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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 直线的方向向量和法向量直线的方向向量和法向量 利利用用方方向向向向量量及及法法向向量量求求直直线线方方程程的的关关键键是是探探寻寻所所求求直直线线的的方方向向向向量量同同已已知知直直线线方方向向向向量量或或法法向向量量的的关关系系, ,常常用用结结论论如下如下: :(1)(1)所所求求直直线线与与已已知知直直线线平平行行，则则和和已已知知直直线线的的方方向向向向量量平平行，和已知直线的法向量垂直行，和已知直线的法向量垂直. .(2)(2)所所求求直直线线与与已已知知直直线线垂垂直直，则则和和已已知知直直线线的的方方向向向向量量垂垂直，和已知
2、直线的法向量平行直，和已知直线的法向量平行. .【例例1 1】已知点已知点A(-1A(-1，2)2)，直线，直线l:4x-3y+9=0.:4x-3y+9=0.求：求：(1)(1)过点过点A A且与直线且与直线l平行的直线方程；平行的直线方程；(2)(2)过点过点A A且与直线且与直线l垂直的直线方程垂直的直线方程. .【审题指导审题指导】思路一：先由直线的方程找到直线的方向向思路一：先由直线的方程找到直线的方向向量量 , ,再设所求直线上一点再设所求直线上一点P P，(1)(1)利用利用 求方程，求方程，(2)(2)利用利用 求方程求方程. .思路二：先由直线的方程找到直线的法向量思路二：先由
3、直线的方程找到直线的法向量 , ,再设所求直再设所求直线上一点线上一点Q Q，(1)(1)利用利用 求方程，求方程，(2)(2)利用利用 求方程求方程. .【规范解答规范解答】方法一：直线方法一：直线l的斜率的斜率 向量向量与直线与直线l平行平行. .(1)(1)设设P P是过是过A A且与且与l平行的直线上的动点，平行的直线上的动点，P P的坐标是的坐标是(x,y)(x,y)，则，则 所求直线与所求直线与l平行，当且仅当平行，当且仅当 转化为坐标表示，即为转化为坐标表示，即为整理得整理得4x-3y+10=0,4x-3y+10=0,这就是所求的过这就是所求的过A A且与且与l平行的直线方程平行
4、的直线方程. .(2)(2)设设Q(x,y)Q(x,y)为直线为直线l上一动点，则上一动点，则 =(x+1,y-2)=(x+1,y-2)，点，点Q Q在在过过A A且垂直于且垂直于l的直线上，当且仅当的直线上，当且仅当 转化为坐标转化为坐标表示，即为表示，即为整理得整理得3x+4y-5=0,3x+4y-5=0,这就是所求的过这就是所求的过A A且与且与l垂直的直线方程垂直的直线方程. .方法二：因为向量方法二：因为向量(4(4，-3)-3)与直线与直线l垂直，所以垂直，所以是是l的法向量的法向量. .(1)(1)设设P(x,y)P(x,y)为直线为直线l上一动点，则上一动点，则 =(x+1,y
5、-2).=(x+1,y-2).点点P P在在与与l平行的直线上，当且仅当平行的直线上，当且仅当 转化为坐标表示，即转化为坐标表示，即为为4(x+1)+(-3)(y-2)=0,4(x+1)+(-3)(y-2)=0,整理得整理得4x-3y+10=04x-3y+10=0，这就是所求的，这就是所求的过过A A且与且与l平行的直线方程平行的直线方程. .(2)(2)设设Q(x,y)Q(x,y)为一动点，则为一动点，则 =(x+1,y-2),=(x+1,y-2),点点Q Q在与在与l垂直的垂直的直线上，当且仅当直线上，当且仅当 与与 共线，即共线，即 转化为坐标表转化为坐标表示即为示即为4(y-2)+3(
6、x+1)=0,4(y-2)+3(x+1)=0,整理：整理：3x+4y-5=0,3x+4y-5=0,即为过即为过A A且与且与l垂直的直线方程垂直的直线方程. . 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用用向量证明平面几何问题的方法用向量证明平面几何问题的方法. .常见有两种思路常见有两种思路(1)(1)向量的线性运算法：向量的线性运算法：(2)(2)向量的坐标运算法：向量的坐标运算法： 通通过过向向量量的的坐坐标标表表示示，可可以以把把几几何何问问题题的的证证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用. .【例例2 2】如图所示，如
