无放回地逐个抽出盒子中无放回地逐个抽出6 6个号签个号签从某班从某班5656名名(30(30名男生名男生,26,26名女生名女生) )学生中随机抽取学生中随机抽取2 2名男生名男生,2,2名女生参加乒乓球混双比赛名女生参加乒乓球混双比赛将一枚质地均匀的骰子掷两次将一枚质地均匀的骰子掷两次, ,分别记录向上的点数分别记录向上的点数一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放【解析解析】是不放回简单随机抽样是不放回简单随机抽样;不满足等可能不满足等可能抽样抽样, ,所以不是简单随机抽样所以不是简单随机抽样;是不放回简单随机抽是不放回简单随机抽样样;是放回简单随机抽样是放回简单随机
21、抽样. .答案答案: :【解析】是不放回简单随机抽样;不满足等可能抽样,所以不类型二抽签法的应用类型二抽签法的应用【典例典例】学校举办元旦晚会学校举办元旦晚会, ,需要从每班选需要从每班选1010名男生名男生,8,8名女生参加合唱节目名女生参加合唱节目, ,某班有男生某班有男生3232名名, ,女生女生2828名名, ,试用试用抽签法确定该班参加合唱的同学抽签法确定该班参加合唱的同学. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号类型二抽签法的应用【思维思维引引】采用抽签法设计抽样方法采用抽签法设计抽样方法, ,一定按步骤进一定按步骤进行行, ,即即: :编号、制签、搅匀、抽签、确定样本编号、制签、搅匀、抽
22、签、确定样本. .注意抽签法的特点注意抽签法的特点: :逐个不放回地抽取逐个不放回地抽取. .【思维引】采用抽签法设计抽样方法,一定按步骤进行,即:编号【解析解析】第一步第一步, ,将将3232名男生从名男生从0000到到3131进行编号进行编号; ;第二步第二步, ,用相同的纸条制成用相同的纸条制成3232个号签个号签, ,在每个号签上写在每个号签上写上这些编号上这些编号; ;第三步第三步, ,将写好的号签放在一个容器内摇匀将写好的号签放在一个容器内摇匀, ,不放回地不放回地逐个从中抽出逐个从中抽出1010个号签个号签; ;【解析】第一步,将32名男生从00到31进行编号;第四步第四步, ,
23、抽到的相应编号的男生参加合唱抽到的相应编号的男生参加合唱; ;第五步第五步, ,用相同的办法从用相同的办法从2828名女生中选出名女生中选出8 8名名, ,则此则此8 8名女名女生参加合唱生参加合唱. .第四步,抽到的相应编号的男生参加合唱;【内化内化悟悟】抽签法应用的关键是什么？抽签法应用的关键是什么？提示提示: :将总体中所有个体编号将总体中所有个体编号, ,将号签搅拌均匀将号签搅拌均匀. .【内化悟】【类题类题通通】抽签法的一般步骤抽签法的一般步骤【类题通】【习练习练破破】下列抽样中下列抽样中, ,用抽签法方便的是用抽签法方便的是( () )A.A.从某厂生产的从某厂生产的3 0003
24、000件产品中抽取件产品中抽取600600件进行质量检验件进行质量检验B.B.从某厂生产的两箱从某厂生产的两箱( (每箱每箱1515件件) )产品中抽取产品中抽取6 6件进行质件进行质量检验量检验【习练破】C.C.从甲、乙两厂生产的两箱从甲、乙两厂生产的两箱( (每厂各一箱每厂各一箱, ,每箱每箱1515件件) )产产品中抽取品中抽取6 6件进行质量检验件进行质量检验D.D.从某厂生产的从某厂生产的3 0003 000件产品中抽取件产品中抽取1010件进行质量检验件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每厂各一箱,每箱15件)产品中抽【解析解析】选选B.B.根据抽签法的特点可知根据抽签法的特
25、点可知,B,B选项用抽签法选项用抽签法比较方便比较方便. .【解析】选B.根据抽签法的特点可知,B选项用抽签法比较方便.【加练加练固固】某卫生单位为了支援抗震救灾某卫生单位为了支援抗震救灾, ,要在要在1818名志愿者中选取名志愿者中选取6 6人组成医疗小组去参加救治工作人组成医疗小组去参加救治工作, ,请用抽签法设计抽请用抽签法设计抽样方案样方案. .【加练固】【解析解析】方案如下方案如下: :第一步第一步, ,将将1818名志愿者编号名志愿者编号, ,号码为号码为01,02,03,18.01,02,03,18.第二步第二步, ,将号码分别写在相同的纸条上将号码分别写在相同的纸条上, ,揉成
26、团揉成团, ,制成号制成号签签. .【解析】方案如下:第三步第三步, ,将得到的号签放到一个不透明的盒子中将得到的号签放到一个不透明的盒子中, ,充分充分搅匀搅匀. .第四步第四步, ,从盒子中依次取出从盒子中依次取出6 6个号签个号签, ,并记录上面的编号并记录上面的编号. .第五步第五步, ,与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员. .第三步,将得到的号签放到一个不透明的盒子中,充分搅匀.类型三随机数法的应用类型三随机数法的应用【典例典例】设某校共有设某校共有100100名教师名教师, ,为了支援西部教育事为了支援西部教育事业业, ,现要从中随机抽出现
