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1、第二章第二章 离散型随机变量离散型随机变量例例1 1. .观察一天中进入某商店的顾客人数。观察一天中进入某商店的顾客人数。= | 一天中进入一天中进入商店有商店有 个顾客个顾客R = 0,1,2,一、随机变量一、随机变量2.1 一维随机变量及分布列一维随机变量及分布列例例2. .袋中有袋中有 3 只黑球，只黑球，2 只白球，从中任意取出只白球，从中任意取出 3 只球，观只球，观察取出的察取出的 3 只球中的黑球的个数。我们将只球中的黑球的个数。我们将 3 只黑球分别记只黑球分别记作作 1，2，3 号，号，2 只白球分别记作只白球分别记作 4，5 号，则该试验的样号，则该试验的样本空间为本空间为
2、 我们记取出的黑球数为我们记取出的黑球数为，则，则的可能取值为的可能取值为 1，2，3因此，因此， 是一个变量。但是，是一个变量。但是， 取什么值依赖于试验结果，取什么值依赖于试验结果，即即 的取值带有随机性，所以，我们称的取值带有随机性，所以，我们称 为随机变量。为随机变量。 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量是样本空间是样本空间 上的函数：上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻我们定义了随机变量后，就
3、可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件。例如划随机事件。例如 表示至少取出表示至少取出2个黑球这一事件，等等。个黑球这一事件，等等。 表示取出表示取出2个黑球这一事件；个黑球这一事件；随机变量的定义： 设设 (, F, P ) 是一个概率空间，对于是一个概率空间，对于, ( )是一是一个取实值的单值函数个取实值的单值函数, 则称则称( )为为随机变量随机变量。R说说 明：明：表示实数。表示实数。引入随机变量的目的：引入随机变量的目的： 一般地，若一般地，若 L 是一个实数集合，将是一个实数集合，将 在在 L 上的取值写上的取值写成成 L，用其表示事件，用其表示事件 B=|()L ，即，即 B
4、是是由由中使得中使得()L 的所有样本点所组成的事件，此时有的所有样本点所组成的事件，此时有随机变量的取值具有一定的概率。随机变量的取值具有一定的概率。具有随机性具有随机性: 在一次试验之前不知道它取哪一个值，但在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。事先知道它全部可能的取值。 随机变量的特点随机变量的特点:用随机变量的取值表示随机事件。用随机变量的取值表示随机事件。例例3. 掷一颗骰子，令：掷一颗骰子，令： ：出现的点数出现的点数。 则则就是一个随机变量就是一个随机变量。它的取值为它的取值为 1，2，3，4，5，6 表示掷出的点数不超过表示掷出的点数不超过 4 这一随机
5、事件；这一随机事件； 表示掷出的点数为偶数这一随机事件。表示掷出的点数为偶数这一随机事件。例例4. 一批产品有一批产品有 50 件，其中有件，其中有 8 件次品，件次品，42 件正品。现件正品。现从中取出从中取出 6 件，令：件，令： X：取出取出 6 件产品中的次品数件产品中的次品数。则则 X 就是一个随机变量就是一个随机变量。它的取值为它的取值为 0，1，2，6表示取出的产品全是正品这一随机事件；表示取出的产品全是正品这一随机事件；表示取出的产品至少有一件次品这一随机事件。表示取出的产品至少有一件次品这一随机事件。例例5. 上午上午 8:009:00 在某路口观察，令：在某路口观察，令：
6、Y：该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数。则则 Y 就是一个随机变量就是一个随机变量。它的取值为它的取值为 0，1，表示通过的汽车数小于表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过辆但不超过 100 辆这一随机事件。辆这一随机事件。 注意：注意： Y 的取值是的取值是可列无穷可列无穷个！个！例例6. 观察某生物的寿命（单位：小时），令：观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z：该生物的寿命该生物的寿命。则则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数就是一个随机变量它的取值为所有非负实数。表示该生物的寿命大于表
7、示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件。小时这一随机事件。表示该生物的寿命不超过表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件小时这一随机事件。注意：注意： Z 的取值是的取值是不可列无穷不可列无穷个个！例例7. 掷一枚硬币，令：掷一枚硬币，令：则则 是一个随机变量。是一个随机变量。例例8. 掷一枚骰子，在例掷一枚骰子，在例3中，我们定义了随机变量中，我们定义了随机变量 表示出现表示出现的点数。我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定的点数。我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：义：说说 明：明：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量。在同一个样本空间上可以定义不同的随机
8、变量。随随机机变变量量离散型离散型连续型连续型有限个或可列个可有限个或可列个可能值能值全部可能取值不仅无穷全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间。举，而是充满一个区间。l随机变量的分类随机变量的分类非离散型非离散型其他其他二二 离散型随机变量与分布列离散型随机变量与分布列定义定义1：如果随机变量：如果随机变量的取值是有限个或可列无穷个，则的取值是有限个或可列无穷个，则称称为为离散型随机变量离散型随机变量。显然，要掌握一个离散型随机变量显然，要掌握一个离散型随机变量的统计规律性，必须的统计规律性，必须且只需知道且只需知道的所有可能取值以及每个可能值的概率