7、图所示，ABCDABCD是菱形，是菱形，ACAC，BDBD是它的两条对角线，是它的两条对角线，求证求证:ACBD.:ACBD.【审题指导审题指导】对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件形式，也可以考虑坐标形式的充要条件. . 【规范解答规范解答】方法一：方法一：ABCDABCD为菱形，为菱形，ACAC、BDBD为两对角线，为两对角线， 即即方法二：以方法二：以OCOC所在直线为所在直线为x x轴，以轴，以B B为原点建立直角
8、坐标系，为原点建立直角坐标系，如图所示：如图所示：设设A(a,b),B(0,0),C(c,0),A(a,b),B(0,0),C(c,0),则由则由|AB|=|BC|AB|=|BC|得得a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .即即 向量在物理中的应用向量在物理中的应用 用向量解与物理相关的题目的思路用向量解与物理相关的题目的思路首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观察合力与首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观察合力与分力的关系分力的关系. .在向量的合成中，注意向量的模并不是两向量在向量的合成中，注意向量的模并不是两向量的模的简单相加，只有在两向量方向相同时才可以相加的模的简单相
9、加，只有在两向量方向相同时才可以相加. .求求合力的大小，实际上是解三角形的问题合力的大小，实际上是解三角形的问题. .【例例3 3】如图，无弹性的细绳如图，无弹性的细绳OAOA，OBOB的一端分别固定在的一端分别固定在A A，B B处，同质量的细绳处，同质量的细绳OCOC下端系着一个称盘，且使得下端系着一个称盘，且使得OBOCOBOC，试分析试分析OAOA，OBOB，OCOC哪根绳受力最大？哪根绳受力最大？【审题指导审题指导】要判断哪根绳受力最大，则需比较要判断哪根绳受力最大，则需比较 的大小，可借助物理的相关知识结的大小，可借助物理的相关知识结合向量的运算解决合向量的运算解决. .【规范解
10、答规范解答】设设OAOA，OBOB，OCOC三根绳子所受力分别是三根绳子所受力分别是则则 的合力为的合力为 如图，在平行四如图，在平行四边形边形OBCAOBCA中，因为中，因为 所以所以 即即 所以细绳所以细绳OAOA受力受力最大最大. . 共线共线( (点点) )问题问题 证明共线证明共线( (点点) )问题的策略问题的策略解决此类问题的关键在于首先选取一组不共线的向量作为解决此类问题的关键在于首先选取一组不共线的向量作为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相把其他相关的向量用
11、这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相关参数的值等建立方程，从而解出相关参数的值. .【例例】如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是ADAD、DCDC边边的中点，的中点，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R、T T两点，你能发现两点，你能发现ARAR、RTRT、TCTC之间的关系吗？之间的关系吗？【审题指导审题指导】由于由于R R、T T是对角线是对角线ACAC上两点，所以要判断上两点，所以要判断ARAR、RTRT、TCTC之间的关系，只需要分别判断之间的关系，只需要分别判断ARAR、RTRT、TCTC与与ACAC
12、之间之间的关系即可的关系即可【规范解答规范解答】设设 则则 与与 共线共线, ,存在实数存在实数m m，使得，使得又又 与与 共线共线, ,存在实数存在实数n n，使得，使得由由 得得整理得整理得由于向量由于向量 不共线，所以有不共线，所以有解得解得所以所以同理同理于是于是 所以所以ARARRTRTTCTC 【典例典例】(12(12分分) )如图，在如图，在RtABCRtABC中，已知中，已知BC=aBC=a，若长为，若长为2a2a的线段的线段PQPQ以点以点A A为中点，问为中点，问 与与 的夹角的夹角取何值时取何值时 的值最大？并求出这个最大值的值最大？并求出这个最大值. .【审题指导审题
