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1、4-2 绘制根轨迹的基本法则1. 根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。当当 K= 0 时时，根轨迹方程退化为：此时闭环特征方程的根即为开环开环传递函数的极点极点。由可得：当当 K 时时，根轨迹方程退化为：此时闭环特征方程的根即为开环开环传递函数的零点零点。同样由也可得：1下面分三种情况讨论：下面分三种情况讨论： 1 1m=n,m=n,即即开开环环零零点点数数与与极极点点数数相相同同时时，根根轨轨迹迹的起点与终点均有确定的值。的起点与终点均有确定的值。 2 2mnmn，即即开开环环零零点点数数小小于于开开环环极极点点数数时时，除除有有m m条条根根轨轨迹迹终终
2、止止于于开开环环零零点点( (称称为为有有限限零零点点) )外外，还还有有n-mn-m条根轨迹终止于无穷远点条根轨迹终止于无穷远点( (称为无限零点称为无限零点) )。 3mm时，有时，有n-m条条根轨迹分支沿着与实根轨迹分支沿着与实轴交角为轴交角为 , 交点为交点为 的一组渐近线趋向无穷远的一组渐近线趋向无穷远处。处。根轨迹的渐进线根轨迹的渐进线可由下式而定：可由下式而定：交交 点：点：交交 角：角：4例：例： 已知：已知：试由已知规则，确定根轨迹的相关数据。试由已知规则，确定根轨迹的相关数据。解：按根轨迹绘制的规则：解：按根轨迹绘制的规则： 规则规则1，3个极点也是起点：个极点也是起点：0
3、，-1，-2； 无零点，则终点为无限零点：无零点，则终点为无限零点：，。 规则规则2，分支数：，分支数： n=3m=0，有，有3条根轨迹，对称于实轴。条根轨迹，对称于实轴。 规则规则3，渐近线：因为本系统中，渐近线：因为本系统中， ，所以共有，所以共有 n-m=3渐近线。渐近线。 渐近线的倾角：渐近线的倾角： 取取k0，1，2，得到：得到：5 渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：ReIm0-2-11800600-600三条红色线为渐近线三条红色线为渐近线6实轴上的根轨迹法则法则4 . 实轴上的某一区段，若实轴上的某一区段，若其右边开环其右边开环实数零点、极点个数之和为奇数实数零点、极点个数
4、之和为奇数，该区段必，该区段必是条完整的根轨迹分支或是某条根轨迹分支是条完整的根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分。的一部分。证明证明：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对共轭零点z1、 z2 。有3个试验点S1、S2、S3 先看试验点s1点，因为根轨迹应满足相角条件：（1)成对出现的共轭极点p3、 p4和共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0；7所以s1点满足根轨迹相角条件，而且S1点一直可以左移到P2处，于是p2 ,p1为实轴上的根轨迹。（2）试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0；（3）试探点右边的极点p1对
5、试探点构成向量的相角为180；再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。同样s3点也不是根轨迹上的点。8例设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。解：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：-10，-5和-2，-1 。注意在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。9法则法则5. 两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s平面上平面上相遇又立即分相遇又立即分开开的点的点根轨迹的分离点，根轨迹的分离点，分离点的坐标分离点的坐标d 是下列方程的解：是下列方程的解：实轴上的分离点有以下两个特点：(1)若实轴上两个相邻极点或两个相邻零点之间的区段有根轨迹,则这两相邻点之
6、间必有一个分离点。这两个相邻的极点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点。（2）如果实轴上开环零点与开环极点之间有根轨迹，则此区段上要么没有分离点,如有,则不止一个。分离点10分离角：在分离点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角 。 与相分离的根轨迹的支数k有关： 11例. 设系统结构如图，试绘制其概略根轨迹。解：画出 s 面上的开环零点（-1），极点（0，-2，-3）。(1). 实轴上 -3，-2，-1，0 是根轨迹。(2). 根轨迹有三条分支，分别始于0，-2，-3； 终于-1和两个无限零点。有两条渐近线：12(3). 实轴上 -3，-2 内有一分离点 d ：所以分离点为：d -2
7、.47该方程可化为 d34 d2 +5 d +3=0 其根为： -2.4656，-0.7672 j 0.7926按上述法则画出如右根轨迹图：-3 -2 -1 0d13例. 设单位反馈系统开环传递函数为：试绘制闭环系统根轨迹。解：在 s 平面上开环极点有两个：-1j，开环零点-2。(1). 实轴( ，-2为根轨迹。(2). 根轨迹有两条分支，始于-1+j和-1-j终于-2和。(3). 在( ，-2上有一分离点：即解得：（舍去），作出该系统的根轨迹如下图所示：14-2-1+j-1-j-3.414复数根轨迹图在复平面上是圆的一部分复数根轨迹图在复平面上是圆的一部分15实际上，在有两个极点（实数极点和