9、。的所有可能取值以及每个可能值的概率。 定义2.1 定义在样本空间 上，取值于实数域 R，且只取有限个或可列个值的变量称作一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量。定义定义2：设离散型随机变量：设离散型随机变量的所有可能取值为的所有可能取值为并设并设则称上式或则称上式或为离散型随机变量为离散型随机变量的的分布列分布列（或（或概率函数概率函数、或、或分布分布）。）。说说 明明：离散型随机变量可完全由其分布列来刻划，即离散离散型随机变量可完全由其分布列来刻划，即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定。确定。离散型随机
10、变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质:例例1 从从 110 这这 10 个数字中随机取出个数字中随机取出 5 个数字，令：个数字，令： X：取出的取出的 5 个数字中的最大值。个数字中的最大值。试求试求 X 的分布列。的分布列。解：解： X 的取值为的取值为 5，6，7，8，9，10并且并且具体写出，即可得具体写出，即可得 X 的分布列：的分布列：例例2 将将 1 枚硬币掷枚硬币掷 3 次，令：次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差。出现的正面次数与反面次数之差。试求试求 X 的分布列。的分布列。解：解： X 的取值为的取值为 -3，-1，1，3 并且并且例例3 设离散型随机变量设离
11、散型随机变量 X 的分布列为的分布列为则则例例4 设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为解：由随机变量的性质，得解：由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有所以所以一些重要的离散型随机变量1) 退化分布退化分布或或单点单点分布分布： 如果随机变量如果随机变量 X 的分布列为的分布列为单点单点分布的概率背景分布的概率背景：随机变量随机变量 X 以概率以概率 1 取值取值 c c。2) 两点两点分布分布：两点分布也称作两点分布也称作 0-1分布分布或或Bernoulli分布分布。如果随机变量如果随机变量 X 的分布列为的分布列为两点两点分布的概率背景分布的概率背景进
12、行一次进行一次 Bernoulli试验，设：试验，设： 令令 X：在这次在这次 Bernoulli试验中事件试验中事件 A 发生的次数。发生的次数。或者说令或者说令例例5 15 件产品中有件产品中有 4 件次品，件次品，11 件正品。从中取出件正品。从中取出 1 件，件， 令令 X：取出的一件产品中的次品数。：取出的一件产品中的次品数。则则 X 的取值为的取值为 0 或者或者 1，并且，并且3）二二 项项 分分 布布： 如果随机变量如果随机变量 X 的分布列为的分布列为显然，当显然，当 n=1 时时二项二项分布的概率背景分布的概率背景 进行进行 n 重重 Bernoulli试验，设在每次试验中
13、试验，设在每次试验中令令 X：在这次在这次Bernoulli试验中事件试验中事件 A 发生的次数。于是发生的次数。于是例例6 一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能答案，其中个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对4道题的概道题的概率是多少？率是多少？解：每答一道题相当于做一次解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，设试验，设则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验。试验。二项分布的分布形态二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布：由此可知，二项分布的分布：先是随着
14、先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大的增大而减少这个使得而减少这个使得例例7 对同一目标进行对同一目标进行400次独立射击，设每次射击时的命中次独立射击，设每次射击时的命中率均为率均为0.02，试求，试求400次射击最可能命中几次？其相应的概次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？率是多少？解：对目标进行解：对目标进行400 次射击相当于做次射击相当于做400重重Bernoulli试验。试验。 令：令： 则由题意则由题意4 4）Poisson 分布分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布列为的分布列为则称随机变量则称随机变量 X 服从
15、参数为服从参数为 的的 Poisson 分布分布。并记作并记作分布列性质的验证分布列性质的验证 由于由于可知对任意的自然数可知对任意的自然数 k，有，有 又由幂级数的展开式，可知又由幂级数的展开式，可知所以所以满足分布列性质。满足分布列性质。Poisson分布的应用分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一。自然界及工程分布是概率论中重要的分布之一。自然界及工程技术中的许多随机指标都服从技术中的许多随机指标都服从Poisson分布。分布。 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容
16、器在某一时次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的。分布的。例例8 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为的的Poisson分布，且已知分布，且已知解：随机变量解：随机变量 X 的分布列为的分布列为由已知由已知 得得 由此解得由此解得=2. 从而从而例例9解：设解：设 B= 此人在一年中得此人在一年中得3次感冒次感冒 ,则由则由Bayes公式，得公式，得PoissonPo
17、isson定理定理证明证明：对于固定的对于固定的 k，有，有所以，所以，PoissonPoisson定理的定理的推论推论PoissonPoisson定理及其推论的说明定理及其推论的说明：常常被应用于常常被应用于n n重贝努利试验（重贝努利试验（n n很大）中稀有事件（很大）中稀有事件（p很小）很小）概率的研究。概率的研究。例例10 设每次射击命中目标的概率为设每次射击命中目标的概率为0.01，现射击，现射击200次，次，求至少命中求至少命中3次目标的概率（用次目标的概率（用Poisson分布近似计算）。分布近似计算）。解：设解：设 B= 200次射击至少命中次射击至少命中3次目标次目标 ，进行，进行200次射次射击可看作是一击可看作是一200重重Bernoulli试验。令试验。令所以，所以，