13、指导】解答本题可采用两种思路：一是利用基向量解答本题可采用两种思路：一是利用基向量法，把法，把 表示成参数表示成参数a a的函数，利用函数思想求解；二的函数，利用函数思想求解；二是坐标法，建立适当的坐标系，表示出相关点的坐标，利用是坐标法，建立适当的坐标系，表示出相关点的坐标，利用数量积的定义求解数量积的定义求解 ，最后利用函数思想求最值，最后利用函数思想求最值. .【规范解答规范解答】方法一：方法一： 1010分分故当故当cos =1cos =1，即，即=0( =0( 与与 方向相同方向相同) )时，时，最大最大. .其最大值为其最大值为0. 0. 1212分分方法二：以直角顶点方法二：以直
14、角顶点A A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系轴建立如图所示的平面直角坐标系. . 2 2分分设设AB=c,AC=bAB=c,AC=b，则，则A(0,0),B(c,0),C(0,b),A(0,0),B(c,0),C(0,b),且且PQ=2a,BC=a. PQ=2a,BC=a. 4 4分分设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，则，则Q(-x,-y).Q(-x,-y).=-(x=-(x2 2+y+y2 2)+cx-by. )+cx-by. 6 6分分cx-by=acx-by=a2 2cos .cos .1010分分故当故
15、当cos=1cos=1，即，即=0( =0( 与与 方向相同方向相同) )时，时，最大，其最大值为最大，其最大值为0.0. 1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.过点过点(1(1，2)2)且方向向量为且方向向量为(3(3，5)5)的直线的方程为的直线的方程为( )( )(A)3x-5y+7=0 (B)5x-3y+1=0(A)3x-5y+7=0 (B)5x-3y+1=0(C)3x-5y-1=0 (D)5x-3y-7=0(C)3x-5y-1=0 (D)5x-3y-7=0【解析解析】选选B.B.在直线上任取一点在直线上任取一点
16、P(x,y)P(x,y)，由题意可知向量，由题意可知向量(x-1,y-2)=(3,5)(x-1,y-2)=(3,5)，化简得，化简得5x-3y+1=05x-3y+1=0，故选，故选B.B.2.2.已知两个力已知两个力 的夹角为的夹角为9090，它们的合力大小为，它们的合力大小为10 N10 N，合力与，合力与 的夹角为的夹角为6060，那么，那么 的大小为的大小为( )( )(A)5 N (B)5 N (A)5 N (B)5 N (C)10 N (D)5 N (C)10 N (D)5 N 【解析解析】选选A. A. 的夹角为的夹角为9090, , 又又合力与合力与 的夹角为的夹角为6060，3
17、 3在在ABCABC中，若中，若 则则ABCABC的形状是的形状是( )( )(A)C(A)C为钝角的三角形为钝角的三角形(B)B(B)B为直角的直角三角形为直角的直角三角形(C)(C)锐角三角形锐角三角形 (D)A(D)A为直角的直角三角形为直角的直角三角形【解析解析】选选D. D. ABC ABC的形状是的形状是A A为直角的直角三角形为直角的直角三角形. .4.4.若直线若直线l过点过点A(2A(2，-3)-3)且它的一个法向量为且它的一个法向量为则直线则直线l的方程为的方程为_._.【解析解析】设直线设直线l上任意一点上任意一点P P坐标为坐标为(x,y)(x,y)，则则由已知得由已知得 即即(2-x,-3-y)(2-x,-3-y)(3,2)=0,(3,2)=0,3(2-x)+2(-3-y)=0,3(2-x)+2(-3-y)=0,即即3x+2y=0.3x+2y=0.答案：答案：3x+2y=03x+2y=05.5.已知三个力已知三个力 的合力的合力 求求 的坐标的坐标. .【解析解析】(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0).(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0).