8、复数极点）和一个有限零点组成的开环系统中，只要有限零点没有位于两个实数极点之间只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当系数K*从零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，就是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。16 法则法则6：根轨迹的起始角与终止角：根轨迹的起始角与终止角： 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角；称为起始角； 根轨迹进入复数零点处的切线与正实轴的夹角，称根轨迹进入复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角。为终止角。1. 起始角：起始角：其中：其中： 为零点到此极点连线与正实轴的夹
9、角，为零点到此极点连线与正实轴的夹角， 为极点到此极点连线与正实轴的夹角为极点到此极点连线与正实轴的夹角172. 终止角：终止角：其中：其中： 为零点到此零点连线与正实轴的夹角，为零点到此零点连线与正实轴的夹角， 为极点到此零点连线与正实轴的夹角为极点到此零点连线与正实轴的夹角18例如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。解：根据对称性，可知 点的出射角为：请根据相角条件自行计算。q 相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负。 q 注意矢量的方向。注意：19例.设系统开环传递函数为：解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j 开环极点为 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51
10、). 实轴上(-，-2.5，-1.5，0为根轨迹2). 根轨迹有4条分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 终于-1.5，-，-2+j，-2-j；3). 无分离点。4). 起始角：终止角：20法则法则7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点若根轨迹与虚轴相交，则交点上的若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和值和 可用劳可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s=j ，然后然后分别令其实部和虚部为零而求得。分别令其实部和虚部为零而求得。21例例. 系统的开环传递函数为 试绘制概略根轨迹图解：解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j
11、 开环零点：4个无限零点(1) 实轴上的根轨迹：0，-3 区间。(2) 渐近线：应有 n-m=4-0=4 条渐近线。渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： 22(3)分离点： 可求得(4) 极点-p3的起始角：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的幅角分别 、 、 .所以同理不难求得极点-p4处的起始角：终止角在无穷远处。(5) 根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求 特征方程 ：23实部方程：实部方程： 虚部方程：虚部方程： 解得：解得：(舍去)24得得：方法二：由劳斯阵列求：方法二：由劳斯阵列求：由特征方程由特征方程列出劳斯阵列列出劳斯阵列令令s1行首项为零，即行首项为零，即求
12、求K1 =8.16得，再根据行得，再根据行s2系数得到辅助方程：系数得到辅助方程：令令25q方法一：闭环系统的特征方程为：将 代入得： 例开环传递函数为： ，试求根轨迹与虚轴的交点和 。 当 时， 为根轨迹的起点（开环极点）当 时， ，即根轨迹与虚轴的交点为 。26q方法二：用劳斯稳定判据确定 的值。劳斯阵列为： 劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。劳斯阵列中可能全为零的行有二。共轭虚根为辅助方程 的根。1、令 ，得临界增益为：2、令 ，得 （开环极点）。27q 当n-m=2时， ，即：对于任意的 ，闭环极点之和等于开环极点之和，为常数。表明：当 变化时，部分闭环极点在复平面上向
13、右移动（变大），则另一些极点必然向左移动（变小）。 此法则对判断根轨迹的走向是很有用的。 根据上述8个规则，可以大致画出根轨迹的形状。规则8 极点之和28根轨迹作图步骤根轨迹作图步骤一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；二、实轴上的根轨迹；二、实轴上的根轨迹；三、三、n-mn-m条渐近线；条渐近线；四、根轨迹的出射角、入射角；四、根轨迹的出射角、入射角；五、根轨迹与虚轴的交点；五、根轨迹与虚轴的交点；六、根轨迹的分离点、会合点；六、根轨迹的分离点、会合点；结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的
14、支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和等性质画出根轨点和终点，闭环极点与闭环极点之和等性质画出根轨迹。迹。29渐近线例开环传递函数为： ，画根轨迹。 出射角 ， 求与虚轴的交点，此时特征方程为解： 求出开环零极点，即： 实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：30 求分离会合点：由特征方程由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。31 渐近线例开环传递函数为： ，画根轨迹。 出射角 ， 求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：实轴上的根轨迹：(，0将 代入得： ，32 求分离会合点：由特征方程由图知这点在根轨迹上，所以是分离会合点。而且是三重根点。此时分离角为33小 结 需掌握绘制根轨迹的八个准则q 根轨迹的连续性和对称性；q 根轨迹的支数、起始点和渐进线；q 根轨迹实轴上的点；q 根轨迹的分离点，会合点；q 根轨迹的出射角、入射角和虚轴的交点；q 闭环极点之和。作业：4-5（2）34