27、要从中随机抽出1212名教师组成暑期西部讲师团名教师组成暑期西部讲师团, ,请写出利用随机数法抽取该样本的步骤请写出利用随机数法抽取该样本的步骤. . 世纪金榜导世纪金榜导学号学号类型三随机数法的应用【思维思维引引】用随机试验生成随机数用随机试验生成随机数, ,方便易行方便易行. .条件条件允许也可以用信息技术生成随机数允许也可以用信息技术生成随机数. .【思维引】用随机试验生成随机数,方便易行.条件允许也可以用【解析解析】步骤如下步骤如下: :第一步第一步, ,将将100100名教师进行编号名教师进行编号: : 00,01,02,99.00,01,02,99.第二步第二步, ,准备准备101
28、0个大小、质地一样的小球个大小、质地一样的小球, ,小球上分别小球上分别写上数字写上数字0,1,2,9,0,1,2,9,把它们放入一个不透明的袋子中把它们放入一个不透明的袋子中. .【解析】步骤如下:第一步,将100名教师进行编号: 00,0第三步第三步, ,从袋子中有放回摸取从袋子中有放回摸取2 2次次, ,每次摸取前充分搅拌每次摸取前充分搅拌, ,并把第并把第1,21,2次摸到球的数字分别作为十位、个位次摸到球的数字分别作为十位、个位, ,这样这样就生成了一个两位随机数就生成了一个两位随机数. .如果这个数在如果这个数在00009999之间之间, ,就记录下来就记录下来, ,否则舍弃否则舍
29、弃, ,如果有重复舍去如果有重复舍去, ,直到得到直到得到1212个个不同编号不同编号. .第四步第四步, ,与这与这1212个编号对应的教师组成样本个编号对应的教师组成样本. .第三步,从袋子中有放回摸取2次,每次摸取前充分搅拌,并把第1【内化内化悟悟】随机数法的关键是什么？随机数法的关键是什么？提示提示: :将样本编号将样本编号, ,生成随机数生成随机数, ,抽取样本抽取样本. .【内化悟】【类题类题通通】随机数法解题步骤随机数法解题步骤第一步第一步, ,编号编号. .第二步第二步, ,生成随机数生成随机数. .第三步第三步, ,记录样本编号记录样本编号. .第四步第四步, ,抽取样本抽取
30、样本. .【类题通】【习练习练破破】要从高一年级全体学生要从高一年级全体学生450450人中随机抽出人中随机抽出2020人作为校运人作为校运动会志愿者动会志愿者, ,请用随机数法抽出人选请用随机数法抽出人选, ,写出抽取过程写出抽取过程. .【习练破】【解析解析】第一步第一步, ,先将先将450450人编号人编号, ,可以编为可以编为000,001, 000,001, 002,449;002,449;第二步第二步, ,准备准备1010个大小、质地一样的小球个大小、质地一样的小球, ,小球上分别写小球上分别写上数字上数字0,1,2,9,0,1,2,9,把它们放入一个不透明的袋子中把它们放入一个不
31、透明的袋子中. .【解析】第一步,先将450人编号,可以编为000,001, 第三步第三步, ,从袋子中有放回摸取从袋子中有放回摸取3 3次次, ,每次摸取前充分搅拌每次摸取前充分搅拌, ,并把第并把第1,2,31,2,3次摸到球的数字分别作为百位、十位、个次摸到球的数字分别作为百位、十位、个位位, ,这样就生成了一个三位随机数这样就生成了一个三位随机数. .如果这个数在如果这个数在000000449449之间之间, ,就记录下来就记录下来, ,否则舍弃否则舍弃, ,如果有重复舍去如果有重复舍去, ,直到直到得到得到2020个不同编号个不同编号. .第四步第四步, ,与这与这2020个编号对应
32、的学生组成样本个编号对应的学生组成样本. .第三步,从袋子中有放回摸取3次,每次摸取前充分搅拌,并把第1【加练加练固固】现有一批零件现有一批零件, ,其编号为其编号为600,601,602,999.600,601,602,999.利用原利用原有的编号从中抽取一个容量为有的编号从中抽取一个容量为1010的样本进行质量检查的样本进行质量检查, ,若用随机数法若用随机数法, ,怎样设计方案？怎样设计方案？【加练固】【解析解析】第一步第一步, ,利用原有的编号利用原有的编号. .第二步第二步, ,准备准备1010个大小、质地一样的小球个大小、质地一样的小球, ,小球上分别小球上分别写上数字写上数字0,
33、1,2,9,0,1,2,9,把它们放入一个不透明的袋子中把它们放入一个不透明的袋子中. .【解析】第一步,利用原有的编号.第三步第三步, ,从袋子中有放回摸取从袋子中有放回摸取3 3次次, ,每次摸取前充分搅拌每次摸取前充分搅拌, ,并把第并把第1 1、2 2、3 3次摸到球的数字分别作为百位、十位、次摸到球的数字分别作为百位、十位、个位个位, ,这样就生成了一个三位随机数这样就生成了一个三位随机数. .如果这个数在如果这个数在600600999999之间之间, ,就记录下来就记录下来, ,否则舍弃否则舍弃, ,如果有重复舍去如果有重复舍去, ,直直到得到到得到1010个不同编号个不同编号. .第四步第四步, ,与这与这1010个编号对应的零件组成样本个编号对应的零件组成样本. .第三步,从袋子中有放回摸取3次,每次摸取前充分搅拌,并把第1人教20版新教材数学必修二9人教20版新教材数学必修二9
