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1、第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析本章提要本章提要信号分解为正交函数信号分解为正交函数傅里叶级数和傅里叶级数的形式傅里叶级数和傅里叶级数的形式傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换LTI系统的频域分析系统的频域分析抽样定理抽样定理序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析一、信号正交与正交函数集1. 定义：定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交。2. 正交函数集：若n个函数 1(
2、t)和 2(t) ， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。3. 完备正交函数集：如果在正交函数集正交函数集 1(t), 2(t), n(t)之外，不存在任何函数(t)(0）满足则称此函数集为完备完备正交函数集。例如：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。完备正交函数集。二、信号的正交分解设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。正交函数空间。将任一函
3、数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误均方误差差为为使上式最小（系数为使上式最小（系数Cj变化时），有变化时），有展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数所以系数误差误差C1在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多越多，即n越大，则均方误差越小越小。当n时（为完备正交函数为完备正交函数集集），均方误差为零。此时有即：函数即：函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函
4、数之和上式称为(Parseval)巴塞瓦尔定理（公式），表明：表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函完备正交函数集中数集中分解的各正交分量能量的总和。当n时，4.2 周期信号的傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数傅里叶级数系数an , bn称为傅里叶系数傅里叶系数可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。将上式同频率项合并同频率项合并，可写为式中，A0 = a0可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的
5、奇函数。的奇函数。an = Ancos n ， bn = Ansin n ，n=1,2,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中， A0/2为直流分量；A1cos(t+ 1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同；A2cos(2t+ 2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+ n)称为n次谐波。例例41 试将下图所示的方波信号试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里叶展开为傅里叶级数。级数。解：傅里叶系数解：傅里叶系数, an,bn为为 =2 f二、奇、偶函数的傅里叶级数1 、f(t)为偶函数对称纵坐标bn
6、=0，展开为余弦级数。2 .f(t)为奇函数对称于原点an =0，展开为正弦级数。 3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=b2=b4=0三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2上式中第三项的n用n代换，A n=An(An是是n的偶的偶函数函数)， n= n（ n是是n 的奇函数）的奇函数），则上式写为令令复数令复数称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数简称傅里叶系数。表明：表明： 任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。Fn 是频率为n的分量的系数，F0 = A0/2本节小结：1、正交函数集和完备正交函数集的概念；2、周期为T的信号f（t）展开为傅里叶级数:(1)三角形式：或(2)指数形式：式中，A0 = a03、奇、偶的傅里叶级数（1）f(t)为偶函数时，bn =0， f(t)展开为三角形式的傅里叶级数只含有余弦分量；（2） f(t)为奇函数时，an =0， f(t)展开为三角形式的傅里叶级数只含有正弦分量；（3） f(t)为奇谐函数时，f(t)展开为三角形式的傅里叶级数只含有奇次谐波分量；
