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1、第一章、函数与极限第一章、函数与极限习题课习题课一、主要内容一、主要内容一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题二、典型例题二、典型例题三、作业三、作业三、作业三、作业一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双双曲函数与曲函数与反双曲函数反双曲函数1 1、函数的定义、函数
2、的定义定义定义: : 定义域定义域 值域值域图形图形: :( ( 一般为曲线一般为曲线 ) )设设函数为特殊的映射函数为特殊的映射: :其中其中函数的分类函数的分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数( (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) )代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )(1) 单值性与多值性单值性与多值性:2 2、函数的性质、函数的性质若对于每个若对于每个仅有一个值仅有一个值 y= f (x)与之对应，与之对应，则称则称y= f
3、 (x)为为单值函数单值函数，否则就是否则就是多值函数多值函数.(2) 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数设函数设函数 f( (x) ) 的定义域为的定义域为D, , 且且D关于原点对称关于原点对称，若若则称则称 f( (x) )为为偶函数偶函数; ;若若则称则称 f( (x) )为为奇函数奇函数. . 奇函数奇函数(3) 函数的单调性函数的单调性:当当时时, ,称称 为为I I上的上的称称 为为I I 上的上的单调增函数；单调增函数；单调减函数单调减函数. .设函数设函数且区间且区间(4) 函数的有界性函数的有界性:使使设函数设函数且数集且数集称称 在在X上有界上有界. . (5) 函数
4、的周期性函数的周期性:oyx且且则称则称为为周期函数周期函数 , ,若若称称l为为周期周期( (一般指一般指最小正周期最小正周期).).设函数设函数 f(x) 的定义域为的定义域为D,3 3、反函数、反函数4 4、隐函数、隐函数若函数若函数习惯上习惯上, ,的反函数记成的反函数记成称此称此映射映射为为 f 的的反函数反函数 . .5、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系设函数设函数 y= f(x),的反函数为的反函数为(1) (2) y= f(x)与与y= f 1(x)的的图形对称于直线图形对称于直线y=x.6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数）幂函数2）指数函数）指
5、数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数7 7、复合函数、复合函数8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函的函数数,称为称为初等函数初等函数.则则设有函数链设有函数链称为由称为由y= =f( (u) )和和u= =g( (x) ) 构成的构成的复合函数复合函数, , u 称为称为中间变量中间变量. . 9 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式左右极限左右极限两个
6、重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大1 1、极限的定义、极限的定义定义定义1 设设为一数列，为一数列，若存在常数若存在常数a， 对对任意任意(无论多么小无论多么小)，总总存在存在正整数正整数N, 使得当使得当 nN时，时， 都有都有则称则称a为数列为数列的的极限极限， 或称或称收敛于收敛于a， 记为记为或或当当n
7、N时，时，总有总有当当时时, ,有有则称常数则称常数A 为函数为函数当当时的时的极限极限, ,或或若若记作记作在点在点的某去心的某去心邻域内有定义邻域内有定义 , , 设函数设函数定义定义2当当时时, , 有有左左极限极限 :当当时时, 有有右极限右极限 :当当时时, 有有定理定理无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的恒不为零的无穷小的倒数为无穷大无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的
8、关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大记作记作记作记作定理定理1 1 在同一过程中在同一过程中, ,有限个无穷小的代数和仍是无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小. .定理定理2 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小. .推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .无穷小的运算性质无穷小的运算性质3 3、极限的性质、极限的性质则有则有(1)
9、(2)(3)定理定理 若若推论推论1 1 . .( ( C 为常数为常数 ).).推论推论2 2( ( n 为正整数为正整数 ).).4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a. 多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b. 消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c. 无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d. 利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e. 利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)准则准则(或或)时时,有有则存在存在, , 且等于且等于A. .若当若当准则准则
10、单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.6 6、两个重要极限、两个重要极限(1)(2)7 7、无穷小的比较、无穷小的比较若若则则称称 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小, ,若若若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的是自变量同一变化过程中的无穷小无穷小, ,记作记作则则称称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小; ;则则称称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小; ;则则称称 是关于是关于 的的 k 阶无穷小阶无穷小; ;则称则称 是是 的的等价无穷小等价无穷小, , 记作记作定义定义8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的唯一性且且存在存在 , , 则则定理定理 设设定
11、理定理 若若存在，则极限唯一存在，则极限唯一.左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类1 1、连续的定义、连续的定义定义定义1 1在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义, , 则称则称函数函数设函数设函数且且定义定义2 22 2、单侧连续、单侧连续左连续左连续右连续右连
12、续3 3、连续的充要条件、连续的充要条件定理定理4 4、间断点的定义、间断点的定义(1)(1) 在点在点即即(2)(2) 极限极限(3)(3)存在存在; ;有定义有定义 , ,存在存在; ;函数函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: :在在f (x)的的不连续点不连续点(或间断点或间断点)。并称点并称点x0为为函数函数 f (x)在在点点x0处不连续处不连续(或间断或间断),则称则称如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只要有一个不满足要有一个不满足,(1) 跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5 5、间断点的分类、间断点的分类若若称称为为为函数为函数 f(x)跳跃间断点跳跃
13、间断点. .称称若若存在存在,但但为函数为函数 f( (x) )的的可去间断点可去间断点 . .跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点: :可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx函数在函数在x0处的左右极限都存在处的左右极限都存在.0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点及及中至少一个不存在中至少一个不存在. .称称若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡 , , 称称若若其中有一个为其中有一个为为为无穷间断点无穷间断点 . .为为振荡间断点振荡间断点 . .6 6、闭区间的连续性
14、、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a, b)内连续，并且在左端点内连续，并且在左端点x=a处右连续，在右端点处右连续，在右端点x=b处左连续处左连续,则称函数则称函数 f(x)在在闭区间闭区间a, b上连续上连续.定理定理1 1 单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续函数必有单调的连续反函数. .8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3定理定理2 2定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内内都是连续的
15、都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数一定有最大值和最小值数一定有最大值和最小值. .定定理理2(2(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在在该区间上有界该区间上有界. .定理定理3. ( 3. ( 零点定理零点定理) )则至少有一点则至少有一点且且使使若若 f( (x) )闭区间闭区间 a, ,b 上连续上连续, ,且且则对则对A与与B之间的任一之间的任一使使至少
16、有至少有一点一点定理定理4 ( 4 ( 介值定理介值定理 ) )若若 f( (x) )闭区间闭区间 a, ,b 上连续上连续, ,数数C ,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与与最小值最小值m之间的任何值之间的任何值. .例例1 1解解二、典型例题二、典型例题例例2 2解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得解联立方程组解联立方程组例例3 3解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 则则例例4 求极限求极限解解而而由夹逼准则得由夹逼准则得例例5 求极限求极限解解原式原式
17、例例6 6解解例例7 7解解例例8 8解解例例9 9证法一证法一倘若不存在倘若不存在使使则在则在上，上，不妨设不妨设于是于是与已知矛盾与已知矛盾,原命题正确原命题正确.例例9 9证法二证法二讨论讨论:由零点定理知由零点定理知,综上所述综上所述,解解原式原式 = 1. = 1. (2000考研考研)例例10. 求求上上, , ,若若 f ( (x) )在在连续连续, ,解解且对任意实数且对任意实数证明证明: : f ( (x) ) 对一切对一切 x 都连续都连续. .例例1111 设设 f ( (x) )定义在区间定义在区间对任意对任意所以所以f (x)在在 x 连续连续.三、作业三、作业1 1
18、. . 下列各组函数是否相同下列各组函数是否相同 ? ? 为什么为什么? ? 相同相同相同相同相同相同思考与练习思考与练习不是不是是是不是不是提示提示: (2): (2)2. 下列各种关系式表示的下列各种关系式表示的 y 是否为是否为 x 的函数的函数? 为什么为什么?3. 下列函数是否为初等函数下列函数是否为初等函数 ? 为什么为什么 ?以上各函数都是以上各函数都是初等函数初等函数. .1-11求求及其定义域及其定义域 . .5 5. . 已知已知, , 求求6 6. . 设设求求由由得得4. 4. 解解: :4 4. . 设设5.5. 已知已知, ,求求解解: :6.6. 设设求求解解: :测测 验验 题题测验题答案测验题答案
